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용어 : 미분과 함수
삼각함수
코시컨트, 시컨트, 코탄젠트
삼각함수 사이의 관계
$\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$가 성립하며, 한편 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = \dfrac{x^2+y^2}{r^2} = 1$의 양변을 $\cos^2\theta$로 나누면 $1+\tan^2\theta = \sec^2\theta$를 얻고, $\sin^2\theta$로 나누면 $1+\cot^2\theta = \csc^2\theta$를 얻습니다.다양한 함수와 미분법
함수의 몫, 합성
미분가능한 두 함수 $f\left( x \right) $, $g\left( x \right) $에 대하여, 도함수의 정의를 이용하여 함수 $\dfrac{f\left( x \right) }{g\left( x \right) } $, $\COMP fgx$의 도함수를 구하면 각각 다음과 같습니다. \[\begin{align*} \left\{ \dfrac{f\left( x \right) }{g\left( x \right) } \right\} ' &= \dfrac{ f'\left( x\right)g\left( x \right) -f\left( x \right) g'\left( x \right) } {\left\{ g\left( x \right) \right\}^2} \\ \left\{ \COMP fgx \right\}' &= \left\{ f\left( g\left( x \right) \right) \right\}' = f'\left( g\left( x \right) \right) g'\left( x \right) \end{align*}\] 이때 $f'(x)$는 `에프 프라임 엑스'라고 읽습니다. 합성함수 미분법은 라이프니츠식 표기법을 이용하여 나타낼 수도 있습니다. $y=f\left( t \right) $, $t=g\left( x \right) $라 하고 $y=f\left( g\left( x \right) \right) $를 미분하면 다음과 같습니다. \[\begin{align*}\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{dt}{dx} \end{align*}\] 이때 $\dfrac{dy}{dx}$는 `디 와이 디 엑스'라고 읽습니다.역함수 미분법
역함수 미분법은 역함수에 대한 정확한 이해 없이는 받아들이기 어려우므로 미분 단원에서 역함수에 대해 자세히 설명한 후 역함수 미분법을 설명하겠습니다.음함수와 음함수 미분법
음함수
방정식 $f(x,\:y)=0$이 주어졌을 때 $x$와 $y$의 값의 범위를 적당히 정하면 $y$는 $x$에 대한 함수가 됩니다. 이와 같은 의미에서 $x$에 대한 함수 $y$가 \[\begin{align*}f(x,\:y)=0 \end{align*}\] 꼴로 주어질 때, $y$를 $x$의 음함수 표현이라 하고, 주어진 식을 칭할 때 음함수 $f(x,\: y)=0$이라고 합니다.음함수의 미분법
음함수에서 $y$를 $x$에 대한 함수로 보고 각 항을 $x$에 대하여 미분하면 $\dfrac{dy}{dx}$를 구할 수 있습니다. 예를 들어 $f(x,\:y) = g(x)h(y)+i(x) + j(y) = 3$를 미분하면 다음과 같습니다. \[\begin{align*} g'(x)h(y) + g(x)h'(y)\dfrac{dy}{dx} + i'(x) + j'(y)\dfrac{dy}{dx} &= 0\\ \therefore \dfrac{dy}{dx} &= -\dfrac{g'(x)h(y)+i'(x)}{g(x)h'(y)+j'(y)} \end{align*}\]매개변수로 나타낸 함수와 곡선
매개변수
두 변수 $x$, $y$ 사이의 관계가 다른 변수 $t$를 매개로 하여 $\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}$ 꼴로 나타날 때, 변수 $t$를 매개변수라고 합니다.매개변수로 나타낸 함수(매나함)과 곡선(매나곡)
두 변수 $x$, $y$에 대하여 매개변수 $t$로 나타내어진 식 \[\begin{align*}\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases} \cdots \text{①}\end{align*}\]이 매개변수 $t$의 값이 변함에 따라 좌표평면에 그리는 곡선을 $C$라 할 때, ①을 매개변수로 나타낸 곡선이라 합니다. 이를 줄여 매나곡이라고 부릅니다. 이때 $C$가 어떤 함수의 그래프라면2그래프 위의 $x$에 대응되는 $y$의 값이 각각 유일할 때 ①을 매개변수로 나타낸 함수라 합니다. 이를 줄여 매나함이라고 부릅니다. 즉 매나곡 중에서 함수의 조건을 만족하는 특별한 경우가 매나함입니다.매나함과 매나곡의 미분법
두 변수 $x$, $y$에 대하여 매개변수 $t$로 나타내어진 식 \[\begin{align*}\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}\end{align*}\] 의 도함수 $\dfrac{dy}{dx}$는 다음과 같이 구할 수 있습니다. (단, $f'(t)\ne 0$일 때에만 성립) \[\begin{align*}\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\qfrac{dy}{dt}}{\qfrac*{dx}{dt}} = \dfrac{g'(t)}{f'(t)}\end{align*}\]도함수의 활용
이계도함수의 정의와 활용
