함수에 관한 여러가지 상황

함수의 성질 보존

주기함수 : $f$가 주기함수이면, $f$에 어떤 함수를 취해도 주기함수이다

주기함수 $f$와 일반적인 함수 $g$에 대하여 $h=\comp gf$는 주기함수입니다.¹$f$가 준주기함수라고 해도 $h$가 준주기함수라는 보장은 없으므로 주의해야 합니다. 예를 들어 $f\left( x \right) = \sin x$, $g\left( x \right) =x^3$일 때 $h\left( x \right) = \left( \sin x \right)^3 = \sin^3 x $이고 $h\left( x+2\pi \right) = h\left( x \right) $이므로 $h$는 주기함수입니다.

이를 통해 $e^{\sin x}$, $\ln\abs{\cos x} $와 같이 다채로운 주기함수를 만들어낼 수 있습니다.

짝함수와 선대칭 : $f$가 선대칭함수이면, $f$에 어떤 함수를 취해도 선대칭함수이다

선대칭함수 $f$와 일반적인 함수 $g$에 대하여 $h=\comp gf$는 선대칭함수입니다.²특히 $f$가 짝함수이면 $h$도 짝함수입니다. 예를 들어 $f\left( x \right) = x^2$, $g\left( x \right) = a^x$일 때 $h\left( x \right) = a^{x^2}$이고 $a^{x^2} = a^{\left( -x \right) ^2}$이 성립하므로 $h$는 짝함수입니다. 한편 우리가 $y=f\left( \abs{x} \right) $를 그릴 때 $y=f\left( x \right) $에서 $x\ge 0$인 부분을 그리고 $y$축에 대하여 대칭시켜 그렸던 것도 $\abs{x}$가 짝함수이므로 $f\left( \abs{x} \right) $가 짝함수가 되었기 때문임을 알 수 있습니다. 이를 통해 $e^{\cos x}$, $\ln \left( x^2+x \right) $와 같이 다채로운 선대칭함수를 만들어낼 수 있습니다.

대칭성과 관련된 상황

대칭성의 생성 : 혼자서는 대칭성이 없지만, 둘이 모이면 대칭성을 만들 수 있다

대칭성이 없는 함수 $f$에 대하여 $f\left( x \right) $와 $f\left( -x \right) $를 이용하여 만든 더하기함수 $g$와 빼기함수 $h$를 이용하면 $g$와 $h$는 대칭성이 있습니다. 이를 통해 대칭성이 없는 함수만으로도 대칭성이 있는 함수를 생성할 수 있습니다.

$g\left( x \right) =f\left( x \right) +f\left( -x \right) $

$g\left( x \right) =g\left( -x \right) $이므로 $g$는 짝함수입니다. 예를 들어 $f\left( x \right) =a^x$라 할 때, $g\left( x \right) =a^x + a^{-x}$는 $g\left( x \right) =g\left( -x \right) $를 만족하므로 짝함수입니다. 이는 그림과 같이 더하기함수의 그래프를 그려서 직관적으로 이해할 수도 있습니다.

$h\left( x \right) =f\left( x \right) -f\left( -x \right) $

$h\left( x \right) =-h\left( -x \right) $이므로 $h$는 홀함수입니다. 예를 들어 $f\left( x \right) =a^x$라 할 때, $h\left( x \right) =a^x - a^{-x}$는 $h\left( x \right) =-h\left( -x \right) $를 만족하므로 홀함수입니다. 이는 그림과 같이 빼기함수의 그래프를 그려서 직관적으로 이해할 수도 있습니다.

대칭성의 생성 활용하기

$f\left( x \right) =\dfrac{x^2}{1+a^{x}}$일 때, $f\left( x \right) $는 대칭성이 없지만, $g\left( x \right) =f\left( x \right) + f\left( -x \right) $는 짝함수입니다. 이때 $f\left( -x \right) = \dfrac{x^2}{1+a^{-x}} = \dfrac{x^2 a^{x}}{1+a^x}$이고, $f\left( x \right) + f\left( -x \right) = \dfrac{\left( 1+a^x \right)x^2 }{1+a^x} = x^2$이므로 $f$를 다루는 것보다 $g$를 다루는 것이 훨씬 편리할 수 있습니다.

