비직관적 함수가 담긴 판도라의 상자

다음의 명제를 맑은개념 수학 I \& 수학 II의 Basic에서 언급한 바 있습니다.

이 명제의 대표적인 반례는 상수함수입니다. 상수함수 위의 점 $\xy{a}{f(a)}$에서는 증감성이 없으므로 증감성이 바뀌지 않지만 $\xy{a}{f(a)}$는 극점의 정의를 만족합니다. 이는 정의역 전체의 구간에서 상수함수인 경우 뿐만 아니라 정의역의 일부에서 상수함수인 경우도 마찬가지입니다. 상수함수를 배제하면 대부분의 경우 $\xy{a}{f(a)}$가 극대점이면 $\OOI p a$에서는 $f'(x)>0$, $\OOI a q$에서는 $f'(x)<0$이고, $\xy{a}{f(a)}$가 극소점이면 $\OOI p a$에서는 $f'(x)<0$, $\OOI a q$에서는 $f'(x)>0$인 상황이 됩니다.

그럼에도 불구하고 이 명제가 유용한 이유

비록 상수함수라는 반례 때문에 명제는 거짓이었지만, 상수함수인 상황을 배제한다면 이 명제는 유효하므로 문제풀이에 유용하게 사용할 수 있습니다. 이는 출제자의 입장에서 `상수함수에서의 극점'을 생각해보면 명확합니다.

특정 구간에서 상수함수인 경우에는 그 구간 위의 무한히 많은 점이 모두 극점이 되다보니, 이 상황을 문장으로 매끄럽게 서술하기가 곤란합니다. 또한 상수함수인 구간 자체를 문제로 내려고 해도, 마땅한 소재를 찾기가 쉽지 않습니다. 이러한 현실적인 한계 때문에 상수함수 그래프 위에서의 극점을 주된 출제 요소로 삼는 경우는 많지 않습니다.

따라서 `증감성이 바뀌면 극점이고, 극점이면 증감성이 바뀐다. 단 상수함수만 빼고'라고 기억한다면, 문제풀이에 아주 유용하게 사용할 수 있을 것입니다.

$\cdots$모르는 게 약이라는 말이 있습니다. 여기까지만 아는 게 어쩌면 더 나을 수 있습니다. 이 페이지 뒤로 넘어간다면 오히려 극점에 대한 개념에 혼란이 생길 수도 있습니다. 극점에 정의와 이미지에 대한 진실을 마주하여 확신을 갖고 싶은 사람만 이 판도라의 상자를 여시기 바랍니다.