함수 $f(x)$가 미분가능하고, 도함수 $y=f'(x)$가 미분가능할 때, $y=f'\left( x \right) $의 도함수를 이계도함수라 하며, 다음과 같이 표기합니다.3뒤의 두 표현이 생소하거나 어색할 수 있습니다. 이는 $\dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{dy}{dx} \right) =\dfrac{d}{dx}\left\{ \dfrac{d}{dx} \left( y \right) \right\} $이므로 분자스러운 위치에서 $d$가 두 번 반복되므로 $d^2$이라 써주고, 분모스러운 위치에서 $dx$가 두 번 반복되므로 $\left( dx \right)^2$이라 써준다고 생각하면 좋습니다. 여기서 $\left( dx \right)^2$이라 쓰지 않고 괄호를 생략하여 $dx^2$이라 한 것은 어차피 $d \cdot x^2$이라는 표현은 쓰지 않기 때문에 $dx^2 = \left( dx \right) ^2$임이 명확하기 때문입니다. \[\begin{align*} f''(x), y'', \dfrac{d^2 y}{dx^2}, \dfrac{d^2}{dx^2} f\left( x \right) \end{align*}\] 라 표기합니다. 이때 $f''(x)$는 `에프 더블 프라임 엑스'라고 읽습니다. 이계도함수는 함수의 볼록성과 연관이 있습니다. 함수의 볼록성이 무엇인지, 그리고 볼록성과 이계도함수가 어떤 연관성을 가지고 있는지에 대해서는 맑은개념 수학 I \& 수학 II에서 이미 다루었습니다.음함수의 접선의 방정식
매나곡과 매나함의 접선의 방정식
물리학(평면 운동)
좌표평면 위를 움직이는 점 $\mrm{P}$의 시각 $t$에서의 위치를 좌표 $\xy xy$라 할 때, 이를 매개변수 $t$로 나타낸 함수 $ \begin{cases} x = f\left( t \right) \\ y= g\left( t \right) \end{cases} $로 표현할 수 있습니다. 이때 네 개의 함수 \[\begin{align*} \dfrac{dx}{dt} = f'\left( t \right), \dfrac{dy}{dt}=g'\left( t \right), \dfrac{d^2 x}{dt^2} = f''\left( t \right), \dfrac{d^2 y}{dt^2}=g''\left( t \right) \end{align*}\] 에 대하여 평면에서의 속도와 평면에서의 가속도를 각각 $\xy{f'\left( t \right) }{g'\left( t \right)}$, $\xy{f''\left( t \right) }{g''\left( t \right) }$라 정의하고, 속도의 크기와 가속도의 크기를 각각 $\sqrt{\left\{ f'\left( t \right) \right\}^2 + \left\{ g'\left( t \right) \right\} ^2}, \sqrt{\left\{ f''\left( t \right) \right\} ^2 + \left\{ g''\left( t \right) \right\}^2}$이라 정의합니다.4속도와 가속도는 왜 순서쌍으로 표현하는지, 그 크기(속력)는 왜 각각의 제곱의 합을 루트 취한 것으로 정의하는지를 미적분 교과서만으로는 알 수가 없습니다. 이는 본래 기하에서 배우는 `벡터'로 설명되어야 하는 내용인데, 일반적인 교육과정 상 벡터를 통해 설명할 수 없어 언급을 생략한 것입니다. 벡터를 통한 설명은 부록에서 다룹니다. 좌표평면에서 점 $\mrm{P}$의 가속도 $\xy{a\left( t \right)}{b\left( t \right) }$를 알고 $a\left( t \right) $, $b\left( t \right) $의 한 부정적분을 각각 $A\left( t \right) $, $B\left( t \right) $라 할 때, 점 $\mrm{P}$의 속도는 다음과 같습니다. \[\begin{align*} \xy{\int_{}^{}a\left( t \right) dt}{\int_{}^{}b\left( t \right) dt} = \xy{A\left( t \right) + C_1}{B\left( t \right) + C_2} \quad\left( \text{단, $C_1$, $C_2$는 적분상수} \right) \end{align*}\] 마찬가지로 좌표평면에서 점 $\mrm{P}$의 속도 $\xy{v\left( t \right)}{w\left( t \right) }$를 알고 $v\left( t \right) $, $w\left( t \right) $의 한 부정적분을 각각 $V\left( t \right) $, $W\left( t \right) $라 할 때, 점 $\mrm{P}$의 위치는 다음과 같습니다. \[\begin{align*} \xy{\int_{}^{}v\left( t \right) dt}{\int_{}^{}w\left( t \right) dt} = \xy{V\left( t \right) + C_1}{W\left( t \right) + C_2} \quad\left( \text{단, $C_1$, $C_2$는 적분상수} \right) \end{align*}\]- 1. 이때 $x$ 또는 $y$가 분모에 들어갈 때에는 $0$이 아니어야 합니다.
- 2. 그래프 위의 $x$에 대응되는 $y$의 값이 각각 유일할 때
- 3. 뒤의 두 표현이 생소하거나 어색할 수 있습니다. 이는 $\dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{dy}{dx} \right) =\dfrac{d}{dx}\left\{ \dfrac{d}{dx} \left( y \right) \right\} $이므로 분자스러운 위치에서 $d$가 두 번 반복되므로 $d^2$이라 써주고, 분모스러운 위치에서 $dx$가 두 번 반복되므로 $\left( dx \right)^2$이라 써준다고 생각하면 좋습니다. 여기서 $\left( dx \right)^2$이라 쓰지 않고 괄호를 생략하여 $dx^2$이라 한 것은 어차피 $d \cdot x^2$이라는 표현은 쓰지 않기 때문에 $dx^2 = \left( dx \right) ^2$임이 명확하기 때문입니다.
- 4. 속도와 가속도는 왜 순서쌍으로 표현하는지, 그 크기(속력)는 왜 각각의 제곱의 합을 루트 취한 것으로 정의하는지를 미적분 교과서만으로는 알 수가 없습니다. 이는 본래 기하에서 배우는 `벡터'로 설명되어야 하는 내용인데, 일반적인 교육과정 상 벡터를 통해 설명할 수 없어 언급을 생략한 것입니다. 벡터를 통한 설명은 부록에서 다룹니다.