원리 : 역함수 이야기 (1) 대거역함수, 새함역함수
$x=f^{-1}\left( y \right) $와 $y=f^{-1}\left( x \right) $는 아예 다르다
역함수 $f^{-1}$가 존재하는 함수 $f$에 대하여, $x=f^{-1}\left( y \right) $와 $y=f^{-1}\left( x \right) $는 명백하게 다른 식입니다. 예를 들어 $f\left( 1 \right) =2$, $f^{-1} \left( 2 \right) =1$인 경우를 생각해봅시다. $x=f^{-1}\left( y \right) $에는 $x=1$, $y=2$을 대입해야 우리가 논하던 식을 얻지만, $y=f^{-1}\left( x \right) $에는 $x=2$, $y=1$을 대입해야 우리가 논하던 식을 얻습니다. 즉 식에서 두 문자 $x$와 $y$의 역할이 바뀌는 것입니다.교과서의 미스터리 : $x=f^{-1}\left( y \right) $도 역함수, $y=f^{-1}\left( x \right) $도 역함수?
앞서 살펴본 바와 같이, `$y=f\left( x \right) $의 역함수 $x=f^{-1}\left( y \right) $'와 `$y=f\left( x \right) $의 역함수 $y=f^{-1}\left( x \right) $'는 명백히 다른 대응관계를 나타내고 있습니다. 그런데 고등학교 수학 교과서에서는 이 둘을 구별하지 않고 동일하게 `역함수'라는 이름으로 부르고 있어, 미적분에서 `역함수 미분법'을 증명할 때 혼란을 겪는 경우가 있습니다.이를 해결하기 위하여 맑은개념 수학 I \& 수학 II에서는 전자를 `대응관계만 거꾸로인 역함수(대거역함수)', 후자를 `새로운 함수로서의 역함수(새함역함수)'라 둘을 명확히 구분했습니다.1또한 특별한 언급 없이 `역함수'라 부르면 후자를 부르는 것으로 약속했습니다. 이를 통해 역함수 미분법을 명쾌하게 이해할 수 있을 것입니다.
대거역함수와 새함역함수의 비교/대조
원함수와 대거역함수의 관계 (순서쌍은 그대로, 대응관계만 거꾸로)
정의역이 $A$, 치역이 $B$인 함수 $f : A \longrightarrow B$에 대하여 등식 $y=f\left( x \right) $를 만족하는 한 순서쌍 $\xy{a}{b}$를 생각해봅시다. $\xy{a}{b}$가 이 식을 만족하므로 $x=a$, $y=b$를 대입하면 $b=f\left( a \right) $입니다. 이를 대응으로 나타내면 $a \to b$입니다.
한편 등식의 양변에 $f^{-1}$를 취하면 $f^{-1}\left( y \right) = x$입니다. $\xy{a}{b}$가 이 식을 만족하므로 $x=a$, $y=b$를 대입하면 $f^{-1}\left( b \right) =a$입니다. 이를 대응으로 나타내면 $b \to a$입니다.
즉 원함수와 대거역함수는 대입하는 $x$의 값과 $y$의 값은 각각 $x=a$, $y=b$로 완전히 동일하므로, 같은 순서쌍 $\xy{a}{b}$를 만족합니다. 단지 원함수는 $a \to b$, 대거역함수는 $b \to a$로 대응관계만 거꾸로인 것입니다.
원함수와 새함역함수의 관계(순서쌍도 거꾸로, 대응관계도 거꾸로)
즉 원함수와 새함역함수는 대입하는 $x$의 값과 $y$의 값이 뒤집혀버리므로, 원함수가 순서쌍 $\xy{a}{b}$를 만족했다면 새함역함수는 순서쌍 $\xy{b}{a}$를 만족합니다. 그에 더하여 원함수는 $a \to b$, 새함역함수는 $b \to a$로 대응관계까지 서로 거꾸로입니다.
대거역함수와 새함역함수의 그래프
앞서 살펴본 바에 따라 $y=f\left( x \right) $와 $x=f^{-1}\left( y \right) $의 관계, $y=f^{-1}\left( x\right) $와 $x=f\left( y \right) $의 관계를 나타내면 다음과 같습니다.2본문에서 따로 설명하지 않았지만, $y=f^{-1}\left( x\right) $와 $x=f\left( y \right) $는 서로 대거역함수 관계임을 쉽게 알 수 있을 것입니다. \[\begin{alignat*}{2} y= f\left( x \right) &\Longleftrightarrow x=f^{-1}\left( y \right)&&\:\cdots\:\text{①} \\ y= f^{-1}\left( x \right) &\Longleftrightarrow x=f\left( y \right)&&\:\cdots\:\text{①} \end{alignat*}\] 이제 각각의 식이 좌표평면에 나타내는 그래프를 알아봅시다.
