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딱 필요한 만큼의 벡터 개념

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과목의 벡터 개념을 딱 물리학에 필요한 만큼까지만 배우고, 이를 미적분과 접목해 물리학 해석에 활용해보도록 하겠습니다.}

벡터란 무엇인가

벡터의 정의, 서로 같은 벡터, 영벡터

크기와 방향을 갖는 것을 벡터라 합니다. 벡터는 $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$와 같이 나타내며, 벡터의 크기를 $\avi{a}$라 나타냅니다.1벡터는 실수가 아닙니다. $5$, $-2$와 같은 실수에는 방향 개념이 없기 때문입니다. 한편 `벡터의 크기'는 양의 실수 또는 $0$입니다.

벡터의 정의에 따르면, 벡터를 구성하는 것은 `크기'와 `방향'입니다. 따라서 $\vec{a}$와 $\vec{b}$에 대하여 $\avi{a}=\avi{b}$이고 두 벡터의 방향이 같다면2여기서 방향이 서로 같다는 것이 어떤 뜻인지에 대해서는 잠시 생각을 보류하도록 합시다. 두 벡터가 서로 같다고 할 수 있고 $\vec{a} = \vec{b}$라 할 수 있습니다.

크기가 $0$인 벡터를 영벡터라 하며 $\vec{0}$이라 나타냅니다. 영벡터는 방향이 없습니다.3벡터의 정의에 따르면 `크기'와 `방향'을 갖는 것이 벡터인데, 영벡터는 벡터임에도 불구하고 방향을 갖지 않는 예외적인 벡터입니다. 영벡터에 대해서는 이후에 추가적으로 설명하겠습니다.

벡터의 해석 : 방향을 갖는 선분

벡터를 정의한 문장만으로는 그 의미가 명쾌하게 다가오지 않을 수 있고, 그 용도도 잘 떠오르지 않을 것입니다. 따라서 기하학적 상황에서 `크기'와 `방향'을 갖는 도형을 찾고, 이를 벡터로 해석해보겠습니다.
기하학적인 상황에서, `방향을 가진 선분', 즉 `화살표'를 벡터 $\vec{k}$로 생각할 수 있습니다. 선분 $\mrm{AB}$에 대하여 $\mrm{A}$에서 $\mrm{B}$를 향하는 화살표를 생각하면, 선분 $\mrm{AB}$의 길이를 `벡터의 크기', 화살표가 가리키는 방향을 `벡터의 방향'으로 생각할 수 있습니다. 이러한 벡터 $\vec{k}$에 대하여 $\mrm{A}$를 $\vec{k}$의 시점, $\mrm{B}$를 $\vec{k}$의 종점이라 합니다.

그런데 $\vec{k}$라는 표현에는 시점과 종점 정보가 담기지 않습니다. 벡터를 표현할 때 시점과 종점 정보를 담아 나타내고 싶을 때에는 $\vrm{AB}$라 표현합니다. 이때 두 벡터 $\vec{k}$와 $\vrm{AB}$는 크기와 방향이 서로 같은 벡터이므로 $\vec{k}=\vrm{AB}$가 성립합니다.

(a)와 같이 크기와 방향이 같은 벡터들은 모두 서로 같은 벡터이며, 평행이동하였을 때 서로 완전히 겹칩니다.4시점과 종점은 결국 벡터의 방향을 나타내기 위한 수단일 뿐이고, 벡터 그 자체의 본질적인 요소는 아닙니다. (b)와 같이 크기는 같지만 방향이 다른 벡터들을 모두 모으고 시점을 일치시키면, 벡터들의 종점은 모두 어떤 원 위에 있습니다.

이때 원 중심을 $\mrm{O}$라 하고, 원의 색칠된 지름인 선분 $\mrm{AB}$를 봅시다. 이 지름 위에는 크기는 서로 같지만 방향이 다른 두 벡터인 $\vrm{OA}$와 $\vrm{OB}$가 놓여 있습니다. 이때 $\vrm{OB}$를 $\vrm{OA}$의 역벡터라 합니다.5$\vrm{OA}$가 $\vrm{OB}$의 역벡터이기도 합니다. 이때 $\vrm{OA} = -\vrm{OB}$가 성립하며, $\vec{a}= \vrm{OA}$라 하면 $\vrm{OB} = -\vec{a}$입니다. 또한 한 직선 위에 놓이면서 방향이 서로 다를 때, 두 벡터의 관계를 일컬어 `방향이 서로 반대'라 합니다.

