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합성함수 더 살펴보기

매나함으로 이해하는 $y =f\left( g\left( x \right) \right) $의 증감성

우리는 맑은개념 수학 I \& 수학 II의 Calculus 3)에서, $y=f\left( x \right) $와 $y=g\left( x \right) $의 그래프를 알 때, 합성함수 $h \left(x \right)=f\left( g\left( x \right) \right) $의 그래프를 그리기 위해 $g\left( x \right) $가 증감성이 변하는 지점과 $f\left( t \right) $가 증감성이 변하도록 하는 $t=g\left( x \right) $를 기준으로 구간을 나눈 후, 각 구간에서의 증감성을 조사하여 그래프를 그리는 방법을 배웠습니다. 이를 매나함을 이용하여 다시 살펴봅시다.

$y=f\left( g\left( x \right) \right) $ 위의 점 $\mrm{P}$는 $\xy[P]{x}{f\left( g\left( x \right) \right) }$입니다. 이때 $g$의 역함수 $h$에 대하여1$g$의 역함수가 존재한다면 바로 치환할 수 있고, $g$의 역함수가 존재하지 않는다면 적당히 구간을 나누어 각각의 구간에서의 조각역함수인 $h_1$, $h_2$, $\cdots$가 존재하도록 구간을 쪼갤 수 있습니다. $x=h\left( t\right) $로 치환하면 $\mrm{P}$의 좌표를$ \xy{h\left( t \right) }{f\left( t \right) }$라 표현할 수 있습니다.

$h\left( t \right) $가 증가하는 구간에서는 $t_1<t_2<t_3$이면 $h(t_1) < h(t_2) < h(t_3) $이므로 $t$가 증가함에 따라 $x$좌표가 증가하게 됩니다. 이때 $f\left( t \right) $가 증가함수이면 $t$가 증가함에 따라 $y$좌표가 증가하므로, $t$가 증가함에 따라 `$\mrm{P}$의 $x$좌표는 증가하고 $y$좌표는 증가'하게 되어 $\mrm{P}$가 증가함수의 그래프를 나타내게 됩니다. 한편 $f\left( t \right) $가 감소함수이면 $t$가 증가함에 따라 $y$좌표가 감소하므로, $t$가 증가함에 따라 `$\mrm{P}$의 $x$좌표는 증가하고 $y$좌표는 감소'하게 되어 $\mrm{P}$가 감소함수의 그래프를 나타내게 됩니다.
$h\left( t \right) $가 감소하는 구간에서는 $t_1<t_2<t_3$이면 $h(t_1) > h(t_2) > h(t_3) $이므로 $t$가 증가함에 따라 $x$좌표가 감소하게 됩니다. 이때 $f\left( t \right) $가 증가함수이면 $t$가 증가함에 따라 $y$좌표가 증가하므로, $t$가 증가함에 따라 `$\mrm{P}$의 $x$좌표는 감소하고 $y$좌표는 증가'하게 되어 $\mrm{P}$가 감소함수의 그래프를 나타내게 됩니다. 한편 $f\left( t \right) $가 감소함수이면 $t$가 증가함에 따라 $y$좌표가 감소하므로, $t$가 증가함에 따라 `$\mrm{P}$의 $x$좌표는 감소하고 $y$좌표는 감소'하게 되어 $\mrm{P}$가 증가함수의 그래프를 나타내게 됩니다.
지금까지 살펴본 바에 따르면, 어떤 구간에서 $h\left( t \right) $와 $f \left( t \right) $의 증감성이 같으면 합성함수 $y=f\left( g\left( x \right) \right) $의 그래프에서 해당하는 구간이 증가하는 구간이 됩니다. 반대로 어떤 구간에서 $h\left( t \right) $와 $f \left( t \right) $의 증감성이 다르면 합성함수 $y=f\left( g\left( x \right) \right) $의 그래프에서 해당하는 구간이 감소하는 구간이 됩니다. 한편 $h$와 $g$의 증감성은 같으므로2역함수 미분법에 의한 것입니다. Calculus 3)에서와 같이 구간 설정에 유의하면 특정 구간에서의 $f$와 $g$의 증감성을 조사하여 $y=f\left( g\left( x \right) \right) $의 증감성을 알 수 있습니다.

이처럼 매개변수로 나타낸 함수를 이용하면 합성함수 $f\left( g\left( x \right) \right) $의 그래프가 증가하는 구간과 감소하는 구간을 Calculus 3)에서보다 간결하게 설명할 수 있습니다.

