Zero) 용어와 개념 > 함수와 연관된 기본 개념

함수

관계와 함수

관계의 정의

두 집합 $X$, $Y$에 대하여 집합 $X$의 원소에 집합 $Y$의 원소를 짝 지어 주는 것을 `$X$와 $Y$의 관계'라 부릅니다. 이때 집합 $X$의 원소 $x$에 집합 $Y$의 원소 $y$가 짝 지어지는 것을 `$x$에 $y$가 대응한다'이라고 하며, 이것을 기호로 $x \longrightarrow y$와 같이 나타냅니다.¹

함수의 정의

두 집합 $X$, $Y$에 대하여 집합 $X$의 각 원소에 집합 $Y$의 원소가 오직 하나씩만 대응할 때, 두 집합 $X$, $Y$ 사이의 관계인 $X\longrightarrow Y$를 `$X$에서 $Y$로의 함수'라고 합니다. 이를 기호로 나타내면 다음과 같습니다.² \[\begin{align*} f : X \longrightarrow Y\end{align*}\]

함수의 정의에 대한 추가설명

함수의 정의는 문장의 길이가 짧음에도 불구하고 굉장히 깐깐한 제약조건을 담고 있습니다. 문장 성분별로 분석하여 대응이 함수가 되기 위한 두 가지 `제약조건'을 알아보고, `제약조건으로 생각하기 쉽지만 제약조건이 아닌 것'을 알아보겠습니다.

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제약조건 (1) : 집합 $X$의 `각' 원소

관계에서와 다르게, 함수는 $X$의 각 원소가 하나도 빠짐없이 $Y$의 원소에 대응되어야 합니다.³ 따라서 그림 (a)의 관계는 함수가 아닙니다. $X$의 원소인 $3$에 대응되는 $Y$의 원소가 없기 때문입니다.⁴ 이와 달리 그림 (d)의 관계는 함수입니다.

제약조건 (2) : 집합 $Y$의 원소가 `오직 하나씩만'

관계에서와 달리, 함수는 $X$의 원소 하나에 대응되는 $Y$의 원소가 오직 하나여야(유일해야) 합니다.⁵ 따라서 그림 (b), (c)의 관계는 함수가 아닙니다. `$X$의 원소인 $2$에 대응하는 $Y$의 원소'의 개수가 각각 $2$, $3$이기 때문입니다. 이와 달리 그림 (d)의 관계는 함수입니다.

제약조건이 아닌 것 : $Y$의 모든 원소가 대응될 필요는 없다

관계에서 $Y$의 모든 원소가 빠짐없이 대응될 필요는 없었듯이, 함수에서도 마찬가지입니다. 제약조건은 오직 $X$의 원소에 대한 것임을 주의해야 합니다.

함수 관련 용어의 정의

정의역, 공역, 치역, 함숫값

집합 $X$, $Y$와 함수 $f : X \longrightarrow Y$에 대하여 $X$를 함수 $f$의 정의역, $Y$를 함수 $f$의 공역이라 합니다. 또한 함수 $f$에 의하여 정의역의 원소 $x$에 공역의 원소 $y$가 대응할 때, 이를 등식으로 $y=f\left( x \right) $와 같이 나타내고, $f(x)$를 $x$에서의 함숫값이라고 합니다. 이때 $f(x)$는 `에프 엑스'라고 읽습니다. 이때 함숫값 전체의 집합인 $\conset{f\left( x \right) }{$x\in X$}$를 함수 $f$의 치역이라고 합니다.

`제약조건'과 정의역, 함숫값

제약조건 (1)에 따르면, 정의역에 포함된 임의의 원소 $x$에 대하여 함숫값 $f(x)$가 항상 존재합니다. 제약조건 (2)에 따르면, 정의역에 포함된 임의의 원소 $x$에 대하여 $f(x)$의 값은 유일합니다.⁶

`제약조건이 아닌 것'과 치역, 공역

어떤 함수의 공역을 $Y$, 치역을 $F$라 할 때, `제약조건이 아닌 것'에 따르면, 치역과 공역이 항상 일치하는 것은 아닙니다. 한편, 치역은 $Y$의 원소 중에서 함숫값 $f(x)$가 될 수 있는 원소들로 이루어진 집합이므로, 치역은 공역의 부분집합입니다. 따라서 $F$가 $Y$의 진부분집합이면 공역과 치역이 일치하지 않습니다.