영벡터

시점과 종점이 같은 경우를 영벡터라 하고, $\vec{0}$이라 표기합니다. 영벡터는 선분이 아니라 점으로 나타나며, 크기는 $0$이고 방향은 정의되지 않습니다.6모든 방향을 취할 수 있어 자유롭다고 생각할 수도 있고, 모든 방향을 취할 수 있는 것은 어느 방향도 취하지 않는다고 생각할 수도 있습니다. 역벡터 관계인 두 벡터 $\vec{a}$와 $-\vec{a}$에 대하여 $\vec{a} + \left( -\vec{a} \right) = \vec{0} $입니다.

수직선에서의 벡터와 벡터의 연산

수직선에서의 벡터

벡터 $\vrm{AB}$의 시점 $\mrm{A}$와 종점 $\mrm{B}$가 모두 수직선 위에 있다면, 시점과 종점을 모두 $\mrm{A}\left( a \right) $, $\mrm{B}\left( b \right) $와 같이 좌표로 나타낼 수 있습니다. 이때 $\avr{AB}$는 시점과 종점 사이의 거리인 $\abs{b-a}$이고, 방향은 $+$ 방향 또는 $-$ 방향 둘 중 하나입니다. 그러면 방향과 크기를 나란히 써서 벡터를 나타낼 수 있습니다. 이를테면, 크기가 $3$이고 방향이 $+$인 벡터 $\vec{d}$는 $\vec{d} = \left( +3 \right) =\left( 3 \right) $이라 나타내고, 크기가 $2$이고 방향이 $-$인 벡터 $\vec{h}$는 $\left( -2 \right) $라 나타내는 것입니다.7실수가 아니라 벡터라는 의미를 나타내기 위해 실수에 괄호를 씌웁니다. 즉 $\vrm{AB} = \left( \text{방향} \right) \times\left( \text{크기} \right) $입니다. 이때 괄호 안의 값을 성분이라 합니다.

$a$와 $b$의 대소관계에 따라 벡터를 나타내봅시다. (a)와 같이 $a<b$이면 크기는 $\abs{b-a}=b-a$이고, 방향은 $+$이므로 $\vrm{AB}=\left( b-a \right) $입니다. (b)와 같이 $a>b$이면 크기는 $\abs{b-a}=a-b$이고, 방향은 $-$이므로 $\vrm{AB}=\Big( -\left( a-b \right) \Big) =\left( b-a \right) $입니다. (c)와 같이 $a=b$이면 크기는 $\abs{b-a}=0$이고 방향은 $+$이든 $-$이든 관계없으므로8앞서 영벡터 주석에서 말했듯이 모든 방향을 취할 수 있다고 생각해도 되고, 어떤 방향도 취하지 않는다고 생각할 수도 있습니다. 마치 실수에서 $0$이 $+0$이든 $-0$이든 관계없이 항상 $0$인 것과 같습니다. $\vrm{AB}=\left( +0 \right)=\left( -0 \right)=\left( 0 \right) $입니다. 이를 통해 어느 경우에도 항상 $\vrm{AB}= \left( b-a \right) $라 나타낼 수 있음을 알 수 있습니다.

정리하면, 수직선에서의 벡터는 $\vrm{AB} = \Big(\left( 방향 \right)\times\avr{AB} \Big) =\left( b-a \right) $라 나타낼 수 있습니다.

수직선에서의 벡터의 연산

벡터의 실수배
두 벡터 $\vec{a}=\left( a \right) $, $\vec{b}=\left( 2a \right) $에 대하여 다음과 같이 생각할 수 있습니다. \[\begin{align*} 2 \times \vec{a}=2\left( a \right)=\left( 2\times a \right)=\left( 2a \right) =\vec{b} \end{align*}\] 따라서 $2\vec{a}=\vec{b}$라 생각할 수 있습니다. 즉 벡터 $\vec{a}$에 실수 $2$를 곱한다는 것은, 벡터의 크기를 기존의 $2$배로 늘리면서 방향은 유지한 것이라 생각할 수 있는 것입니다. 한편 $\vec{a}$와 $\vec{b}$의 관계를 다음과 같이 생각할 수 있습니다. \[\begin{align*} \dfrac{1}{2} \times \vec{b}=\dfrac{1}{2}\left( 2a \right)=\left( \dfrac{1}{2}\times 2a \right)=\left( a \right) =\vec{a} \end{align*}\] 따라서 $\dfrac{1}{2}\vec{b}=\vec{a}$라 생각할 수 있습니다. 즉 벡터 $\vec{b}$에 실수 $\dfrac{1}{2}$를 곱한다는 것은, 벡터의 크기를 반으로 줄이면서 방향은 유지한 것이라 생각할 수 있는 것입니다.
한편 크기가 같고 방향이 서로 반대인 두 벡터 $\vec{a}=\left( a \right) $, $\vec{c}=\left( -a \right) $에 대하여 $-\vec{a}=-\left( a \right) =\left( -a \right) =\vec{c}$라 생각할 수 있습니다. 즉 크기는 그대로 두면서 방향을 뒤집은 것이라 생각할 수 있는 것입니다.
벡터의 합과 차

$\vec{a}=\left( a \right) $, $\vec{b}=\left( b \right) $일 때, (a)와 같이 $\vec{a}+\vec{b} = \left( a \right) +\left( b \right) =\left( a+b \right) $가 성립하고, (b)와 같이 $\vec{a}-\vec{b} =\left( a \right) -\left( b \right) =\left( a-b \right) $가 성립합니다.

