역함수 더 살펴보기 (전사와 단사)
역함수에 대해 탐구할 때 알고 있으면 편리한 개념을 배워봅시다. 교육과정에 없는 용어이지만 엄연한 공식 수학 용어입니다.
전사함수, 단사함수, 전단사함수의 정의
(a)와 같이 공역과 치역이 같은 함수를 전사함수라 부르기로 합시다. $y$ 입장에서 보면, $y$가 전부 화살을 \text맞도록 하는 함수라고 생각하면 됩니다. (b)와 같이 치역에 속한 모든 $y$에 대하여1공역에 속한 모든 $y$가 아님을 주의합시다. $y$값 하나에 대응되는 $x$가 오직 하나인 함수를 단사함수라 부르기로 합시다. $y$ 입장에서 보면, $y$가 각각 화살을 단 한 번씩만 \text맞도록 하는 함수라고 생각하면 됩니다.2전사(全射)와 단사(單射)에 쓰인 射는 발사, 사격 등에 쓰이는 `쏠 사'입니다. 이를 바탕으로 전사와 단사의 뜻을 풀이하면, 각각 본문에서 설명한 대로 `전부 맞는', `단 한 번만 맞는'이 됩니다.
전단사 조건와 역함수 존재 조건의 관계
$f$의 전사성, 단사성, 전단사성을 그 역함수 $f^{-1}$의 입장에서 해석해봅시다. $f : X \longrightarrow Y$의 역함수 $f^{-1} : Y \longrightarrow X$가 존재하려면 $f^{-1}$라는 대응이 함수여야 합니다. 함수이려면 제약조건 (1), (2)를 만족해야 합니다. 제약조건 (1)에 따르면, 각각의 $y$에 대하여 `$y$에 대응되는 $x$가 존재'해야 하고, 제약조건 (2)에 따르면 `$y$에 대응되는 $x$가 유일'해야 합니다.그런데 전자는 $f$가 전사함수이면 만족되고, 후자는 $f$가 단사함수이면 만족됩니다. 따라서 전사와 단사는 각각 $f$라는 함수가, 그 역함수의 입장에서 제약조건을 성립시키는지를 알려주는 조건입니다.
유사 역함수 조건 $g\left( f\left( x \right) \right) =x $를 전단사로 해석하기
전사성과 단사성을 배웠으니 이를 활용해봅시다. 미분의 이해 파트에서 간단하게 해석했던 `유사 역함수 조건'을 전사성과 단사성으로 다시 살펴볼 수 있습니다. 먼저 비교적 간단한 상황인 `$f$와 $g$의 정의역과 치역이 모두 $\mathbb{R}$일 때'를 해석해본 뒤, 비교적 복잡한 상황인 `정의역과 치역이 제한 경우'를 다루겠습니다.비교적 간단한 상황 : 각 함수의 정의역과 치역이 모두 $\mathbb{R}$일 때
$g\left( f\left( x \right) \right) = x$가 모든 실수 $x$에 대해 성립한다면 $f$가 단사함수, $g$가 전사함수임을 알 수 있습니다. 이를 증명해봅시다.$f$가 단사함수임을 증명하기
귀류법을 통해 증명할 수 있습니다. $f$가 단사함수가 아니라고 가정하면 $f\left( a_1 \right) = c$, $f\left( a_2 \right) =c$인 $A$의 서로 다른 두 원소 $a_1$, $a_2$가 존재합니다. 그런데 $g\left( c \right) $에 대하여 다음이 성립합니다. \[\begin{align*} g\left( c \right)&= g\left( f\left( a_1 \right) \right) = a_1\\ g\left( c \right) &=g\left( f\left( a_2 \right) \right) =a_2 \end{align*}\] 이때 $g\left( c \right)$는 유일하므로 $a_1=a_2$입니다. 그런데 $a_1$과 $a_2$은 서로 다르므로 모순입니다. 따라서 가정이 잘못되었고, $f$는 단사함수입니다.$g$가 전사함수임을 증명하기
