원리 : 함수의 그래프를 그리는 방법

정의역을 확인하고, 극한을 통해 점근선을 확인한다.

문제의 조건이나 주어진 식의 형태를 통해 정의역을 확인하여 함수가 그려지는 가로범위를 알아봅니다. 특히 조각함수의 경우 정의역의 범위에 따라 함수식이 달라지므로 유의합니다. 한편 $\lim_{x \to \infty}f\left( x \right) $와 $\lim_{x \to -\infty}f\left( x \right) $를 통해 함숫값의 부호나 가로점근선의 유무를 확인해보아야 합니다.

정의역의 추가 유의사항

분수꼴의 분모, 근호꼴 $\sqrt{}$, 로그꼴 $\log_a{}$, 탄젠트꼴 $\tan{}$을 주의해야 합니다.¹$\cot$, $\sec$, $\csc$는 분수꼴의 분모로 인해 제한되는 경우로 생각할 수도 있습니다.

치역의 양상을 체크하고, 극한을 통해 점근선을 확인한다.

정의역에 제한이 생겼을 때, 그 제한이 생긴 곳 주변에서의 극한을 이용해 치역의 양상과 세로 점근선의 유무를 확인해보아야 합니다. 예를 들면, $\OOI{-\infty}{0}$과 $\OOI{0}{\infty}$에서 정의된 함수 $f\left( x \right) $에 대하여 $\lim_{x \to 0+}f\left( x \right) $와 $\lim_{x \to 0-}f\left( x \right) $를 확인하는 것입니다.

세 개의 극한을 유의한다.

Limit에서 다루었던 특별한 세 극한 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{x^n}{e^x} = \lim_{x \to \infty}\dfrac{\ln x}{x} = \lim_{x \to 0+}x\ln x = 0$이 자주 등장할 수 있으니 유의합시다.

대칭성과 주기성이 있는지, 있다면 어떠한지를 확인한다.

대칭성이 있다면 정의역의 반만 그려도 전체를 다 그릴 수 있고, 주기성이 있다면 한 주기만 그리면 전체를 다 그릴 수 있으며, 대칭성과 주기성이 모두 있는 경우 주기의 반만 그려도 전체를 다 그릴 수도 있습니다. 대칭성과 주기성이 있는 것으로 추측될 때는 판정하여 찾아줍니다.

도함수를 이용하여 증감성과 극점을 확인한다.

도함수를 이용하여 원함수의 증감성과 극점을 확인하여 마무리합니다.

이계도함수를 이용하여 볼록성과 변곡점을 확인한다.

볼록성은 확인하지 않아도 되는 경우가 많지만, 문제에서 볼록성이나 변곡점을 묻는 등 특별한 이유가 있을 때에는 이계도함수의 부호를 통해 판단해야 합니다.

다항함수의 성질을 이용한다.

맑은개념 수학 I \& 수학 II에서 배운 이차함수, 삼차함수, 사차함수에서 나타나는 등차수열의 관계를 이용하면 그래프를 보다 쉽게 그릴 수 있습니다.

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함수의 사칙연산꼴의 그래프를 개략적으로 그리는 방법(곱셈/나눗셈)

두 함수 $f$, $g$에 대하여 사칙연산을 이용해 만들어낸 네 함수 $f+g$, $f-g$, $f\times g$, $f\div g$를 각각 더하기함수, 빼기함수, 곱하기함수, 나누기함수라 부르기로 합시다. 이 중 더하기함수와 뺴기함수는 맑은개념 수학 I \& 수학 II에서 다루었으므로 생략하고, $f$, $g$, $f'$, $g'$에 대한 정보를 알고 있을 때 곱하기함수와 나누기함수를 그리는 방법을 알아봅시다.

곱하기함수 $f\left( x \right) \times g\left( x \right) $

$h\left( x \right) = f\left( x \right) \times g\left( x \right) $에 대하여 $y=h\left( x \right) $의 그래프를 그려봅시다. $f$와 $g$ 중에서 하나라도 $0$이면 $h=0$이므로 이 점들을 먼저 찾아주고, $f$와 $g$의 부호를 통해 $h$의 부호를 파악할 수 있습니다. 이를 통해 $y=h\left( x \right) $가 그려질 수 있는 영역을 좌표평면에 색칠하면 그림과 같습니다. 그 후 $\lim_{x \to \infty} h\left( x \right) $, $\lim_{x \to -\infty} h\left( x \right) $, $x$축과의 교점에서의 기울기를 개략적으로 조사하여 그래프를 그리되 확실하지 않은 중간 부분을 생략하면 위 그림과 같습니다. 이 이후로는 직관적으로 $h'(x)$를 파악하기 어려우므로, 도함수를 직접 계산하여 모르는 부분을 채우면 됩니다.

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나누기함수를 배우기 전에 배우는 특별한 함수 : $\dfrac{1}{g\left( x \right) }$

$y=g\left( x \right) $의 그래프를 알 때 $y= \dfrac{1}{g\left( x \right) }$의 그래프를 그려봅시다. 먼저 $g \ne 0$이어야 하므로 $g\left( a \right) = 0$이면 $x=a$에서 불연속이고, 점근선을 가질 가능성이 있습니다. 이를 통해 정의역을 체크하면 위 그림과 같습니다. 한편 $g\left( x \right)=\dfrac{1}{g\left( x \right) } $인 경우는 $g\left( x \right) = \pm1$일 때이므로, 함숫값이 $1$이거나 $-1$인 점을 찾아야 합니다. 그렇게 찾은 점들을 기준으로 $y=\dfrac{1}{g\left( x \right) }$가 그려질 수 있는 영역을 좌표평면에 색칠하면 그림과 같습니다. 이제 `$g \to \pm \infty$이면 $\dfrac{1}{g} \to \pm0$', `$g \to \pm0$이면 $\dfrac{1}{g} \to \pm \infty$'를 이용하고, $\left( \dfrac{1}{g} \right)' = -\dfrac{g'}{g^2} $이므로 $g$의 증감 양상과 $\dfrac{1}{g}$의 증감 양상이 반대임과 극점의 $x$좌표가 동일함을 이용하면 그래프를 쉽게 그릴 수 있습니다.

나누기함수 $f\left( x \right) \div g\left( x \right) $

나누기함수를 그리는 방법은 곱하기함수로 우회하여 생각하는 것입니다. $f\left( x \right) \div g\left( x \right) = f\left( x \right) \times \dfrac{1}{g\left( x \right) }$이므로, $f\left( x \right) $와 $\dfrac{1}{g\left( x \right) }$의 곱하기함수라 볼 수 있기 때문입니다.

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1. 1. $\cot$, $\sec$, $\csc$는 분수꼴의 분모로 인해 제한되는 경우로 생각할 수도 있습니다.