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정적분 다시 살펴보기

구분구적법 : 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이 구하기

어떤 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 때, 넓이 또는 부피를 알고 있는 기본도형¹으로 주어진 도형을 세분하여 어림값을 구하고, 이 어림값의 극한으로 도형의 넓이 또는 부피를 구하는 방법을 구분구적법이라고 합니다.

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예를 들어, 원의 넓이 $S$를 구하기 위해 원에 내접하는 정삼각형의 넓이를 $S_3$이라 하고, 원에 외접하는 정삼각형의 넓이를 $T_3$이라 하면, $S_3 < S < T_3$이 성립합니다. 이를 정사각형, 정오각형, $\cdots$, 정$n$각형에 그대로 적용하면 항상 $S_n < S < T_n$이 성립하고, 세 변에 $\lim_{n \to \infty}$를 취하면 $\lim_{n \to \infty} S_n \le \lim_{n \to \infty} S\le \lim_{n \to \infty} T_n$가 성립하고, $\lim_{n \to \infty} S = S$입니다. 만약 $\lim_{n \to \infty} S_n$과 $\lim_{n \to \infty} T_n$의 값이 각각 존재하고, 서로 값이 $k$로 같다면, 수열의 극한의 대소관계에 의하여 $S = k$입니다. 이와 같이 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 그 도형의 내부에서 어림한 값, 그 도형의 외부에서 어림한 값을 이용하여 구할 수 있습니다.

정적분

구분구적법을 이용한 정적분의 재정의

구분구적법을 사용하면 다음과 같이 정적분을 재정의할 수 있습니다.

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구간 $\CCI{a}{b}$를 $n$등분하여 양 끝 점을 포함한 각 분점의 $x$좌표를 차례로 $x_0(=a)$, $x_1$, $x_2$, $\cdots$, $x_{n-1}$, $x_n\left( =b \right) $라 한다.
각 소구간 $\CCI{x_{k-1}}{x_k}$ ($k=1$, $2$, $\cdots$, $n$)의 길이인 $\dfrac{b-a}{n}$를 $\Delta x$라 한다.
각 소구간의 길이인 $\Delta x$를 가로, 각 소구간의 오른쪽 끝에서의 함숫값을 세로로 하는 직사각형의 넓이의 합 $S_n$을 생각한다.
$S_n=\sum_{k=1}^n f\left( x_k \right) \Delta x$이고, $\int_{a}^{b}f\left( x \right) dx = \lim_{n \to \infty}S_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f\left( x_k \right) \Delta x$이다.

`정적분과 미분의 관계'와 `미적분의 기본 정리'

수학 II교과서에서는 `정적분의 정의(미적분의 기본 정리)'를 먼저 언급한 뒤 `정적분과 미분의 관계'를 다루지만, 맑은개념에서는 정적분과 관련된 수학적 맥락에 맞도록 순서를 뒤집어 그 의미를 설명하겠습니다.

정적분과 미분의 관계 : $\dfrac{d}{dx}\int_{a}^{x}f\left( t \right)dt = f\left( x \right)$

함수 $f\left( t \right) $가 구간 $\CCI ab$에서 연속일 때, 다음이 성립합니다. \[\begin{align*}\dfrac{d}{dx}\int_{a}^{x}f\left( t \right) dt = f\left( x \right) \:\:\left(\text{단, $a<x<b$}\right) \end{align*}\]

정적분과 미분의 관계 : 증명

$f\left( t \right)\ge0 $인 경우에 대해서만 증명하겠습니다.² 맑은개념 수학 I \& 수학 II의 Calculus 2.2)에서 설명했듯이 $\int_{a}^{x}f\left( t \right) dt$는 $x$에 대한 함수이므로 $g\left( x \right)=\int_{a}^{x} f(t)dt$라 둘 수 있습니다. 이때 함수 $g\left( x \right) $에 대한 정보가 없으므로, 이를 분석하기 위해서는 `미분'할 필요가 있습니다. 그러나 $f\left( x \right) $가 연속이라는 조건 외에는 달리 특별한 조건이 없어 미분법을 쓸 수는 없습니다. 따라서 도함수의 정의를 이용해봅시다.