교육과정에서는 정의역과 공역이 $\mathbb R$의 부분집합인 경우만 다룹니다. 또한 치역은 공역의 부분집합입니다. 그런데 $g$의 치역이 $\mathbb R$이므로 $g$의 공역도 $\mathbb R$입니다. $g$의 공역과 치역이 일치하므로 $g$는 전사함수입니다.유사 역함수 조건을 만족하는 $f$, $g$를 역함수 관계라 할 수 없는 이유
$f$와 $g$가 전단사함수여야 비로소 각자 역함수를 가질 수 있는데, 주어진 조건만으로는 $f$도 $g$도 전단사함수인지를 알 수 없습니다. 비록 $f$의 단사성과 $g$의 전사성은 밝힐 수 있지만, $f$의 전사성과 $g$의 단사성은 알 수 없습니다. 따라서 유사 역함수 조건을 만족하는 두 함수는 역함수 관계라 할 수 없습니다.4물론 $f$, $g$가 역함수 관계일 때 유사 역함수 조건을 만족하기는 합니다. 그러나 우리는 `유사 역함수 조건만 주어졌을 때 두 함수가 항상 역함수 관계인가'를 논하는 것이니, 혼동이 없기를 바랍니다.$f\left( g\left( x \right) \right) = x$라는 조건이 추가된 경우
그렇다면 여기에 $f\left( g\left( x \right) \right) = x$라는 조건을 추가하면 어떨까요? $g\left( f\left( x \right) \right)=x $를 해석했을 때와 같이 $g$가 단사함수이고 $f$가 전사함수임을 알 수 있습니다. 그런데 앞서 $g\left( f\left( x \right) \right)=x $ 조건을 해석했을 때 $f$는 단사함수이고 $g$는 전사함수임을 알 수 있었습니다. 즉 두 조건이 맞물리면서 비로소 $f$와 $g$가 전단사성을 갖고, $f$와 $g$가 서로 역함수 관계가 됩니다.조금 더 어려운 상황 : 정의역과 치역이 $\mathbb{R}$의 진부분집합일 때
두 함수 $f\left( x \right) $, $g\left( x \right) $의 정의역을 각각 $A$, $B$라 하고, 치역을 각각 $F$, $G$라 합시다. $x \in A$인 임의의 실수 $x$에 대하여 $g\left( f\left( x \right) \right) = x$가 성립한다면 세 가지 사실을 알 수 있습니다.
- $f$가 단사함수입니다. 증명은 앞서와 동일하므로 생략합니다.
- $F \subset B$입니다. $f\left( a \right) =k$일 때, $A$의 원소 $a$와 $F$의 원소 $k$에 대하여 항상 $g\left( k \right) = a$이므로, 임의의 $k$가 모두 $B$의 원소임을 알 수 있습니다.
- $A \subset G$입니다. $A$의 원소 $a$와 $F$의 원소 $k$에 대하여 항상 $g\left( k \right) =a$이므로, 임의의 $a$가 $G$의 원소임을 알 수 있습니다.
