용어 : 평면벡터

벡터의 정의와 연산

벡터와 평면벡터의 정의

크기와 방향을 함께 가지는 양을 벡터라 하고, 평면에서의 벡터를 평면벡터라고 합니다.¹우리가 기하에서 배우는 벡터는 평면벡터뿐입니다. 공간에서의 벡터인 공간벡터는 교육과정에서 배우지 않습니다. 그러나 공간벡터에 대해 궁금한 학생들을 위해 Special에서 공간벡터를 다룹니다. 벡터를 그림으로 나타낼 때에는 그림과 같이 방향이 주어진 선분을 이용합니다. 점 $\mrm{A}$에서 점 $\mrm{B}$로 향하는 방향이 주어진 선분 $\mrm{AB}$를 벡터 $\mrm{AB}$라고 하며, $\vrm{AB}$라 표기합니다. 이때 점 $\mrm{A}$를 $\vrm{AB}$의 벡터의 시점, 점 $\mrm{B}$를 $\vrm{AB}$의 벡터의 종점이라고 합니다. 한편, 벡터를 한 문자로 나타낼 때에는 $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\cdots$와 같이 소문자를 이용합니다.

$\vrm{AB}$에서 선분 $\mrm{AB}$의 길이를 $\vrm{AB}$의 벡터의 크기라 하고, $\avr{AB}$라 표기합니다. $\vec{a}$의 크기는 $\avi{a}$라 표기합니다. 크기가 $1$인 벡터를 단위벡터라 하고, $\vrm{AA}$와 같이 시점과 종점이 일치하여 크기가 $0$인 벡터를 영벡터라고 합니다. 영벡터는 $\vec{0}$라 표기하고, 방향은 생각하지 않습니다.

\subsection[벡터의 서로 같음, 벡터식, 역벡터]벡터의 서로 같음, 벡터식, $-\vec{a}$ 두 벡터 $\vec{a}$, $\vec{b}$의 크기와 방향이 각각 같을 때, 두 벡터가 서로 같다고 하고, 등호를 사용하여 $\vec{a} = \vec{b}$라 표기합니다. 이와 같이 벡터를 포함한 등식을 벡터식이라고 부르기로 합시다.

`벡터의 서로 같음'의 정의에 따르면 두 벡터의 시점과 종점이 고려되지 않습니다. 따라서 두 벡터의 시점과 종점이 다르더라도 크기와 방향이 같으면 두 벡터는 같습니다. 예컨대 그림과 같이 평행사변형 $\mrm{ABCD}$에서 $\vrm{AB}$와 $\vrm{DC}$는 시점과 종점은 다르지만 크기와 방향이 모두 같으므로 $\vrm{AB} = \vrm{DC}$입니다. 두 벡터 $\vrm{AB}$, $\vrm{BA}$는 크기는 같지만 방향이 서로 반대입니다. 이때 등호와 마이너스 기호를 이용하여 $\vrm{BA} = -\vrm{AB}$ 또는 $\vrm{AB} = -\vrm{BA}$라 표기합니다.

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벡터의 연산

벡터의 덧셈

두 벡터 $\vec{a}$, $\vec{b}$의 합은 $\vec{a}$의 종점에 $\vec{b}$의 시점이 일치하도록 평행이동했을 때, `$\vec{a}$의 시점을 시점으로 하고, $\vec{b}$의 종점을 종점으로 하는 벡터'로 정의됩니다. 즉, $\vec{a} = \vrm{AB}$, $\vec{b}=\vrm{BC}$일 때 $\vec{a} + \vec{b} = \vrm{AB} + \vrm{BC} = \vrm{AC}$입니다. 이는 삼각형 $\mrm{ABC}$를 이용해 벡터를 더하는 방법이므로 삼각형법이라고 부르기로 합시다. 두 벡터 $\vec{a}$, $\vec{b}$의 시점을 일치시켜 합을 구하는 방법도 있습니다. 그림과 같이 $\vec{a} = \vrm{OA}$, $\vec{b} = \vrm{OB}$가 되도록 잡고, 사각형 $\mrm{AOBC}$가 평행사변형이 되도록 점 $\mrm{C}$를 잡으면 $\vec{a} + \vec{b} = \vrm{OC}$입니다. 이는 평행사변형 $\mrm{AOBC}$를 이용해 벡터를 더하는 방법이므로 평행사변형법이라고 부르기로 합시다.

벡터의 덧셈에 대하여 교환법칙과 결합법칙이 성립합니다.

특히 $\vec{a}$와 $\vec{0}$에 대하여 $\vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a}$이 성립하고, $\vec{a}$와 $-\vec{a}$에 대하여 $\vec{a} + (-\vec{a}) = (-\vec{a}) + \vec{a} = \vec{0}$이 성립합니다.