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$g'\left( x \right) =\lim_{h \to 0}\dfrac{g\left( x+h \right) - g\left( x \right) }{h}$입니다. 분자인 $g\left( x + h\right) - g\left( x \right) $를 분석하기 위해 양수 $h$에 대하여³음수일 때에도 동일하게 논리를 전개하면 됩니다. $h$가 음수일 때에도 논리전개는 동일하므로, 스스로 시도해보기 바랍니다. $g\left( x+h \right)= \int_{a}^{x+h}f\left( t \right) dt$와 $g\left( x \right) = \int_{a}^{x}f\left( t \right) dt $를 $ty$좌표평면에 나타내면 각각 (a), (b)와 같습니다. 그러면 분자인 $g\left( x+h \right)-g\left( x \right) $가 의미하는 것은 (c)와 같은 영역의 넓이, 즉 $\int_{x}^{x+h}f\left( t \right)dt $의 값임을 알 수 있습니다.

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그런데 이때 구간 $\CCI{a}{b}$에서 $y=f\left( t \right) $가 연속이므로, 최대·최소 정리에 의하여 $y=f\left( t \right) $는 이 구간에서 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 갖습니다. 그러면 $mh$는 (b)와 같이 구간에서의 최솟값 $m$과 구간의 길이 $h$를 곱한 값이므로 가장 작은 직사각형의 넓이이고, $Mh$는 (c)와 같이 구간에서의 최댓값 $M$과 구간의 길이 $h$를 곱한 값이므로 가장 큰 직사각형의 넓이입니다. 따라서 다음의 부등식이 성립합니다. \[\begin{align*} mh \le g\left( x+h \right) - g\left( x \right) \le Mh \end{align*}\] 이때 각 변을 $h$로 나누면 다음과 같습니다. \[\begin{align*} m \le \dfrac{g\left( x+h \right) - g\left( x \right)}{h} \le M \end{align*}\] 이때 $h\to 0$이면 $m \to f\left( x \right) $, $M \to f\left( x \right) $이므로⁴$m$만 증명해봅시다. 구간 $\CCI{x}{x+h}$에서 최솟값 $m$을 갖도록 하는 $x$의 값을 $c$라 할 때, $f\left( c \right) =m$이고 $x\le c \le x+h $입니다. 각 변에 $\lim_{h \to 0}$을 취하면 $x \le \lim_{h \to 0} c \le x$이므로 $\lim_{h \to 0}c=x$입니다. 한편 $f\left( t \right) $는 연속함수이므로 다음이 성립합니다. \[\begin{align*} \lim_{h \to 0}f\left( c \right) &=f\left(\lim_{h \to 0 } c\right)\\ &= f\left( x \right)\\ &= m \end{align*}\] 다음이 성립합니다. \[\begin{align*} f\left( x \right) \le \lim_{h \to 0}\dfrac{g\left( x+h \right) - g\left( x \right)}{h} \le f\left( x \right) \end{align*}\] 따라서 $g'\left( x \right) =\lim_{h \to 0}\dfrac{g\left( x+h \right) - g\left( x \right)}{h}= f\left( x \right) $입니다. $\blacksquare$

정적분과 미분의 관계 : 의미

구간넓이를 구하기 위해서는 정적분을 이용해야 합니다. 그렇지만 정적분의 값이 $y=f\left( x \right) $와 분명히 어떤 연관이 있을 거라는 강한 의심이 있음에도 불구하고, 그 값을 구할 방법은 없었습니다.

그런데 `정적분과 미분의 관계'를 통해 비로소 `$t=a$부터 $t=x$까지 $y=f\left( x \right) $의 구간넓이'를 $x$에 대한 함수로 나타내었을 때, 그 함수의 도함수가 $f\left( x \right) $임을 알 수 있습니다. 즉 부정적분은 미분의 역연산이고, 정적분은 구간넓이를 구하기 위한 것인데, 서로 관심분야가 판이하게 달라보이는 부정적분과 정적분이 `정적분과 미분의 관계'를 통해 매우 밀접한 사이임을 알 수 있는 것입니다.

그리고 정적분과 미분의 관계는 `어떤 함수의 넓이를 구하려면, 무엇을 미분해야 그 함수가 나오는지를 파악하고, 그 함수를 어찌저찌 이용하면 정적분값을 구할 수 있다'는 사실을 알려줍니다. 실제로 그 값을 어떻게 구하는지는 곧 배울 `미적분의 기본 정리'를 통해 결론이 날 것입니다.

또한 증명 과정에서 도함수를 구할 때 `최대·최소 정리'와 `함수의 극한의 대소관계'가 쓰이므로, `연속함수의 성질'과 `극한의 성질'이 `적분과 미분을 이어주는 징검다리' 역할을 합니다. 이를 통해 극한과 연속이 미적분에서 갖는 의의를 알 수 있습니다.

미적분의 기본 정리 : $\int_{a}^{b}f\left( x \right) dx = \inti{F\left( x \right) }{a}{b}$

정적분의 정의가 아니라, 미적분의 기본 정리입니다.