`$F$가 $B$의 진부분집합'이라는 조건이 추가된 경우
이때 $F$가 $B$의 진부분집합인 경우, $f$의 공역을 $B$로 취할 때 $B-F$의 원소는 $f$의 공역의 원소이지만 $f$의 치역의 원소가 아니므로, $f$는 전사함수가 아닙니다. 따라서 $f$는 전단사함수가 아니고, $f$가 전단사함수가 아니면 역함수 $f^{-1}$가 존재하지 않습니다. 따라서 $g$가 $f$의 역함수라 할 수 없습니다.5적어도 $f^{-1}$가 존재하는 상황이어야, $g$와 $f^{-1}$가 같은지를 논할 수 있습니다. 그런데 주어진 상황에서는 $f^{-1}$가 존재하지 않으므로, 논의를 시작할 수 없는 것입니다.$F=B$라는 조건이 추가된 경우
그렇다면, $F = B$라는 조건을 준다면 $g$가 $f$의 역함수일까요? 그렇지는 않습니다. $F=B$라는 조건을 주면 $f$가 전사함수이고, 앞서 $f$가 단사함수임을 밝혔으므로, $f$가 전단사함수임을 알 수 있습니다. 그래서 $f^{-1}$가 존재하는 것을 알 수 있습니다.6즉 $F=B$ 조건을 통해 비로소 함수 $g$와 함수 $f^{-1}$가 같은 함수인지를 논할 수 있는 최소한의 환경이 갖추어진 것입니다.그러나 이번엔 $g$로 인해 $g \ne f^{-1}$입니다. $g$의 치역이 $G$인데 $A$는 $G$의 부분집합이므로, $g$의 정의역 $B$의 원소 $b$와 $G-A$의 원소 $m$에 대하여 $g\left( b \right)=m $인 경우가 존재합니다. 이때 $f\left( m \right) $이 정의되지 않으므로 $f\left( g\left( b \right) \right) = b $가 성립하지 않습니다.
$f\left( g\left( x \right) \right) = x$라는 조건이 추가된 경우
그렇다면 여기에 $f\left( g\left( x \right) \right) = x$라는 조건을 추가하면 어떨까요? $g\left( f\left( x \right) \right)=x $를 해석했을 때와 같이 $g$가 단사함수이고 $G \subset A$이고 $ B \subset F$임을 알 수 있습니다.그런데 앞서 $g\left( f\left( x \right) \right) = x$가 성립하면 $F \subset B$, $A \subset G$라 했습니다. 따라서 $g\left( f\left( x \right) \right) $와 $f\left( g\left( x \right) \right)=x $ 두 조건이 모두 성립하면 $f$와 $g$는 단사함수이고, $B \subset F$와 $F \subset B$가 동시에 성립하므로 $F=B$가 되어 $f$가 전사함수이고, 같은 방법으로 $G=A$가 되어 $g$가 전사함수임을 알 수 있습니다.
정리하면, 추가된 두 조건이 서로 맞물리면서 비로소 $f$와 $g$가 전단사성을 갖고, $f$와 $g$가 서로 역함수 관계가 됩니다.
- 1. 공역에 속한 모든 $y$가 아님을 주의합시다.
- 2. 전사(全射)와 단사(單射)에 쓰인 射는 발사, 사격 등에 쓰이는 `쏠 사'입니다. 이를 바탕으로 전사와 단사의 뜻을 풀이하면, 각각 본문에서 설명한 대로 `전부 맞는', `단 한 번만 맞는'이 됩니다.
- 3. 단사함수는 일대일함수와 완전히 동일한 개념이고, 전단사함수는 교육과정 내 용어인 `일대일대응'과 동일한 개념입니다.즉 교과서는 단사함수와 전단사함수 개념은 설명해주지만 전사함수 개념은 설명하지 않은 것이라 볼 수 있습니다.
- 4. 물론 $f$, $g$가 역함수 관계일 때 유사 역함수 조건을 만족하기는 합니다. 그러나 우리는 `유사 역함수 조건만 주어졌을 때 두 함수가 항상 역함수 관계인가'를 논하는 것이니, 혼동이 없기를 바랍니다.
- 5. 적어도 $f^{-1}$가 존재하는 상황이어야, $g$와 $f^{-1}$가 같은지를 논할 수 있습니다. 그런데 주어진 상황에서는 $f^{-1}$가 존재하지 않으므로, 논의를 시작할 수 없는 것입니다.
- 6. 즉 $F=B$ 조건을 통해 비로소 함수 $g$와 함수 $f^{-1}$가 같은 함수인지를 논할 수 있는 최소한의 환경이 갖추어진 것입니다.