미적분 > 미적분 부록

열려버린 판도라의 상자

사실 앞 페이지에서 상수함수를 배제해도 명제는 여전히 거짓입니다. 진실을 말씀드리자면, 앞 페이지의 내용이 틀렸다는 사실을 아예 모르고 사는 사람이 대다수이고, 진실을 알더라도 모종의 이유로 앞 페이지와 같이 말하는 경우도 있습니다. 심지어, 2007 개정 교육과정까지는 수학 교과서에도 실려 있던 오류이기도 합니다.1당시 교과서는 `증가상태', `감소상태'라는 용어를 채택하여, $x=a$에서 증가상태에서 감소상태로 바뀌면 극대, 감소상태에서 증가상태로 바뀌면 극소라 서술했습니다.

다음의 함수를 통해 이 명제에 대한 진실을 알아봅시다. \[\begin{align*} f\left( x \right) =\begin{cases} x^2 \left( 1+ \sin\dfrac{1}{x} \right) & \left( x \ne 0 \right) \\ 0 & \left( x=0 \right) \end{cases} \end{align*}\] 이 함수는 아래 그림과 같이 $x=0$이 아닌 곳에서 수많은 극댓값과 극솟값을 갖습니다.

우리가 주목해야 할 것은 극솟값인데, 함숫값이 $0$일 때 항상 극소가 됨을 알 수 있습니다.2$x^2 >0$이고, $0 \le 1 + \sin \dfrac{1}{x} \le 2$이기 때문에 $0$은 함수 $f\left( x \right) $의 치역의 최솟값입니다. 그리고 $x\ne 0$인 모든 극점들에서 증감성이 바뀌고 있다는 사실도 확인할 수 있습니다.
그런데 문제가 되는 지점은 바로 $\xy 00$입니다. $\xy 00$은 최소점이므로 극소점인데, $x=0$에서 증감성이 바뀌는지를 확인하기 위해 따져보면, $\OOI p 0$에서 아무리 $p$를 $0$에 한없이 가깝도록 하더라도3구간의 길이를 아무리 짧게 잡더라도 $f'(x)$의 부호가 끊임없이 바뀌게 됩니다. 따라서
구간 내에 포함된 모든 실수 $x$에 대하여 $f'(x)<0$이 성립하도록 하는 구간 $\OOI p 0$
은 존재하지 않습니다. 이는 $\OOI 0 q$에 대해서도 마찬가지입니다. `구간에 포함된 모든 실수 $x$에 대하여 $f'\left( x \right)>0 $이 성립하도록 하는 구간 $\OOI 0 q$'는 존재하지 않습니다.

정리하면 다음과 같습니다.

미분가능한 함수가 $x=a$에서 극값을 갖는 상황에서, $x=a$를 기준으로 하여 $x=a$좌우에서 `증가에서 감소' 또는 `감소에서 증가'로 바뀐다는 주장은 사실과 다르다. 왼쪽에서도 증감성이 무한히 바뀌고, 오른쪽에서도 증감성이 무한히 바뀌는 경우가 반례이다.

비직관적 함수 더 살펴보기

판도라의 상자를 연 김에, 해당 내용과 엮어서 생각해볼 수 있는 고교 미분에서의 오해와 그 반례가 되는 그 함수 시리즈를 모두 만나봅시다.

도함수의 극한값과 미분계수는 같다(?)

열린구간 $\OOI ab$에서 미분가능한 함수 $f\left( x \right) $와 $a<c<b$인 실수 $c$에 대하여 $f'\left( c \right) = \lim_{x \to c} f'\left( x \right) $이다.
이미 본문에서 다루었듯이, 그 함수 $f\left( x \right) = \begin{cases} x^2\sin\dfrac{1}{x} & \left( x \ne 0 \right) \\ 0 & \left( x = 0 \right) \end{cases} $가 반례입니다.

한 점에서의 증감성(?)

이 함수는 2007 개정 교육과정까지 포함되어 있던 오류를 수정하는 큰 역할을 하기도 했습니다.4아래 QR코드를 스캔하고 35번 논문을 참조하시기 바랍니다.
\includegraphics[scale=0.2]addpic/qrcode
이를 수학적으로 표현해보면 다음과 같습니다.
열린구간 $\OOI ab$에서 미분가능한 함수 $f\left( x \right) $와 $a<c<b$인 실수 $c$에 대하여 $f'\left( c \right) >0$이면, $c$를 포함하는 어떤 열린구간 $\OOI{p}{q}$에서 $f'\left( x \right) >0$이다.
반례는 $f\left( x \right) = \begin{cases} \dfrac{1}{2}x + x^2\sin\dfrac{1}{x} & \left( x \ne 0 \right) \\ 0 & \left( x = 0 \right) \end{cases} $이고, 그래프는 다음과 같습니다.5$x=0$ 근처에서 그래프가 일직선으로 보이지만, 증가와 감소가 끊임없이 바뀌고 있습니다.

미분계수가 $0$인데 극점이 아니면 변곡점이다(?)

다항함수를 다룰 때 $x^2$에서 원점은 극점, $x^3$에서 원점은 변곡점, $x^4$에서 원점은 극점이라 말할 수 있었지만, 이를 모든 미분가능한 함수로 일반화할 수는 없습니다.

이 오개념을 이를 형식적으로 표현해보면 다음과 같습니다.

열린구간 $\OOI ab$에서 미분가능한 함수 $f\left( x \right) $와 $a<c<b$인 실수 $c$에 대하여 $f'(c)=0$이고 함수 $f\left( x \right) $가 $x=c$에서 극값을 갖지 않으면, 점 $\xy{c}{f\left( c \right) }$는 곡선 $y=f\left( x \right) $의 변곡점이다.
반례는 $g\left( x \right) = \begin{cases} x^2\left( 1+\sin\dfrac{1}{x} \right) & \left( x \ne 0 \right) \\ 0 & \left( x = 0 \right) \end{cases} $라 할 때, 이 함수의 한 부정적분인 $f\left( x \right) = \int_{}^{} g\left( x \right)dx $입니다. $f\left( 0 \right) =0$일 때의 그래프는 다음과 같습니다.6원점 부근에서 부드러운 곡선인 것 처럼 보이지만, 계속 위로 볼록과 아래로 볼록이 바뀌는 그래프입니다.

  1. 1. 당시 교과서는 `증가상태', `감소상태'라는 용어를 채택하여, $x=a$에서 증가상태에서 감소상태로 바뀌면 극대, 감소상태에서 증가상태로 바뀌면 극소라 서술했습니다.
  2. 2. $x^2 >0$이고, $0 \le 1 + \sin \dfrac{1}{x} \le 2$이기 때문에 $0$은 함수 $f\left( x \right) $의 치역의 최솟값입니다.
  3. 3. 구간의 길이를 아무리 짧게 잡더라도
  4. 4. 아래 QR코드를 스캔하고 35번 논문을 참조하시기 바랍니다.
    \includegraphics[scale=0.2]addpic/qrcode
  5. 5. $x=0$ 근처에서 그래프가 일직선으로 보이지만, 증가와 감소가 끊임없이 바뀌고 있습니다.
  6. 6. 원점 부근에서 부드러운 곡선인 것 처럼 보이지만, 계속 위로 볼록과 아래로 볼록이 바뀌는 그래프입니다.