벡터의 뺄셈

두 벡터 $\vec{a}$, $\vec{b}$의 차는 $\vec{a}$와 $\vec{b}$의 시점이 일치하도록 평행이동했을 때, `시점이 $\vec{b}$의 종점이고 종점이 $\vec{a}$의 종점인 벡터'로 정의됩니다. 즉, $\vec{a}=\vrm{OA}$, $\vec{b} = \vrm{OB}$일 때 $\vec{a} - \vec{b} = \vrm{OA}-\vrm{OB} = \vrm{BA}$입니다.²이는 벡터의 덧셈에서 \[\begin{align*}\vrm{OA} = \vrm{OB} + \vrm{BA}\end{align*}\] 가 성립하는 것과 같은 의미입니다.

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벡터의 실수배

(a)와 같이 영벡터가 아닌 임의의 벡터 $\vec{a}$에 대하여 $\vec{a}+\vec{a}$는 $\vec{a}$와 방향이 동일하고 크기가 $\avi{a}$의 $2$배인 벡터입니다. 이것을 $2\vec{a}$라 표기합니다. 또 (b)와 같이 $(-\vec{a}) + (-\vec{a})$는 $\vec{a}$와 방향이 반대이고 크기가 $\avi{a}$의 $2$배인 벡터입니다. 이것을 $-2\vec{a}$라 표기합니다.

일반적으로 임의의 실수 $k$와 벡터 $\vec{a}$의 곱 $k\vec{a}$를 벡터 $\vec{a}$의 실수배라 하고 다음과 같이 정의합니다.

이 정의로부터 다음이 성립합니다. \[\begin{align*} 1\vec a = \vec{a}, \quad (-1)\vec{a} = -\vec{a}, \quad 0\vec{a} = \vec{0} \end{align*}\] 한편 벡터의 실수배에 대하여 결합법칙과 분배법칙이 성립합니다.

벡터의 평행

영벡터가 아닌 두 벡터 $\vec{a}$, $\vec{b}$의 방향이 동일하거나 반대일 때 $\vec{a}$와 $\vec{b}$는 서로 평행하다고 하고 $\vec{a} \prl \vec{b}$라 표기합니다. 이때 벡터의 실수배의 정의에 의하여 어떤 실수 $k$에 대하여 $\vec{b} = k\vec{a}$가 성립합니다.

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평면에서의 위치벡터

평면에서 한 점 $\mrm{O}$를 고정하면 임의의 벡터 $\vec{p}$에 대하여 $\vec{p} = \vrm{OP}$인 점 $\mrm{P}$의 위치가 단 하나로 정해집니다. 반대로 임의의 점 $\mrm{P}$에 대하여 $\vrm{OP} = \vec{p}$인 벡터 $\vec{p}$가 단 하나로 정해집니다.

즉 시점을 한 점 $\mrm{O}$로 고정하면 벡터 $\vrm{OP}$와 평면 위의 한 점 $\mrm{P}$는 일대일로 대응합니다. 이와 같이 일정한 점 $\mrm{O}$를 시점으로 하는 벡터 $\vrm{OP}$를 점 $\mrm{O}$에 대한 점 $\mrm{P}$의 평면벡터라고 합니다.³일반적으로 위치벡터의 시점은 좌표평면의 원점 $\mrm{O}$로 잡습니다.

임의의 벡터를 위치벡터로 나타내기

두 점 $\mrm{A}$, $\mrm{B}$의 위치벡터를 각각 $\vec{a}$, $\vec{b}$라 할 때 다음이 성립합니다. \[\begin{align*}\vrm{AB} = \vrm{OB} - \vrm{OA} = \vec{b} - \vec{a}\end{align*}\]

내분점과 외분점의 위치벡터

위치벡터가 각각 $\vec{a}$, $\vec{b}$인 두 점 $\mrm{A}$, $\mrm{B}$에 대하여 선분 $\mrm{AB}$를 $m:n$으로 내분하는 점을 $\mrm{P}$, $m:n$으로 외분하는 점을 $\mrm{Q}$라 할 때, 두 점 $\mrm{P}$, $\mrm{Q}$의 위치벡터 $\vec{p}$, $\vec{q}$는 각각 다음과 같습니다. \[\begin{align*} \vec{p} = \dfrac{m}{m+n}\vec{b} + \dfrac{n}{m+n}\vec{a}, \quad \vec{q} = \dfrac{m}{m-n}\vec{b} - \dfrac{n}{m-n}\vec{a} \end{align*}\]

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무게중심의 위치벡터

위치벡터가 각각 $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$인 세 점 $\mrm{A}$, $\mrm{B}$, $\mrm{C}$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mrm{ABC}$의 무게중심 $\mrm{G}$의 위치벡터 $\vec{g}$는 다음과 같습니다. \[\begin{align*}\vec{g} = \dfrac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}\end{align*}\]

평면벡터의 성분

평면벡터의 성분의 정의

(a)와 같이 좌표평면 위에서 원점 $\mrm{O}$를 시점으로 하고 두 점 $\mathrm{E_1}\xy{1}{0}$, $\mathrm{E_2}\xy{0}{1}$을 각각 종점으로 하는 두 단위벡터를 각각 \[\begin{align*}\vrm{OE_1} = \vec{e_1}, \quad \vrm{OE_2} = \vec{e_2}\end{align*}\]라 표기합니다.

