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Graph) 함수의 성질과 시각화 > 좌표평면과 그래프 해석의 기초

그래프를 본격적으로 배우기 전에 좌표평면, 함수의 그래프, 부등식의 영역에 대한 기초개념을 간단하고 빠르게 알아보겠습니다.

는 좌표평면 전체를 나타낸다

$좌표평면 위에 표시된 임의의 점 (x, y)$ $(x, y)가 나타내는 영역으로 좌표평면 전체가 색칠된 그림$

일반적으로 좌표평면 위의 점 라 하면, 와 에 아무런 제약이 없으므로 는 임의의 실수, 는 임의의 실수입니다. 이때 는 `순서쌍 엑스 콤마 와이'라고 읽습니다. 따라서 가 나타내는 영역을 색칠하면 (b)와 같이 좌표평면 전체를 칠하게 됩니다.

와 가 나타내는 도형

x = 1.0

x = k 의 k1.0

y = 1.0

y = k 의 k1.0

슬라이더로 값을 움직이면서 와 가 나타내는 직선이 어떻게 이동하는지 확인해보세요.

이라는 방정식은 라 할 수 있고, 는 상수 으로 고정, 는 임의의 실수입니다. 이러한 점들은 (a)와 같이 좌표평면에서 축에 수직이고 을 지나는 직선을 나타냅니다. 라는 직선도 마찬가지 방법으로 (b)와 같이 축에 수직이고 를 지나는 직선을 나타내게 됩니다.

가 나타내는 도형

점을 드래그하거나 Tab → 화살표 키로 이동

$곡선 위의 여러 점이 모여서 만드는 y=f(x) 그래프 전체$

곡선 위의 점 에서 를 좌우로 드래그하면서, 좌표에 대응하는 유일한 좌표 가 어떻게 결정되는지 관찰해보세요.

앞에서와 같은 방법으로 라는 식을 해석하면, 에는 제약이 없고(여기까지만 보았을 때는 제약이 없어 보입니다.), 에는 라는 제약이 생깁니다. 이때 는 `에프 엑스'라고 읽습니다. 그러면 좌표가 일 때 좌표가 인 점을 찍으면 됩니다. 즉 좌표는 를 취하고, 좌표는 (해당하는 에 대하여 오직 하나의 값인) 를 취하여 점을 찍기 때문에, 방정식의 이름이 인 것입니다.

그런데 함수의 제약조건 (2)에 의해(정의역의 원소 하나에 대응하는 공역의 원소 는 유일합니다.) 하나에 대응하는 는 유일하므로 와 가 만나는 점은 오직 로 유일합니다. 이를 이용하면 주어진 그래프가 함수의 그래프인지 아닌지를 판정할 수 있습니다. 축에 수직인 직선을 그어 교점의 개수가 이상이면 함수의 그래프가 아니고, 이하이면 함수의 그래프입니다.(와 의 교점의 개수가 이면 는 의 정의역에 포함되지 않습니다.)

교점 개수:2함수의 그래프 아님

수직선 위치 k1.0

수직선을 좌우로 움직이면서 곡선과의 교점 개수가 어떻게 바뀌는지 확인해보세요. 교점이 항상 1개 이하이면 함수의 그래프입니다.

한편, 앞서 좌표에는 제약이 없어 보였지만, 잘 생각해보면 는 가 의 정의역의 원소일 때에만 정의되는 값입니다. 따라서 `가 의 정의역의 원소'라는 제약이 간접적으로 주어진 셈이 됩니다. 따라서 정의역은 좌표평면에서 가 그려지는 가로 범위를 결정합니다.

기본적인 부등식이 나타내는 도형

이 내용(부등식의 영역)은 일반적인 교육과정에서는 다루지 않지만, 부등식과 좌표평면을 이해하고 미적분과 접목하는 데에 큰 도움이 되므로 소개합니다.(우리가 부등식의 영역을 이용하여 미적분을 해석하는 것을 막을 수는 없으니까요. 게다가 그다지 어려운 내용도 아닙니다.)

x > 1.0

경계값 k1.0

y < 2.0

경계값 k2.0

부등호와 경계값을 바꿔가며 반평면 영역이 어떻게 달라지는지 확인해보세요.

좌표평면에서 이라는 부등식은 좌표가 보다 큰 실수이고 좌표는 임의의 실수인 점 를 나타냅니다. 이러한 점들은 (a)와 같이 좌표평면에서 색칠된 영역을 나타냅니다. 직선 은 이 영역의 경계가 됩니다. 라는 부등식도 마찬가지 방법으로 (b)와 같이 좌표평면에서 색칠된 영역을 나타내며, 직선 는 이 영역의 경계가 됩니다.

와 가 나타내는 도형

$y=f(x) 위의 한 x에서 y가 f(x)보다 큰 점들의 수직 직선 단면$

앞서 위의 점 가 좌표는 , 좌표는 인 점을 포함하는 것을 배웠습니다. 라면, 좌표가 일 때, 좌표가 보다 큰 점들을 의미하게 됩니다. 이러한 점이 나타내는 도형은 왼쪽 그림에서의 색칠된 직선과 같습니다. 정의역에 속하는 모든 실수 에 대하여 같은 방법으로 해석하면, 오른쪽 그림과 같이 곡선 위쪽 영역을 모두 색칠하게 됩니다. 이때 는 부등식의 영역에 포함되지 않으므로 점선으로 그려줍니다.

y >f(x), f(x) = 0.3x² - 1

부등호를 , , , 로 바꿔가면서 영역과 경계선(점선/실선)이 어떻게 달라지는지 확인해보세요.

같은 방법으로 , , 가 나타내는 영역을 차례대로 표시하면 각각 위 그림과 같습니다.

부등식의 영역

$y>f(x)는 곡선 y=f(x)의 윗부분, y<f(x)는 아랫부분 영역을 나타내는 그림$

좌표평면에서 부등식 의 영역은 곡선 의 윗부분(위쪽)이고, 부등식 의 영역은 아랫부분(아래쪽)입니다. 부등식에 등호가 포함되어 있으면 곡선 도 포함하며, 영역의 경계선인 곡선을 실선으로 나타냅니다. 부등식 등호가 포함되어 있지 않으면 곡선 를 포함하지 않으며, 영역의 경계선인 곡선을 점선으로 나타냅니다.

반지름 r2.0

부등호를 토글하면서 원 의 내부 영역과 외부 영역이 어떻게 달라지는지 확인해보세요.

좌표평면에서 부등식 의 영역은 원 의 내부이고, 부등식 의 영역은 원 의 외부입니다. 부등식에 등호가 포함되어 있으면 원 도 포함하며, 영역의 경계선인 원을 실선으로 나타냅니다. 부등식에 등호가 포함되어 있지 않으면 원 을 포함하지 않으며 영역의 경계선인 원을 점선으로 나타냅니다.

$연립부등식이 나타내는 공통 영역 (a)$ $첫 번째 부등식 x+y+1≥0의 영역 (b)$ $두 번째 부등식 x²+1≥y의 영역 (c)$

연립부등식의 영역은 연립된 각각의 부등식의 영역의 공통 영역입니다. 예를 들어 연립부등식 가 나타내는 영역은 (a)와 같은데, 이는 (b)에서 색칠된 영역인 와 (c)에서 색칠된 영역인 의 공통영역입니다.