방정식과 부등식을 그래프로 해석하면 식만으로 다루기 어려운 문제도 직관적으로 풀이할 수 있습니다.

방정식과 그래프

방정식 의 (서로 다른) 실근을 그래프를 통해 해석해봅시다. 검은색 점들은 위의 점이므로 각각 $x$좌표가 $x$일 때 $y$좌표가 $f(x)$인 점'이고, 분홍색 점들은 $y=g(x)$ 위의 점이므로 좌표가 일 때 좌표가 인 점'입니다. 이때 교점은 `좌표가 일 때 좌표가 이기도 하고 이기도 한 점'이 됩니다. 따라서 를 만족하는 점이 두 그래프의 교점입니다.

방정식 은 인 경우, 즉 의 그래프가 축인 경우로 해석할 수 있습니다. 따라서 와 축의 교점을 찾으면 방정식을 풀이할 수 있습니다.

부등식과 그래프

부등식 또는 의 해를 그래프를 통해 해석해봅시다. 검은색 점들은 위의 점, 분홍색 점들은 위의 점입니다. 이때 좌표가 같은 점들을 찾기 위해 직선 를 그으면 다음과 같습니다.

직선을 좌우로 움직이며 ①, ②, ③ 영역에서 와 의 대소를 비교해보세요.

①에서는 이고, ②에서는 이고, ③에서는 입니다. 즉 위쪽에 그려진 그래프가 같은 좌표를 가질 때 좌표가 더 큽니다. 이를 통해 대소를 비교하여 부등식을 풀이할 수 있습니다.

부등식 또는 은 인 경우, 즉 의 그래프가 축인 경우로 해석할 수 있습니다. 따라서 와 축 중 어느 것이 위쪽에 있는지를 보고 부등식을 풀이할 수 있습니다.

이차함수의 그래프와 이차부등식

이차함수의 그래프

슬라이더로 를 움직이며 그래프 모양이 어떻게 바뀌는지 직접 확인해보세요.

최고차항인 이차항의 계수 의 부호에 따라 이차함수의 그래프의 모양이 달라집니다. 이면 아래로 볼록하다고 하고, 이면 위로 볼록하다고 합니다.

이차부등식의 풀이

이차부등식은 다음과 같은 네 가지 상황을 다룹니다. (단, )

일 때 이차방정식 의 두 근을 각각 , ()라 하고, 일 때 이차방정식의 한 근(중근)을 라 합시다. 이제 이차부등식을 그래프로 풀이하며 수식을 통한 풀이와 연관지어 생각해봅시다.

부등호, 의 부호, 의 부호를 바꾸어가며 이차부등식의 해가 어떻게 달라지는지 확인해보세요. 모든 경우를 한 화면에서 비교할 수 있습니다.

절대부등식과 이차부등식

절대부등식

주어진 전체 범위에 포함된 임의의 실수에 대하여 성립하는 부등식을 절대부등식이라고 합니다. 절대부등식의 대표적인 예는 다음과 같습니다.

1. 산술평균과 기하평균의 관계: 임의의 양수 , 에 대하여
2. 절댓값 부등식: 임의의 실수 , 에 대하여

절대부등식에서는 등호가 언제 성립하는지를 확인하는 것이 매우 중요합니다. 산술평균과 기하평균의 관계는 일 때 등호가 성립합니다. 절댓값 부등식은 와 의 부호가 같을 때 또는 적어도 하나가 일 때, 즉 일 때 성립합니다.

이차부등식이 절대부등식이 될 조건

이차부등식이 임의의 실수 에 대하여 성립한다면 이 또한 절대부등식입니다. 이차부등식이 절대부등식이 되기 위한 조건을 알아봅시다.

부등호와 의 부호를 바꾸고 를 슬라이더로 조절하면서 이차부등식이 절대부등식이 되기 위한 조건을 확인해보세요.