(b)와 같이 좌표평면 위의 임의의 점 $\mathrm{A}\xy{a_1}{a_2}$의 위치벡터 $\vec{a}$에 대하여 \[\begin{align*}\vec{a} = a_1\vec{e_1} + a_2\vec{e_2}\end{align*}\]라 나타낼 수 있습니다. 이때 두 실수 $a_1$, $a_2$를 벡터 $\vec{a}$의 평면벡터의 성분이라고 하고, $a_1$을 $x$성분, $a_2$를 $y$성분이라고 합니다. 또 벡터 $\vec{a}$를 성분을 이용하여 $\vec{a} = \xy{a_1}{a_2}$와 같이 나타냅니다.

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평면벡터의 크기, 두 평면벡터가 같을 조건

벡터 $\vec{a} = \xy{a_1}{a_2}$의 크기는 $\sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 }$이고, 두 벡터 $\vec{a}$, $\vec{b} = \xy{b_1}{b_2}$가 서로 같을 조건은 `$a_1=b_1$이고 $a_2 = b_2$'입니다.

평면벡터의 성분에 의한 연산

$\vec{a}=\xy{a_1}{a_2}$, $\vec{b}=\xy{b_1}{b_2}$와 실수 $k$에 대하여 두 벡터의 성분에 의한 연산은 다음과 같습니다.

두 점에 의한 평면벡터의 성분과 크기

두 점 $\mathrm{A}\xy{a_1}{a_2}$, $\mathrm{B}\xy{b_1}{b_2}$에 대하여 다음이 성립합니다.

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평면벡터의 내적

두 벡터가 이루는 각

영벡터가 아닌 두 벡터 $\vec{a}$, $\vec{b}$에 대하여 임의의 한 점 $\mrm{O}$를 잡아 $\vec{a} = \vrm{OA}$, $\vec{b} = \vrm{OB}$가 되도록 두 점 $\mrm{A}$, $\mrm{B}$를 정할 때, \[\begin{align*}\angle \mrm{AOB} = \theta\: (0 \le \theta \le \pi)\end{align*}\] 를 두 벡터 $\vec{a}$, $\vec{b}$가 이루는 각의 크기라고 합니다.

내적의 정의

두 벡터 $\vec{a}$, $\vec{b}$가 이루는 각의 크기를 $ \theta\: (0 \le \theta \le \pi)$라 할 때, \[\begin{align*}\avi{a}\avi{b}\cos\theta\end{align*}\]를 두 벡터 $\vec{a}$, $\vec{b}$의 내적이라 하고, $\vec{a}\bcd\vec{b}$라 표기합니다.

내적의 연산법칙

일반적으로 벡터의 내적에 대하여 다음이 성립합니다.

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내적의 성분표시

이때 $\vec{a} = \xy{a_1}{a_2}$, $\vec{b}=\xy{b_1}{b_2}$이면 다음이 성립합니다. \[\begin{align*}\vec{a}\bcd\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2\end{align*}\] 또한 정의에 의하여 $\vec{a}\bcd\vec{a} = \avi{a}\avi{a}\cos 0 = \avi{a}^2$, $\vec{a} \bcd \vec{0} = \vec{0} \bcd \vec{a} = 0$이 성립하고, 이루는 각의 크기가 $90^\circ$인 두 벡터 $\vec{a}$, $\vec{b}$에 대하여 $\vec{a}\bcd\vec{b} = \avi{a}\avi{b}\cos 90^\circ = 0$이 성립합니다.

내적을 이용하여 두 벡터가 이루는 각의 크기 구하기

두 벡터 $\vec{a}=\xy{a_1}{a_2}$, $\vec{b}=\xy{b_1}{b_2}$가 이루는 각의 크기를 $ \theta\: (0 \le \theta \le \pi)$라 할 때 $\vec{a}\bcd\vec{b} = \avi{a}\avi{b}\cos\theta$이므로 다음이 성립합니다. \[\begin{align*}\cos\theta = \dfrac{\vec{a}\bcd\vec{b}}{\avi{a}\avi{b}} = \dfrac{a_1b_1 + a_2b_2}{\SQRT{{a_1}\spow2 + {a_2}\spow2}\SQRT{{b_1}\spow2 + {b_2}\spow2}}\end{align*}\]

벡터의 평행 조건, 수직 조건

영벡터가 아닌 두 벡터 $\vec{a}$, $\vec{b}$가 서로 평행할 조건과 서로 수직일 조건은 다음과 같습니다.