합을 이용하여 차를 해석할 수 있습니다. (a)와 같이 $-\vec{b}= \vec{c}$라 하면 $\vec{c} = -\left( b \right) =\left( -b \right)$이고, $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + \vec{c} = \left( a-b \right) $라 해석할 수도 있습니다. (b)와 같이 $\vec{a}$를 두 벡터 $\vec{b}$와 $\vec{d}$의 합인 $\vec{a} = \vec{b} + \vec{d}$로 보아 $\vec{a} - \vec{b} = \left( \vec{b} +\vec{d}\right) - \vec{b} =\vec{d}$라 할 수도 있습니다.

수직선에서의 위치벡터

수직선 위를 움직이는 점 $\mrm{P}$의 위치를 가장 잘 나타내는 정보는 그 점의 좌표입니다. 이 좌표를 벡터로 나타내는 방법은 `시점이 원점 $\mrm{O}$이고 종점이 $\mrm{P}$인 벡터', 즉 $\vrm{OP}$를 생각하는 것입니다. 이러한 벡터 $\vrm{OP}$를 원점 $\mrm{O}$에 대한 $\mrm{P}$의 위치벡터라 합니다.

수직선에서의 벡터 표현법에 의하면 $\vrm{OP} = \left( p-0 \right) =\left( p \right) $입니다. 한편 두 점 $\mrm{A}\left( a \right) $와 $\mrm{B}\left( b \right)$의 위치벡터 $\vrm{OA}$, $\vrm{OB}$는 각각 $\vrm{OA} = \left( a \right)$, $\vrm{OB} = \left( b \right)$입니다. 이때 $\vrm{AB} = \left( b-a \right) $이므로 $\vrm{AB}$, $\vrm{OA}$, $\vrm{OB}$에 대하여 다음과 같은 연산을 자연스럽게 정의할 수 있습니다. \[\begin{align*} \vrm{AB}=\left( b-a \right) = \left( b \right) -\left( a \right) =\vrm{OB}-\vrm{OA} \end{align*}\] 이와 같이 위치벡터를 이용하면 수직선 위의 점을 벡터 하나로 편리하게 나타낼 수 있을 뿐만 아니라, 수직선에서의 한 벡터를 두 벡터의 차로 편리하게 나타낼 수 있습니다.

평면에서의 벡터와 벡터의 연산

평면에서의 벡터

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수직선에서의 벡터를 그대로 좌표평면에 확장할 수 있습니다. 좌표평면에서 어떤 벡터 $\vec{p}$는 $x$축과 평행하고 크기가 $1$인 벡터 $\vec{e_1}$, $y$축과 평행하고 크기가 $1$인 벡터 $\vec{e_2}$를 이용하여 $a\vec{e_1} + b\vec{e_2}$라 나타낼 수 있습니다. 이때 $a$와 $b$의 순서쌍 $\xy ab$는 유일하므로 $\vec{p} =\xy{a}{b}$라 나타낼 수 있으며, $a$, $b$를 각각 $\vec{p}$의 $x$성분, $y$성분이라 합니다. 한편 피타고라스 정리에 의해 $\avi{p} = \sqrt{a^2 + b^2}$입니다.

