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벡터와 미적분의 융합
수직선에서의 운동과 벡터
위치는 위치벡터이다.
수직선 위를 움직이는 점 $\mrm{P}$의 시각 $t$에서의 좌표를 $\left( f\left( t \right) \right) $라 할 때, 우리는 위치벡터 $\vec{p} = \left( f\left( t \right) \right) $를 생각할 수 있습니다. 위치벡터라는 용어 그대로, 점 $\mrm{P}$의 위치를 나타내는 벡터가 위치벡터인 셈입니다.평균속도벡터는 위치벡터의 평균변화율을 나타내는 벡터이다.
우리는 속도를 $\dfrac{\left( \text{위치의 변화} \right) }{\left( \text{시각의 변화} \right) }$, 즉 위치의 변화에 $\dfrac{1}{\left( \text{시각의 변화} \right) }$를 곱한 값이라 배웠습니다. 이를 통해 점 $\mrm{P}$의 시각 $t$에서의 위치를 $f\left( t \right) $라 할 때, 시각 $t=t_1$에서 시각 $t=t_2$까지 움직인 점 $\mrm{P}$의 평균속도를 벡터로 나타내봅시다.
$t=t_1$에서의 순간속도벡터는 평균속도벡터의 극한이다.
벡터에 극한을 취하면 그 성분에 극한을 취하는 것과 같음이 알려져 있습니다.1즉 벡터에 극한을 취하면 그 극한값은 벡터입니다. 이는 미분, 적분에도 모두 해당됩니다. 즉 벡터를 미분한 결괏값은 각 성분을 미분한 벡터이며, 벡터를 적분한 결괏값은 각 성분을 적분한 벡터입니다. 평균속도에서 $t_2 \to t_1$일 때의 극한을 $t=t_1$에서의 순간속도 또는 속도라 합니다. 이를 $t=t_1$에서의 $\vec{v}$라 표기합니다. $t=t_1$에서의 속도의 정의에 의해 다음이 성립합니다. \[\begin{align*} (순간속도)=\vec{v} =\lim_{t_2 \to t_1}\dfrac{1}{t_2 - t_1}\vec{d} = \lim_{t_2 \to t_1}\left\{ \dfrac{1}{t_2 - t_1} \times\left( f\left( t_2 \right) -f\left( t_1 \right) \right) \right\} = \left( f'\left( t_1 \right) \right) \end{align*}\] 이는 `위치의 $t=t_1$에서의 순간변화율'을 성분으로 하는 벡터입니다. 즉 $t=t_1$에서의 순간속도벡터 $\vec{v}$는 함수에서 한 점에서의 순간변화율(미분계수)에 대응되는 개념입니다.
속도벡터의 각 성분은 위치벡터의 각 성분의 도함수이다.
$x$와 미분계수 $f'\left( x \right) $를 대응시켜 도함수 $f'\left( x \right) $를 정의했듯이, $t$와 벡터 $\left( f'\left( t \right) \right) $를 대응시켜 속도벡터 $\vec{v}$를 정의합니다. 정의에 의해 다음이 성립합니다. \[\begin{align*} \vec{v} = \left( f'\left( t \right) \right),\quad \dfrac{d}{dt}\vec{s} = \vec{v},\quad \int_{}^{}\vec{v}dt = \left( \int_{}^{}f'\left( t \right) dt \right) =\left( f\left( t \right) +C \right) &= \vec{s} + \left( C \right)\\ &(\text{단, $C$는 적분상수} ) \end{align*}\]속도의 부호의 의미, 속력(속도의 크기)의 의미
이를 그림으로 나타내면 위와 같습니다. (a)와 같이 $\mrm{P_1}$에서 $\vec{v}$가 $+$ 방향을 가리키는 경우 $\mrm{P}$의 시각 $t=t_1$에서의 운동 방향이 $+$임을 나타내며, 벡터 $\vec{v}$의 크기인 $\avi{v}$는 시각 $t=t_1$에서 얼마나 빠르게 움직이는지를 나타냅니다. (b)와 같이 $\mrm{P_2}$에서 $\vec{v}$가 $-$ 방향을 가리키는 경우 $\mrm{P}$의 시각 $t=t_2$에서의 운동 방향이 $-$임을 나타내며, 벡터 $\vec{v}$의 크기인 $\avi{v}$는 시각 $t=t_2$에서 얼마나 빠르게 움직이는지를 나타냅니다.
속도의 정적분으로 위치를 구할 수 있고, 속력의 정적분으로 이동거리를 구할 수 있다.
