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지수함수의 연속성과 $f'\left( x \right) =\frac{1

x

$의 미스터리} 맑은개념 수학 I \& 수학 II의 Algebra에서 지수함수를 배우며 이와 같은 이야기를 나눈 적이 있습니다.

지수함수를 배우며 이상했던 점 : 연속성을 어떻게 설명하는가?

교과서에서는 수렴이란 용어를 사용하지 않고,
$x$가 어떤 값으로 한없이 가까워질 때 $a^x$가 어떤 값으로 한없이 가까워진다
와 같이 간접적으로 수렴 개념을 사용해 설명합니다. 예를 들어, $\sqrt{2}=1.4142\cdots$에 대하여 $2^{\sqrt2}$을 다음과 같이 설명합니다. \[\begin{align*} 2^{1.4}&=2.6390\cdots, 2^{1.41}=2.6573\cdots, 2^{1.414}=2.6647\cdots, 2^{1.4142}=2.6651\cdots\\ 2^{\sqrt{2}}&= 2.66514414269022518865029724987313984827421\cdots\text{인 비순환소수.} \end{align*}\] 함수의 극한과 수렴은 수학 II 과정이므로, 수학 I에서는 아직 배우지 않은 내용입니다. 그래서 수학 I에서 무리수 지수에 대한 지수함수의 함숫값을 설명할 때, 극한과 수렴이라는 용어를 사용할 수 없기 때문에, 그 개념을 간접적으로 사용한 것입니다. 그러므로 미적분 미선택자는 가볍게 받아들이고 넘어가면 되고, 미적분 선택자는 맑은개념 미적분의 부록에서 이에 대한 논리를 보강할 수 있습니다.
이러한 교과서의 정의대로라면 지수함수의 연속성은 `알려져 있는' 것이고, 로그함수는 지수함수의 역함수이므로 연속함수임을 끌어낼 수 있습니다. 그러나 `알려져 있지 않다면' 교과 내 개념으로 지수함수와 로그함수의 연속성을 증명할 수 있을까요?

놀랍게도, 있습니다.1다만 고교과정의 한계 상 최소한으로 알려져 있는 내용을 활용합니다. 그런데 순서가 거꾸로입니다. 지수함수의 연속성을 증명하는 것이 아니라, 로그함수의 연속성을 증명합니다. 더 자세히 말하자면, 로그함수인지 모르는 어떤 함수를 정의하고, 이 함수가 로그함수임을 보인 후, 이 함수의 역함수를 지수함수라 정의하는 것입니다. 이제 그 논리전개의 여정을 떠나봅니다.

0단계 : 상수함수와 $\dfrac{1}{x}$ 그 사이의 무언가를 찾아서

모든 학생들이 음이 아닌 정수 $n$에 대하여 $\left( x^n \right)' = nx^{n-1} $임을 알고있을 것이며, 미적분을 공부한 학생들은 실수 $\alpha$에 대하여 $\left( x^\alpha \right) ' = \alpha x^{\alpha -1}$임도 알고 있을 것입니다. 논의의 폭을 정수로 한정시키자면, $\left( x^m \right)' = mx^{m-1} $이 성립합니다. 이 중 몇 가지를 나열하면 다음과 같습니다. \[\begin{alignat*}{7} & && && \left( x^3 \right)'&&= &&\hphantom{(-}3\hphantom{)}\times&&x^2 &&= 3x^2 \\ & && && \left( x^2 \right)'&&= &&\hphantom{(-}2\hphantom{)}\times&&x^1 &&= 2x \\ & && && \left( x^1 \right)' &&= &&\hphantom{(-}1\hphantom{)}\times&&x^0 &&= 1 \\ &\quad\left( 1 \right)' &&= &&\left( x^0 \right) ' &&= &&\hphantom{(-}0\hphantom{)}\times&&x^{-1} &&= 0 \\ &\left( \dfrac{1}{x} \right)' &&=&&\left( 0x^{-1} \right) ' &&= &&\left( -1 \right) \times&&x^{-2} &&= -\dfrac{1}{x^2} \\ &\left( \dfrac{1}{x^2} \right)' &&=&&\left( x^{-2} \right) ' &&= &&(-2)\times&&x^{-3} &&= -\dfrac{2}{x^3} \end{alignat*}\] 뭔가 이상한 점을 느끼셨나요? 미분해서 $\dfrac{1}{x}$이 나오는 함수가 없다는 점이 이상하지 않나요? 상수함수를 미분하면 $0$이 되어버려서 밑이 $-1$인 함수가 나오지를 않습니다. 그럼 대체 미분해서 $\dfrac{1}{x}$이 나오는 함수는 무엇일까요? 이 미스터리를 차근차근 해결해보도록 합시다.

1단계 : 몇 가지는 타협하기

다음과 같은 사실은 받아들여야 합니다. 다만 받아들이기 그렇게 껄끄러운 내용은 아닐 것입니다.
  1. 연속함수의 역함수는 연속함수이다.

  2. 도함수가 $\dfrac{1}{x}$인 함수의 치역은 실수 전체의 집합 $\OOI{-\infty}{\infty}$이다.

2단계 : $\dfrac{1}{x}$의 부정적분 정의하기

$\dfrac{1}{x}$은 $\OOI{0}{\infty}$에서 연속함수이므로 임의의 양수 $x$에 대하여 정적분으로 정의된 함수 $\int_{1}^{x}\dfrac{1}{t}dt$는 잘 정의됩니다. 이 함수를 $L\left( x \right) $라 하면 $L\left( x \right) = \int_{1}^{x} \dfrac{1}{t} dt$이고, $L$은 $\OOI{0}{\infty}$에서 미분가능한 함수이므로 $\OOI{0}{\infty}$에서 연속인 함수입니다.
  1. 1. 다만 고교과정의 한계 상 최소한으로 알려져 있는 내용을 활용합니다.