$e^x + e^{-x}$와 $e^x - e^{-x}$의 미묘한 관계

$g\left( x \right) =f\left( x \right) +f\left( -x \right) $, $h\left( x \right) = f\left( x \right) -f\left( -x \right) $라 할 때 다음이 성립합니다. \[\begin{align*} g'\left( x \right) &= f'\left( x \right) -f'\left( -x \right) \\ h'\left( x \right) &= f'\left( x \right) + f'\left( -x \right) \end{align*}\] 이때 $f\left( x \right) =e^x$이면 $f=f'$이므로 $g'=h$, $h'=g$라는 아주 특별한 관계를 얻을 수 있습니다.

준주기함수와 빼기함수를 이용하여 주기함수 만들기

준주기함수보다는 주기함수가 다루기 쉽습니다. 준주기함수 $f$가 주어졌을 때 빼기함수를 이용하여 주기함수 $g$를 만들어봅시다.

$f\left( x+a \right) = f\left( x \right) + b$가 성립할 때, $g\left( x \right) = f\left( x \right) - \dfrac{b}{a}x $라 하면 다음이 성립하므로 $g\left( x \right) $는 주기함수입니다. \[\begin{align*} g\left( x+a \right) = f\left( x+a \right) - \dfrac{b}{a}\left( x+a \right) &= f\left( x \right) +b - \dfrac{b}{a}x - b = g\left( x \right) \end{align*}\]

이는 그림을 통해 직관적으로도 이해할 수 있습니다. 그림과 같이 준주기함수 $f$는 $x$가 $a$만큼 커질때마다 $y$가 $b$만큼 커지는 성질을 갖고 있습니다. 이러한 성질을 제거하기 위해서 $x$가 $a$만큼 커질때마다 $y$가 $b$만큼 커지는 성질을 갖고 있는 함수인 일차함수 $y=\dfrac{b}{a}x$를 빼어 상쇄하는 것입니다.

대소비교함수

$f\left( x \right) $와 $g\left( x \right) $ 중에서 작지 않은 값을 $M\left( x \right) $, 크지 않은 값을 $m\left( x \right) $라 하면, $M$과 $m$은 $f$와 $g$의 함숫값을 대소비교하여 적당한 값을 취하는 함수입니다. 이를 대소비교함수라 부르기로 합시다.

대소비교 함수의 그래프

$y=f\left( x \right) $와 $y=g\left( x \right) $가 (a)와 같을 때, $y=M\left(x \right) $는 (b)와 같고, $y=m\left( x \right) $는 (c)와 같습니다.

대소비교함수의 함수식

$M\left( x \right) $의 함수식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. \[\begin{align*} M\left( x \right)= \begin{cases} f & \left( f \ge g \right) \\ g & \left( f < g \right) \end{cases} \end{align*}\] 그런데 우리는 이미 동일한 분류 기준을 가진 조각함수를 알고 있습니다. $f$가 $g$보다 크거나 같을 땐 어떤 값을 나타내고, $f$가 $g$보다 작을 땐 다른 값을 나타내는 함수, 무엇일까요? 바로 절댓값을 이용한 $\abs{f-g}$입니다. \[\begin{align*} \abs{f-g}= \begin{cases} f-g & \left( f \ge g \right) \\ g-f & \left( f < g \right) \end{cases} \end{align*}\] 이때 주어진 등식의 양변에 $f+g$를 더하면 다음과 같습니다. \[\begin{align*} f+g + \abs{f-g} = \begin{cases} 2f & \left( f \ge g \right) \\ 2g & \left( f < g \right) \end{cases} \end{align*}\] 이 등식을 $2$로 나누면 $M$의 함수식과 완전히 동일함을 알 수 있습니다. 따라서 $M = \dfrac{f+g+\abs{f-g}}{2}$입니다. $f\left( x \right) $와 $g\left( x \right)$ 중에서 크지 않은 값을 $m\left( x \right) $라 하면 같은 논리로 $m = \dfrac{f+g-\abs{f-g}}{2}$임을 표현할 수 있습니다.

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1. 1. $f$가 준주기함수라고 해도 $h$가 준주기함수라는 보장은 없으므로 주의해야 합니다.
2. 2. 특히 $f$가 짝함수이면 $h$도 짝함수입니다.