정의역과 공역의 범위

함수 $y=f\left( x \right) $의 정의역과 공역이 주어진 경우에는 정의역과 공역의 범위를 주어진 대로 취합니다. 함수 $y=f\left( x \right) $의 정의역과 공역이 주어지지 않는 경우에는 특별한 이유가 없는 한 $f(x)$가 정의되는 실수 $x$의 값 전체의 집합을 정의역으로, 실수 전체의 집합을 공역으로 생각합니다.⁷

함수의 서로 같음

두 함수 $f$, $g$가 다음을 만족시킬 때, `두 함수 $f$, $g$는 서로 같다'고 하고, $f=g$와 같이 나타냅니다.

정의역과 공역이 각각 서로 같다.
정의역의 모든 원소 $x$에 대하여 $f(x)=g(x)$이다.

예를 들어 $f\left( x \right) =\dfrac{x^2-1}{x-1}$과 $g\left( x \right) =x+1$는 $x\ne1$인 모든 실수 $x$에 대하여 $f\left( x \right)=g\left( x \right)$가 성립하므로 두 함수 $f$, $g$가 서로 같다고 착각하기 쉽습니다. 그러나 정의역이 같을 수 없으므로⁸ 두 함수 $f$, $g$는 서로 같지 않습니다.

함수의 그래프

함수 $f:X \longrightarrow Y$에서 정의역 $X$의 원소 $x$와 이에 대응하는 함숫값 $f(x)$의 순서쌍 $\xy{x}{f(x)}$ 전체의 집합 $G=\conset{\xy{x}{f\left( x \right) }}{$x \in X$}$를 함수 $f$의 그래프라고 합니다.⁹ 정의역과 치역이 각각 $\mathbb{R}$의 부분집합인 함수 $y=f(x)$의 그래프는 순서쌍 $\xy{x}{f\left( x \right) }$를 좌표평면에 점으로 나타내어 그릴 수 있습니다.

여러 가지 함수

일대일함수와 일대일대응

다음 조건을 만족시키는 함수 $f: X \longrightarrow Y$를 일대일함수라 합니다.

정의역 $X$의 임의의 두 원소 $x_1$, $x_2$에 대하여 $x_1 \ne x_2$이면 $f\left( x_1 \right) \ne f\left( x_2 \right) $이다.

다음 조건을 만족시키는 함수 $f: X \longrightarrow Y$를 일대일대응이라 합니다.¹⁰

$f$가 일대일함수이다.
$f$의 공역과 치역이 서로 같다.

$\text{[math]}$

일대일대응, 일대일함수, 함수, 관계를 벤 다이어그램으로 나타내면 위 그림과 같습니다. 함수 $f$가 일대일대응이면 일대일함수입니다. 함수 $f$가 일대일함수이면 일대일대응일 수도 있고, 일대일대응이 아닐 수도 있습니다. 함수 $f$가 일대일함수가 아니라면 일대일대응도 아닙니다.

항등함수와 상수함수

함수 $f:X \longrightarrow X$에서 정의역 $X$의 각 원소에 자기 자신이 대응할 때, 즉 $f\left( x \right) = x$일 때, 함수 $f$를 `$X$에서의 항등함수'라고 합니다.

함수 $f:X \longrightarrow Y$에서 정의역 $X$의 각 원소에 각각 모두 공역 $Y$의 원소 $c$가 대응할 때, 즉 $f\left( x \right) = c\:\left( \text{단, $c$는 상수} \right) $일 때, 함수 $f$를 상수함수라고 합니다.

함수의 합성

합성함수의 정의

일반적으로 두 함수 $f:X \longrightarrow Y$, $g:Y \longrightarrow Z$가 주어졌을 때, 집합 $X$의 임의의 원소 $x$에 대하여 함숫값 $f\left( x \right) $는 집합 $Y$의 원소이고, 집합 $Y$의 원소 $f\left( x \right) $에 대하여 함숫값 $g\left( f\left( x \right) \right) $는 집합 $Z$의 원소입니다.