시각 $t=t_1$, $t=t_2$에서의 $\mrm{P}$의 위치가 각각 $\vec{s_1}$, $\vec{s_2}$일 때 다음이 성립합니다.2이는 속도가 `순간적인 위치변화의 크기와 방향'을 모두 나타내므로, 속도의 정적분이 `순간적인 위치변화의 크기의 누적량'과 `순간적인 위치변화의 방향의 누적량'을 모두 나타내기 때문입니다. \[\begin{align*} \vec{s_2} = \vec{s_1} + \int_{t_1}^{t_2}\vec{v} dt \end{align*}\] 한편 속도의 크기가 속력이므로 속력은 $\avi{v}$라 정의됩니다. 이때 $\vec{v} = \left( f'\left( t \right) \right) $이면 $\avi v = \abs{f'\left( t \right) }$입니다. 따라서 시각 $t=a$에서 시각 $t=b$까지 점 $\mrm{P}$가 이동한 거리는 다음과 같습니다.3이는 속력이 `순간적인 위치변화의 크기'를 나타내고, 속력의 정적분은 `순간적인 위치변화의 크기의 누적량'을 나타내기 때문입니다. \[\begin{align*} \int_{a}^{b}\avi{v}dt = \int_{a}^{b}\abs{f'\left( t \right) }dt \end{align*}\]평면에서의 운동과 벡터
평면에서의 위치는 위치벡터인 동시에 매나곡이다.
평면에서의 위치, 속도
평면에서의 위치, 속도, 거리의 관계를 알아봅시다. 속도는 $\dfrac{\left( \text{위치의 변화} \right) }{\left( \text{시각의 변화} \right) }$로 정의됩니다. 위치와 속도가 벡터이므로, 벡터로 나타낼 것입니다.
따라서 `벡터로써의 평균속도'에 대하여 다음이 성립합니다. \[\begin{align*} \vec{\left( 평균속도 \right)}= \dfrac{1}{t_2 - t_1}\vec{d} &= \dfrac{1}{t_2 - t_1}\xy{f\left( t_2 \right) -f\left( t_1 \right) }{g\left( t_2 \right) -g\left( t_1 \right) }\\ &= \xy{\dfrac{f\left( t_2 \right) -f\left( t_1 \right) }{t_2 - t_1}}{\dfrac{g\left( t_2 \right) -g\left( t_1 \right) }{t_2 - t_1}} \end{align*}\]
$t=t_1$에서의 순간속도벡터는 평균속도벡터의 극한이다.
순간속도의 정의는 평균속도의 운동 구간에 극한을 취한 것이므로, 다음이 성립합니다. \[\begin{align*} \vec{\left(순간속도\right)}=\vec{v} =\lim_{t_2 \to t_1}\dfrac{1}{t_2 - t_1}\vec{d} &= \lim_{t_2 \to t_1}\left\{ \dfrac{1}{t_2 - t_1} \times\xy{ f\left( t_2 \right) -f\left( t_1 \right)}{g\left( t_2 \right) -g\left( t_1 \right)} \right\} \\ &= \xy{f'\left( t_1 \right) }{g'\left( t_1 \right) } \end{align*}\] 수직선에서의 순간속도와 마찬가지로, 평면에서의 순간속도는 `위치의 $t=t_1$에서의 순간변화율'을 성분으로 하는 벡터입니다. 즉 $t=t_1$에서의 순간속도벡터 $\vec{v}$는 함수에서 한 점에서의 순간변화율(미분계수)에 대응되는 개념입니다.속도벡터의 각 성분은 위치벡터의 각 성분의 도함수이다.
수직선에서와 마찬가지로 평면에서도 $t$와 벡터 $\xy{f'\left( t \right)}{g'\left( t \right) }$를 대응시켜 속도벡터 $\vec{v}$를 정의할 수 있습니다. \[\begin{align*} \vec{v} =\xy{f'\left( t \right) }{g'\left( t \right) } \end{align*}\] 앞서 위치벡터 $\vec{s} = \xy{f\left( t \right) }{g\left( t \right) }$가 $t$에 대한 매나곡이라는 점과 결부지어 생각해보면, $\dfrac{d}{dt} \vec{s}$라는 표현도 자연스럽게 받아들일 수 있을 것이며, $\int_{}^{}\vec{v}dt =\xy{f\left( t \right) +C_1}{g\left( t \right) +C_2}$ (단, $C_1$, $C_2$는 적분상수) 또한 자연스러울 것입니다.속도의 방향의 의미, 속력(속도의 크기)의 의미
