원리 : 미분법의 이해와 적용
미분법의 적용
공통 미분법의 적용 : 로그함수의 도함수
$a>0$, $a\ne1$인 상수 $a$와 로그함수 $f(x) = \log_a x$에 대하여 $\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$이므로 미분법을 이용하여 $f'(x)$를 구하면 다음과 같습니다. \[\begin{align*} \left( \log_a x \right)' = \left( \dfrac{\ln x}{\ln a} \right)' = \dfrac{1}{\ln a}\left( \ln x \right)' = \dfrac{1}{x\ln a}\end{align*}\]몫의 미분법의 적용
몫의 미분법을 이용하여 함수 $\tan x$, $\cot x$, $\sec x$, $\csc x$의 도함수를 구하면 각각 다음과 같습니다. \[\begin{gather*} \left( \tan x \right)' = \sec^2 x, \quad \left( \cot x \right)' = -\csc^2 x \\ \left( \sec x \right)' = \sec x\tan x, \quad \left( \csc x \right)' = -\csc x\cot x \end{gather*}\]합성함수 미분법의 적용 (1) : $\ln\abs x$와 $\log_a \abs x$의 도함수
함수 $\ln\abs{x}$는 함수식에 절댓값을 포함하고 있으므로 절댓값 안의 부호에 따라 함수식이 다음과 같이 달라집니다. \[\begin{align*} \ln\abs {x} = \begin{cases} \ln x & (x>0) \\ \ln\left( -x \right) & (x<0) \end{cases} \end{align*}\] 이때 $x<0$에서의 함수식을 보면, 일차함수 $-x$에 로그함수 $\ln x$를 취한 합성함수입니다. 그러므로 $\left( \ln x \right)'=\dfrac{1}{x} $과 합성함수 미분법을 이용하여 함수 $\ln\abs{x}$의 도함수를 구하면 다음과 같습니다. \[\begin{align*} \left\{ \ln\abs {x} \right\}' = \begin{cases} \left( \ln x \right)' = \dfrac{1}{x} & (x>0) \\[1em] \left( \ln\left( -x \right) \right)' = \dfrac{1}{-x}\times(-1) =\dfrac{1}{x}& (x<0) \end{cases} \end{align*}\] 따라서 함수 $\ln\abs {x} $의 도함수는 $ \dfrac{1}{x}$입니다. 마찬가지로, $a>0$, $a\ne1$인 상수 $a$에 대하여 $\log_a\abs {x} $의 도함수는 $\dfrac{1}{x\ln a}$입니다.합성함수 미분법의 적용 (2) : 지수함수의 도함수
$a>0$, $a\ne1$인 실수 $a$에 대하여 $a^x = e^{x\ln a}$입니다. 이는 일차함수 $x\ln a$에 지수함수 $e^x$을 취한 합성함수입니다. 그러므로 합성함수 미분법을 이용하여 $a^x$의 도함수를 구하면 다음과 같습니다. \[\begin{align*}\left( a^x\right) ' = \left( e^{x\ln a} \right)' = e^{x\ln a}\times(\ln a) = a^x \ln a\end{align*}\]
합성함수 미분법의 적용 (3) : $x^{-n}$, $x^r$, $x^{\alpha}$ (단, $n\in \mathbb{N}$, $r \in \mathbb{Q}$, $\alpha \in \mathbb{R}$)
자연수 $n$에 대하여 $x^{-n}$는 음의 정수 $m$에 대하여 $x^m$과 같습니다. $x^m$의 도함수를 몫의 미분법을 이용하여 구하면 $mx^{m-1}$입니다. $x^m$의 미분법을 알면 모든 유리함수를 미분할 수 있습니다.유리수 $r$에 대하여 함수 $x^r$의 도함수를 합성함수의 미분법을 이용하여 구하면 $rx^{r-1}$입니다. $x^r$의 미분법을 알면 모든 무리함수를 미분할 수 있습니다.
실수 $\alpha$에 대하여 함수 $x^{\alpha}$의 도함수를 로그미분법을 이용하여 구하면 $\alpha x^{\alpha-1}$입니다. 이제 $x^{실수}$ 꼴인 모든 함수를 미분할 수 있습니다.
이와 같이 교과서에서 미분법을 배우는 순서는 함수 $x^r$에서 $r$의 지수를 자연수, 정수, 유리수, 실수로 확장해나가는 순서와 같습니다.
미분법의 잔재주
잔재주 : 밑과 지수에 모두 $x$가 들어 있는 함수를 미분하는 방법
지금까지 배운 내용만으로는 미분할 수 없는 함수가 있습니다. 그 대표적인 예가 $y=x^x$입니다. 이 함수는 밑과 지수에 모두 변수 $x$가 들어있으므로, 다항함수도 아니고 지수함수도 아닙니다. 따라서 다항함수의 미분법을 쓸 수도 없고, 지수함수의 미분법을 쓸 수도 없습니다. 그렇다고 도함수의 정의를 쓰자니 곤란합니다. 아래와 같은 식을 풀이할 방법이 없기 때문입니다. \[\begin{align*} \left( x^x \right)' = \lim_{h \to 0}\dfrac{\left( x+h \right) ^{x+h} - x^x}{h}\end{align*}\]이를 해결하기 위하여 쓰이는 아이디어는, $a^x$의 도함수를 구할 때 사용된 아이디어와 동일합니다. 바로 밑을 지수로 올리고, 밑은 $e$로 바꾸는 것입니다. 이 아이디어를 이용하면 $x^x = e^{x\ln x}$이고, 이는 함수 $x\ln x$에 지수함수 $e^x$을 취한 합성함수임을 알 수 있습니다. 따라서 합성함수 미분법을 이용하여 $x^x$의 도함수를 구하면 다음과 같습니다. \[\begin{align*}\left( x^x \right)' = \left( e^{x\ln x} \right)' = e^{x\ln x}\left( 1\cdot\ln x + x\cdot\dfrac{1}{x}\right)=e^{x\ln x}\left( 1 + \ln x \right) = x^x\left( 1+\ln x \right) \end{align*}\]
이를 일반화하여 $h(x)=f\left( x \right)^{g\left( x \right) }$의 도함수를 구해봅시다. $h(x) = e^{g\left( x \right) \ln f\left( x \right)} $이므로 $h'(x)$를 구하면 다음과 같습니다. \[\begin{align*} h'(x)=\left\{ f\left( x \right)^{g\left( x \right) } \right\}' = \left( e^{g\left( x \right) \ln f\left( x \right)} \right)' &= e^{g\left( x \right) \ln f\left( x \right)}\left( g'\left( x \right)\ln f\left( x \right) +\dfrac{g\left( x \right) f'\left( x \right) }{f\left( x \right) } \right) \\ &= f\left( x \right)^{g\left( x \right)}\left( g'\left( x \right)\ln f\left( x \right) +g\left( x \right) \dfrac{f'\left( x \right) }{f\left( x \right) } \right) \end{align*}\]