이때 집합 $X$의 각 원소 $x$에 집합 $Z$의 원소 $g\left( f\left( x \right) \right) $를 대응시키면, 이 대응은 $X$에서 $Z$로의 새로운 함수입니다. 이 함수를 `$f$와 $g$의 합성함수'라고 하며, 이것을 기호로 나타내면 다음과 같습니다. 이때 기호 $\circ$는 `서클' 또는 `합성'이라고 읽으며, $g \circ f$는 `쥐 서클 에프' 또는 `쥐 합성 에프'라고 읽습니다. \[\begin{align*} g \circ f, \quad g \circ f : X \longrightarrow Z, \quad y=g\left( f\left( x \right) \right) \end{align*}\]

합성함수의 성질

함수의 합성에서 교환법칙은 성립하지 않고, 결합법칙은 성립합니다. 따라서 여러 합성을 연달아 해야 할 때에는, 계산 과정을 간단하게 만드는 연산 순서가 무엇인지를 고민해보는 것이 필요합니다.

역함수

역함수와 원함수의 정의

일반적으로 함수 $f:X \longrightarrow Y$가 일대일대응이면 집합 $Y$의 각 원소 $y$에 대하여 $f(x)=y$인 $X$의 원소 $x$는 단 하나 존재합니다. 이는 함수의 정의에 부합하므로, 정의역과 치역이 각각 $Y$, $X$이고¹¹, $Y$의 각 원소 $y$에 $X$의 각 원소 $x$가 대응하는 새로운 함수를 생각할 수 있습니다. 이 함수를 `$f$의 역함수'라고 하며, 이것을 기호로 나타내면 다음과 같습니다. 이때 기호 $-1$은 `인버스' 또는 `역함수'라고 읽으며, $f^{-1}$는 `에프 인버스' 또는 `에프의 역함수'라고 읽습니다. \[\begin{align*} f^{-1}, \quad f^{-1} : Y \longrightarrow X, \quad x=f^{-1}\left( y \right) \end{align*}\]

$f^{-1}$는 태생부터 $f$와 매우 밀접한 관계를 가지므로, $f^{-1}$를 중심으로 생각할 때 $f$를 부를 적당한 명칭이 필요할 것입니다. 따라서 어떤 함수 $f$의 역함수 $f^{-1}$가 존재할 때, $f$를 `$f^{-1}$의 원함수'라 부릅니다. 또한 $f$와 $f^{-1}$의 관계를 역함수 관계라 부릅니다.

역함수 존재성 : 일대일대응

만약 $f:X \longrightarrow Y$가 일대일대응이 아닌 일대일함수라면, 집합 $Y$의 원소 중 $f(x)=y$인 $X$의 원소 $x$가 존재하지 않을 수 있습니다. 따라서 제약조건 (1)에 의해 함수의 정의를 만족하지 못하므로, 역함수가 존재하지 않습니다.

만약 $f:X \longrightarrow Y$가 일대일함수가 아니라면, 집합 $Y$의 원소 중 어떤 원소는 $f(x)=y$인 $X$의 원소 $x$가 여러개 존재할 수 있습니다. 따라서 제약조건 (2)에 의해 함수의 정의를 만족하지 못하므로, 역함수가 존재하지 않습니다.

역함수와 원함수의 합성 : 서로 합성하면 항등함수

일대일대응인 함수 $f : X \longrightarrow Y$와 $f$의 역함수 $f^{-1}$ 사이에는 다음이 성립합니다. \[\begin{align*} y= f\left( x \right) \Longleftrightarrow x=f^{-1}\left( y \right) \end{align*}\] 위의 관계의 가정 명제에서, $y=f\left( x \right) $의 $x$ 대신 $x=f^{-1}\left( y \right) $를 대입하면 다음을 얻습니다. \[\begin{align*} y=f\left( x \right) =f\left( f^{-1}\left( y \right) \right) = \COMP{f}{f^{-1}}{y} \end{align*}\] 이때 $f$는 일대일대응이므로 공역과 치역이 $Y$로 동일합니다. 따라서 $y \in Y$인 모든 원소 $y$에 대하여 $\COMP{f}{f^{-1}}{y} = y$가 성립하므로 함수 $\COMP{f}{f^{-1}}{y}$는 `$Y$에서의 항등함수'입니다. 같은 방법을 통해 함수 $\COMP{f^{-1}}{f}{x}$는 `$X$에서의 항등함수'임을 알 수 있습니다.