닫힌구간 $\CCI{a}{b}$에서 연속인 함수 $f\left( x \right) $의 한 부정적분을 $F\left( x \right) $라 할 때, 다음이 성립합니다. \[\begin{align*}\int_{a}^{b}f\left( x \right)dx= \inti{F\left( x \right) }{a}{b} =F\left( b \right) - F\left( a \right)\end{align*}\] 이를 \iterm미적분의 기본 정리라 합니다. 교과서에서는 이를 정적분의 정의라 언급하지만, 이는 사실 정의가 아니라 정리이고, 정리는 명제이므로 참임을 증명해야 합니다.

미적분의 기본 정리 : 증명

$g\left( x \right)= \int_{a}^{x}f\left( t \right)dt $라 하면, 정적분과 미분의 관계에 의해 $g'\left( x \right) =f\left( x \right) $이므로 $g\left( x \right) $는 $f\left( x \right) $의 부정적분 중 하나입니다. 이때 $f\left( x \right) $의 한 부정적분을 $F\left( x \right) $라 하면 다음이 성립합니다. \[\begin{align*}g\left( x \right) = \int_{a}^{x}f\left( t \right) dt = F\left( x \right) + C\:\:\left( \text{단, $C$는 적분상수} \right)\cdots \text{①} \end{align*}\] 한편 $g\left( a \right)=\int_{a}^{a}f\left( t \right)dt=0 $이므로 $g\left( a \right) = F\left( a \right) +C$에서 $C=-F\left( a \right) $를 얻습니다. 이를 ①에 대입하면 다음과 같습니다. \[\begin{align*}\int_{a}^{x}f\left( t \right) dt = F\left( x \right) - F\left( a \right) \end{align*}\] 양변에 $x=b$를 대입하면 다음과 같습니다. \[\begin{align*}\int_{a}^{b}f\left( t \right) dt = F\left( b \right) - F\left( a \right) \end{align*}\] 이때 $\int_{a}^{b}f\left( t \right) dt = \int_{a}^{b}f\left( x \right)dx$이므로⁵ 다음이 성립합니다. \[\begin{align*}\int_{a}^{b}f\left( x \right) dx = F\left( b \right) - F\left( a \right) \end{align*}\] 이를 미적분의 기본 정리라 하며, $F\left( b \right) - F\left( a \right) $를 간단히 $\inti{F\left( x \right) }{a}{b}$라 표기합니다.\qedmark

`미적분의 기본 정리'의 의미

앞서 적분과 미분의 관계의 의미가 `어떤 함수의 넓이를 구하려면, 무엇을 미분해야 그 함수가 나오는지를 파악하고, 그 함수를 어찌저찌 이용하면 정적분값을 구할 수 있다'였습니다. 미적분의 기본 정리는 실제로 그 값을 어떻게 구하는지를 알려줍니다.

1. 주로 삼각형, 직사각형(정사각형), 사다리꼴 등이 쓰입니다.
2. 어떤 정적분에서 $f\left( t \right)<0$인 경우나 $x$가 아래끝에 있는 경우, 정적분의 성질을 이용하여 증명하는 상황에 맞도록 주어진 정적분을 변형하면 됩니다. 예를 들어 $f\left( t \right) <0$인 경우, $h\left( t \right)= -f\left( t \right) $라 하면 $\begin{aligned}\!\!\!\!\!\!\!\int_{a}^{x}f\left( t \right)dt = -\int_{a}^{x}h\left( t \right)dt\end{aligned}$와 같이 주어진 상황에 맞도록 변형할 수 있습니다.
3. 음수일 때에도 동일하게 논리를 전개하면 됩니다. $h$가 음수일 때에도 논리전개는 동일하므로, 스스로 시도해보기 바랍니다.
4. $m$만 증명해봅시다. 구간 $\CCI{x}{x+h}$에서 최솟값 $m$을 갖도록 하는 $x$의 값을 $c$라 할 때, $f\left( c \right) =m$이고 $x\le c \le x+h $입니다. 각 변에 $\lim_{h \to 0}$을 취하면 $x \le \lim_{h \to 0} c \le x$이므로 $\lim_{h \to 0}c=x$입니다. 한편 $f\left( t \right) $는 연속함수이므로 다음이 성립합니다. \[\begin{align*} \lim_{h \to 0}f\left( c \right) &=f\left(\lim_{h \to 0 } c\right)\\ &= f\left( x \right)\\ &= m \end{align*}\]
5. 맑은개념 수학 I \& 수학 II의 Calculus 2.2)에서 설명했습니다.