그래프를 다룰 때 주의해야 할 기본 요소에 대하여 알아봅시다.

좌표축과 원점

좌표축과 원점은 그래프가 그려질 무대인 좌표평면에 기본적으로 주어진 핵심정보라는 점에서 중요합니다. 또한 각 축의 교점인 원점은 일종의 불변하는 고정점과 같은 역할을 하므로 언제나 활용될 수 있음을 유념해야 합니다.

좌표축에 수직인 직선

좌표평면에서 `좌표'의 정의를 생각해보면, 각 좌표축에 수직인 두 직선이 각 좌표축과 만나는 점을 이용하여 정의됩니다. 따라서 각 축에 수직인 직선을 생각하는 것은 자연스럽습니다. 좌표를 정의할 때의 사고과정과 동일하기 때문입니다.

또한 축에 수직인 직선 위의 모든 점은 좌표가 같고, 축에 수직인 직선 위의 모든 점은 좌표가 같습니다. 이를 통해 $x$좌표가 같은 점' 또는 좌표가 같은 점'과 같은 조건이 주어졌을 때, `좌표축에 수직인 직선'이 유용하게 쓰일 수 있습니다.

정의역

앞서 기초개념 확인하기에서 설명했듯, 함수의 정의역은 좌표평면에서 그래프가 그려지는 가로 범위를 결정합니다. 이는 논의 대상이 되는 의 값의 범위를 결정하므로 매우 중요합니다. 예를 들어 는 양수 에 대해서만 다루지만, 는 모든 실수 에 대해서 다룹니다.

치역

함수의 치역은 좌표평면에서 그래프가 그려지는 세로 구간이 어떤지를 결정합니다. 이는 이후에 배울 최댓값, 최솟값과 매우 밀접한 연관을 가지므로 매우 중요합니다.

좌표축과의 교점(절편)

축과 축은 좌표평면을 네 개의 사분면으로 구분하는 기준이 됩니다. 따라서 각 축과의 교점은 그래프의 위치에 대한 개략적인 정보를 준다는 점에서 중요합니다. 그만큼 자주 쓰이는 대상이므로, 매번 축과의 교점'이라 부르는 것보다는 간결한 이름을 지어주는 것이 편리합니다. 따라서 직선에서 쓰이는 용어인 절편'을 함수의 그래프에도 적용하여 함수의 그래프와 축과의 교점의 좌표를 절편, 축과의 교점의 좌표를 절편이라 부릅니다.

절편은 방정식 의 해라는 점에서도 중요하고, 연속함수인 경우 함숫값 부호 변화의 가능성을 따지는 기준점이 되므로 매우 중요합니다. 한 곡선 에 대하여 절편은 존재하지 않을 수도 있고, 오직 하나만 존재할 수도 있고, 여러 개 존재할 수도 있습니다.

다항함수의 경우 주어진 식에서 바로 절편을 알아낼 수 있는 경우가 많아 자주 쓰이는 점 중 하나입니다. 또한 함수의 절편은 반드시 유일하다는 점에서 특별한 의미를 갖습니다. (단, 이 정의역에 포함되지 않은 경우에는 절편이 존재하지 않습니다.)

함숫값의 부호

좌표와 좌표가 모두 실수이므로, 실수를 바라보는 관점에 의하면 부호를 기준으로 생각하는 것은 자연스럽습니다. 이때 좌표의 부호는 인 축에 의해 좌우로 구분되고, 좌표의 부호는 인 축에 의해 상하로 구분됩니다. 또한 의 부호가 어떤지에 따라 의 범위를 생각할 수 있습니다. 그러므로 각각의 범위 또한 중요합니다.

한 점 가 주어졌을 때 좌표평면에서 찾을 수 있는 정보

점을 드래그하며 두 거리가 어떻게 함께 변하는지 관찰해보세요.

한 점 ()가 주어졌다고 해봅시다. 이 점에서 각 좌표축에 수선의 발을 내리는 것은 자연스럽습니다. 이때 축까지의 거리는 , 축까지의 거리는 입니다.

점의 위치에 따라 원점을 잇는 직선의 기울기와 직사각형 넓이가 어떻게 변하는지 관찰해보세요.

한편 기하학적인 관점에서 이 점의 좌표와 좌표를 활용할 수 있습니다. 좌표평면에 기본적으로 주어진 점인 원점과 이 점을 지나는 직선을 생각한다면 그 직선의 기울기는 입니다. 또한 원점과 이 점을 한 대각선으로 하는 직사각형을 생각할 수 있으며, 이 직사각형의 넓이는 입니다.

만약 함수 가 미분가능하다면 접선의 기울기인 를 생각할 수 있고, 접선의 절편과 절편 또한 생각할 수 있습니다.