새로운 함수로서의 역함수

일반적으로 함수를 나타낼 때, 정의역의 원소를 $x$, 함숫값을 $y$로 나타내므로, 함수 $y=f(x)$의 역함수 $x=f^{-1}\left( y \right) $도 $x$와 $y$를 서로 바꾸어 $y=f^{-1}\left( x \right) $로 나타낼 필요가 있습니다. 함수 $y=f\left( x \right)$의 역함수가 존재할 때, 역함수 $y=f^{-1}\left( x \right) $는 다음과 같은 과정으로 나타낼 수 있습니다. 이러한 방법으로 얻은 새로운 함수를 새로운 함수로서의 역함수라 부릅니다.

$y=f\left( x \right) $의 수식을 $x$에 관하여 나타낸다.
$x$와 $y$의 위치를 서로 바꾼다.

대거역함수와 새함역함수

역함수의 정의, 존재성, 성질에서 배웠던 `$f$의 역함수 $f^{-1}$'와, 원함수에서 $x$와 $y$를 서로 바꾸어 얻은 `새로운 함수로서의 역함수'는 이름은 역함수로 같지만 미묘한 차이가 있어 혼동의 여지가 있습니다.

이를 혼동하지 않기 위해서 전자를 `대응관계만 거꾸로인 역함수'라는 의미에서 대거역함수라 부르고, 후자를 새함역함수라 부릅니다. 또한 일반적으로 역함수라 하면 새함역함수를 말하는 것으로 약속합니다. 자세한 내용은 역함수에 대해 심도깊은 이해가 필요한 미적분 선택자들을 위해서 맑은개념 미적분에서 다루겠습니다.

1. 일반적인 교육과정에서는 집합 $X$, $Y$의 원소 $x$, $y$ 사이를 짝 지어주는 $x \longrightarrow y$를 `대응'이라 정의했지만, 집합 사이가 짝 지어지는 $X \longrightarrow Y$에 대한 용어는 정의하지 않았습니다. 따라서 영어 용어인 `relation'을 직역한 `관계'를 도입하였습니다. 참고로, 대응의 영어 표현은 correspond입니다.
2. 함수의 이름은 관습적으로 $f$, $g$, $h$와 같이 짓습니다. 함수의 영문 이름이 function이기 때문입니다.
3. 관계에서는 $Y$의 원소와 대응되지 않는 $X$의 원소가 존재하는 것이 허용됩니다.
4. 만약 집합 $Z=\left\{1,\: 2,\: 4\right\} $을 생각한다면 그림 (a)와 같은 상황에서 함수 $g:Z \longrightarrow Y$를 생각할 수는 있습니다.
5. 관계에서는 $X$의 원소 하나에 $Y$의 원소 여러 개가 대응되는 것이 허용됩니다.
6. 이 문장에서 말하는 것은 `$x$의 값에 관계 없이 $f(x)$의 값이 같다'는 것이 아니라, $f(3)=3$인 동시에 $f(3)=5$일 수 없다는 것입니다. `$x$의 값에 관계 없이 $f(x)$의 값이 같은 함수'에 대해서는 곧 뒤에서 다룹니다.
7. 특별한 이유의 대표적인 예시는 `일대일함수를 일대일대응이 되도록 공역을 치역에 맞추어 축소시키기'가 있습니다.
8. 단, $f$와 $g$의 정의역에서 $x = 1$을 제외해주면 정의역을 같게 해줄 수 있습니다.
9. 그래프를 그림 그 자체라고 생각하는 경우가 많지만, 정의에 따르면 그래프는 집합이지 그림이 아닙니다. 그림은 그 집합을 좌표평면에 나타내었을 때 드러나는 형상일 뿐입니다.
10. 일반적인 교재에서는 `일대일 대응'으로 띄어쓰고 있지만, 그 띄어쓰기의 기준이 일관되지 않습니다. 따라서 불필요한 혼동을 피하기 위하여 붙여쓰겠습니다.
11. 일반적인 교재에서는 $X$를 공역으로 설정하고 있지만, 제약조건 (1)을 생각해보았을 때, $X$를 치역인 동시에 공역인 것으로 생각하는 것이 더 자연스러울 것입니다.