평면에서의 벡터의 연산

벡터의 실수배
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수직선에서 벡터 $\vec{a}$를 실수배한 $k\vec{a}$는 $\vec{a}$와 방향이 동일하면서 크기가 바뀌거나, 방향이 반대이면서 크기가 바뀌었습니다. 이는 평면에서도 마찬가지입니다. 평면에서 벡터를 실수배하면 방향이 동일하면서 크기가 바뀌거나, 방향이 반대이면서 크기가 바뀝니다.9단 $k=1$ 또는 $k=-1$일 때에는 크기가 바뀌지 않습니다. 반대로 방향이 동일하거나 방향이 반대인 벡터들은 서로 한 직선 위에 있습니다.
벡터의 합과 차
$\vec{a}=\xy pq$, $\vec{b}= \xy{r}{s}$일 때, (a)와 같이 $\vec{a}+\vec{b} = \xy pq + \xy rs = \xy{p+r}{q+s} $가 성립하고, (b)와 같이 $\vec{a}-\vec{b} =\xy pq - \xy rs = \xy{p-r}{q-s} $가 성립합니다.10이때 $\vec{a}$, $\vec{b}$의 종점을 각각 $\mrm{A}$, $\mrm{B}$라 할 때, $\vec{a}-\vec{b}=\vrm{BA}$, $\vec{b}-\vec{a} = \vrm{AB}$임을 알 수 있습니다.
벡터의 합은 성분 없이 그림만으로도 해석할 수 있습니다. 한 벡터의 종점에 다른 벡터의 시점을 일치시켜 삼각형의 두 변을 이루면 나머지 한 변이 벡터의 합을 나타냄을 이용할 수도 있고, 두 벡터의 시점을 일치시켜 평행사변형의 두 변을 이루면 평행사변형을 완성시켰을 때 나머지 한 꼭짓점이 벡터의 합의 종점임을 이용할 수도 있습니다.
벡터의 차는 합으로도 해석할 수 있습니다. (a)와 같이 $-\vec{b}= \vec{c}$라 하면 $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a}+\left( -\vec{b} \right) =\vec{a} + \vec{c} = \xy{p-r}{q-s}$라 해석할 수 있고, (b)와 같이 $\vec{a}$를 두 벡터 $\vec{b}$와 $\vec{d}$의 합인 $\vec{a} = \vec{b} + \vec{d}$로 보아 $\vec{a}-\vec{b}=\left( \vec{b}+\vec{d} \right) - \vec{b} =\vec{d}$라 할 수도 있습니다.

평면에서의 위치벡터

수직선에서와 마찬가지로, 좌표평면 위를 움직이는 점 $\mrm{P}$의 위치를 가장 잘 나타내는 정보는 그 점의 좌표입니다. 이 좌표를 벡터로 나타내는 방법은 `시점이 원점 $\mrm{O}$이고 종점이 $\xy[P]{x}{y}$인 벡터', 즉 $\vrm{OP}$를 생각하는 것입니다. 이러한 벡터 $\vrm{OP}$를 원점 $\mrm{O}$에 대한 $\mrm{P}$의 위치벡터라 합니다. 수직선에서와 마찬가지로, 두 점 $\xy[A]{p}{q}$, $\xy[B]{r}{s}$에 대하여 다음과 같은 연산이 성립합니다.11이는 평면에서의 벡터의 차를 이용해서도 보인 바 있습니다. \[\begin{align*} \vrm{AB}=\xy{r-p}{s-q} = \xy{r}{s} - \xy{p}{q} = \vrm{OB}-\vrm{OA} \end{align*}\] 이와 같이 위치벡터를 이용하면 평면 위의 점을 벡터 하나로 편리하게 나타낼 수 있을 뿐만 아니라, 평면에서의 한 벡터를 두 벡터의 차로 편리하게 나타낼 수 있습니다.
  1. 1. 벡터는 실수가 아닙니다. $5$, $-2$와 같은 실수에는 방향 개념이 없기 때문입니다. 한편 `벡터의 크기'는 양의 실수 또는 $0$입니다.
  2. 2. 여기서 방향이 서로 같다는 것이 어떤 뜻인지에 대해서는 잠시 생각을 보류하도록 합시다.
  3. 3. 벡터의 정의에 따르면 `크기'와 `방향'을 갖는 것이 벡터인데, 영벡터는 벡터임에도 불구하고 방향을 갖지 않는 예외적인 벡터입니다.
  4. 4. 시점과 종점은 결국 벡터의 방향을 나타내기 위한 수단일 뿐이고, 벡터 그 자체의 본질적인 요소는 아닙니다.
  5. 5. $\vrm{OA}$가 $\vrm{OB}$의 역벡터이기도 합니다.
  6. 6. 모든 방향을 취할 수 있어 자유롭다고 생각할 수도 있고, 모든 방향을 취할 수 있는 것은 어느 방향도 취하지 않는다고 생각할 수도 있습니다.
  7. 7. 실수가 아니라 벡터라는 의미를 나타내기 위해 실수에 괄호를 씌웁니다.
  8. 8. 앞서 영벡터 주석에서 말했듯이 모든 방향을 취할 수 있다고 생각해도 되고, 어떤 방향도 취하지 않는다고 생각할 수도 있습니다. 마치 실수에서 $0$이 $+0$이든 $-0$이든 관계없이 항상 $0$인 것과 같습니다.
  9. 9. 단 $k=1$ 또는 $k=-1$일 때에는 크기가 바뀌지 않습니다.
  10. 10. 이때 $\vec{a}$, $\vec{b}$의 종점을 각각 $\mrm{A}$, $\mrm{B}$라 할 때, $\vec{a}-\vec{b}=\vrm{BA}$, $\vec{b}-\vec{a} = \vrm{AB}$임을 알 수 있습니다.
  11. 11. 이는 평면에서의 벡터의 차를 이용해서도 보인 바 있습니다.