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평면도형의 방정식

직선의 방정식 (1) : 방향벡터

좌표평면에서 한 점 $\mathrm{A}\xy{x_1}{y_1}$를 지나고 영벡터가 아닌 벡터 $\vec{u}=\xy{a}{b}$에 평행한 직선 $l$ 위를 움직이는 임의의 점 $\mathrm{P}\xy{x}{y}$에 대하여 두 점 $\mrm{A}$, $\mrm{P}$의 위치벡터를 각각 $\vec{a}$, $\vec{p}$라 하면 다음이 성립합니다. \[\begin{align*} \vec{p} = \vec{a} + t\vec{u} \quad (\text{단, $t$는 실수})\end{align*}\] 이를 직선 $l$의 벡터방정식이라 하고, 벡터 $\vec{u}$를 직선 $l$의 방향벡터라 합니다. 이 벡터방정식을 성분으로 나타내면 다음과 같습니다. \[\begin{align*} \begin{cases} x = x_1 + at \\ y = y_1 + bt \end{cases} \end{align*}\] 이를 매개변수로 나타낸 직선 $l$의 방정식이라고 합니다. 한편 이 식에서 $ab \ne 0$일 때, $t = \dfrac{x-x_1}{a}$, $t=\dfrac{y-y_1}{b}$이므로 매개변수 $t$를 소거하면 다음과 같습니다. \[\begin{align*}\dfrac{x-x_1}{a}=\dfrac{y-y_1}{b}\end{align*}\] 이 또한 직선 $l$의 방정식입니다. 한편 $a=0$, $b\ne0$이면 직선 $l$의 방정식은 $x=x_1$이고, $a\ne0$, $b=0$이면 직선 $l$의 방정식은 $y=y_1$입니다.⁴$\vec{u}$는 영벡터가 아니므로 $a=0$, $b=0$인 경우는 존재하지 않습니다.

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직선의 방정식 (2) : 법선벡터

좌표평면에서 한 점 $\mathrm{A}\xy{x_1}{y_1}$를 지나고 영벡터가 아닌 벡터 $\vec{n}=\xy{a}{b}$에 수직인 직선 $l$ 위를 움직이는 임의의 점 $\mathrm{P}\xy{x}{y}$에 대하여 두 점 $\mrm{A}$, $\mrm{P}$의 위치벡터를 각각 $\vec{a}$, $\vec{p}$라 하면 다음이 성립합니다. \[\begin{align*} (\vec{p} - \vec{a}) \bcd \vec{n} = 0 \end{align*}\] 이를 직선 $l$의 벡터방정식이라 하고, 벡터 $\vec{n}$을 직선 $l$의 법선벡터라 합니다. 이 벡터방정식을 성분으로 나타내면 다음과 같습니다. \[\begin{align*} &a(x-x_1) + b(y-y_1)=0\\ &ax + by + c=0 \quad(\text{단, $c = -ax_1 - by_1$}) \end{align*}\] 이를 직선 $l$의 방정식이라고 합니다.

원의 방정식

점 $\mrm{C}$를 중심으로 하고 반지름이 $r$인 원 위를 움직이는 임의의 점 $\mrm{P}$에 대하여 $\mrm{C}$와 $\mrm{P}$의 위치벡터를 각각 $\vec{c}$, $\vec{p}$라 할 때 다음이 성립합니다. \[\begin{align*}\ovr{CP}=\avr{CP}=\av{\vec{p} - \vec{c}}=r\end{align*}\] 이때 양변을 제곱하면 $\av{\vec{p} - \vec{c}}^2 = r^2$이고, 이를 내적을 이용하여 나타내면 다음과 같습니다. \[\begin{align*} (\vec{p} - \vec{c})\bcd(\vec{p} - \vec{c}) = r^2\end{align*}\] 이를 원의 벡터방정식이라 합니다.

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1. 1. 우리가 기하에서 배우는 벡터는 평면벡터뿐입니다. 공간에서의 벡터인 공간벡터는 교육과정에서 배우지 않습니다. 그러나 공간벡터에 대해 궁금한 학생들을 위해 Special에서 공간벡터를 다룹니다.
2. 2. 이는 벡터의 덧셈에서 \[\begin{align*}\vrm{OA} = \vrm{OB} + \vrm{BA}\end{align*}\] 가 성립하는 것과 같은 의미입니다.
3. 3. 일반적으로 위치벡터의 시점은 좌표평면의 원점 $\mrm{O}$로 잡습니다.
4. 4. $\vec{u}$는 영벡터가 아니므로 $a=0$, $b=0$인 경우는 존재하지 않습니다.