벡터의 합으로 합성함수 그래프 그리기

우리가 맑은개념 수학 I \& 수학 II에서 배웠던 $g\left( a \right) =b$, $f\left( b \right) = c$일 때 함수 $y=f\left( g\left( x \right) \right) $의 그래프를 그리는 전통적인 방법은 다음과 같습니다.
  1. $x$축 위의 점 $\xy{a}{0}$을 이용해 $\xy{a}{b}$를 잡고, $y$축 위의 점 $\xy{0}{b}$를 잡는다.
  2. $y$축 위의 점 $\xy{0}{b}$와 $y=x$를 이용해 $x$축 위의 점 $\xy{b}{0}$을 잡는다.
  3. $x$축 위의 점 $\xy{b}{0}$을 이용해 $\xy{b}{c}$를 잡고, $\xy{a}{c}$를 잡는다.
이 방법의 단점은 $a$와 $c$의 관계가 시각적으로 명확히 드러나지 않는다는 것이었습니다. 다행히 이를 해결하기 위한 방법이 있습니다. $b$를 주인공으로 삼아서 상황을 관찰하는 것입니다.

$b$를 주인공으로 삼는 발상은 $b$가 $a$와 $c$의 사이에 끼어 있다는 데서 착안한 것입니다. $b$는 $g$에 의해 $a$와 관계를 맺고 있는 동시에, $b$는 $f$에 의해 $c$와도 관계를 맺고 있습니다. 따라서 $b$를 통해 $a$와 $c$를 바라본다면, $a$와 $c$가 맺고 있는 관계가 무엇인지도 좀 더 잘 드러날 것이라 기대할 수 있습니다.

$y=x$ 위의 점 $\xy{b}{b}$에 대하여, (a)와 같이 $y=b$를 그으면 $g\left( x \right) =b$인 $a$를3그림에서는 하나뿐이지만, $a$는 여러 개일 수도 있습니다. 찾을 수 있고, (b)와 같이 $x=b$를 그으면 $f\left( b \right) =c$인 $c$를 찾을 수 있습니다. 그럼 (a)에서 찾은 $x=a$와 (b)에서 찾은 $y=c$의 교점을 이용하면 우리가 그리고자 하는 $y=h\left( x \right) $ 위의 점인 $\xy[P]{a}{c}$를 (c)와 같이 바로 찾을 수 있습니다.

벡터를 이용하면 이를 좀 더 간결하게 표현할 수 있습니다. 먼저 시점이 $\xy bb$이고 종점이 $y=g\left( x \right) $ 위에 있으며 $x$축과 평행한 벡터 $\vec{a}$를 찾습니다.4앞서 주석에서 언급했듯이 $\vec{a}$는 여러 개일 수 있습니다. 다음으로 시점이 $\xy{b}{b}$이고 종점이 $y=f\left( x \right) $ 위에 있으며 $y$축과 평행한 벡터 $\vec{c}$를 찾습니다. 마지막으로 벡터의 덧셈을 이용하여 시점이 $\xy{b}{b}$이고 $\vec{p}=\vec{a}+\vec{c}$인 벡터 $\vec{p}$의 종점을 찾으면 그 점이 바로 우리가 찾는 점인 $\xy[P]{a}{c}$입니다.
이는 $\vec{a}$가 여러 개인 경우에도 관계 없이 적용할 수 있습니다. 각각의 벡터를 $\vec{a_1}$, $\vec{a_2}$, $\vec{a_3}$, $\cdots$, $\vec{a_n}$이라 할 때, $\vec{p_n} = \vec{a_n} + \vec{b}$의 종점은 모두 $y=h\left( x \right) $ 위의 점 $\mrm{P}_n$입니다.

  1. 1. $g$의 역함수가 존재한다면 바로 치환할 수 있고, $g$의 역함수가 존재하지 않는다면 적당히 구간을 나누어 각각의 구간에서의 조각역함수인 $h_1$, $h_2$, $\cdots$가 존재하도록 구간을 쪼갤 수 있습니다.
  2. 2. 역함수 미분법에 의한 것입니다.
  3. 3. 그림에서는 하나뿐이지만, $a$는 여러 개일 수도 있습니다.
  4. 4. 앞서 주석에서 언급했듯이 $\vec{a}$는 여러 개일 수 있습니다.