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원리 : 역함수 이야기 (2) 원함수\&역함수 그래프

연속함수의 역함수 존재성

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정의역이 실수 전체의 집합인 연속함수 $y=f\left( x \right) $가 역함수를 가지려면 (a)나 (b)와 같이 증감성이 바뀌지 않아야 합니다. 즉 정의역 전체의 구간에서 증가하거나 정의역 전체의 구간에서 감소해야 합니다. (c)와 같이 증감이 바뀐다면 그림과 같이 함숫값이 $k$로 같은 점이 여러 개 존재하므로, $f^{-1}\left( k \right) $가 하나로 정의될 수 없기 때문입니다.

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단, 연속함수더라도 $f\left( x \right) = \begin{cases} \dfrac{1}{x} & \left( x<0 \right) \\ \sqrt{x} & \left( x> 0 \right) \end{cases} $와 같이 정의역에 구멍이 있다면 증감성이 바뀔 수도 있습니다. 단, 각각의 구간에서 증감성이 바뀌지 않아야 한다는 점은 여전히 변하지 않습니다. $f$를 살펴보면, $\OOI {-\infty}{0}$에서는 항상 감소, $\OOI{0}{\infty}$에서는 항상 증가함을 알 수 있습니다.

원함수의 그래프와 역함수의 그래프의 교점

많은 학생들이 원함수의 그래프와 역함수의 그래프의 교점은 $y=x$ 위에만 존재할 수 있다고 오해하는 경우가 있습니다. 이에 대해 살펴봅시다.

정의역과 치역이 각각 $A$, $B$인 연속함수 $y=f\left( x \right) $와 $f\left( x \right) $의 역함수 $y=f^{-1}\left( x \right) $에 대하여¹이때 $y=f^{-1}\left( x \right) $의 정의역과 치역은 각각 $B$, $A$입니다. $y=f\left( x \right) $와 $y=f^{-1}\left( x \right) $의 교점이 존재할 때, 그 교점의 $x$좌표를 $a$라 합시다. $a$는 방정식 $f\left( x \right)= f^{-1}\left( x \right)$의 근이므로 $f\left( a \right) = f^{-1}\left( a \right) $가 성립합니다. 이때 우변의 $f^{-1}\left( a \right) $는 $A$의 원소이므로 좌변의 $f\left( a \right) $ 또한 $A$의 원소입니다. 따라서 양변에 $f$를 취할 수 있고, 계산하면 각 변은 각각 다음과 같습니다. \[\begin{align*} \left( \text{좌변} \right) &= f\left( f\left( x \right) \right) \\ \left( \text{우변} \right) &= f\left( f^{-1}\left( x \right) \right) \\ &= x \end{align*}\] 따라서 주어진 방정식의 해를 구하는 것은 방정식 $f\left( f\left( x \right) \right) = x$의 해를 구하는 것과 같습니다.

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그런데 우리는 앞서 이 방정식을 풀이한 바 있습니다. $a=b$이면 $\xy{a}{b}$는 $y=x$ 위의 점 $\xy{a}{a}$입니다. $a\ne b$이면 $\xy{a}{b}$와 $\xy{b}{a}$는 $y=x$에 대하여 대칭인 두 점이고, $y=f\left( x \right) $가 이 두 점을 지나므로 $y=x$ 위의 한 점 $\xy{c}{c}$도 지나고, $x=c$까지 방정식의 근임을 알 수 있습니다. 즉 $a \ne b$인 경우가 하나라도 존재한다면 $x=a$, $x=b$는 물론 $x=c$까지 총 $3$개의 근을 얻게 됩니다. 이때 $\xy{a}{b}$와 $\xy{b}{a}$는 $y=x$ 위의 점이 아니므로, 오해의 반례가 됩니다.

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주의해야 할 점이 두 가지 있습니다. 하나는 (a)와 같이 연속함수 $y=f\left( x \right) $의 그래프가 $\xy{a}{b}$와 $\xy{b}{a}$를 동시에 지나는 경우, $f\left( x \right) $가 감소하는 구간이 존재하므로 정의역 전체에서 감소해야 한다는 점입니다. 즉 증가함수의 그래프는 두 점 $\xy{a}{b}$와 $\xy{b}{a}$를 동시에 지나는 것이 불가능하므로, 역함수의 그래프와 $y=x$에서만 교점을 갖는 것이 맞습니다.²증가함수일 때의 결과를 감소함수일 때에도 적용하여 오해가 발생했던 것입니다. 나머지 하나는 (b)와 같이 연속함수가 아니면 $x=c$라는 근이 존재하지 않을 수도 있다는 점입니다. $x=c$는 $f\left(x\right)$가 연속함수라는 전제 하에서 사잇값 정리로 존재성을 밝힌 근이기 때문입니다.

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지수함수와 로그함수의 사례를 다시 봅시다. $a>1$이면 $y=a^x$는 증가함수입니다. 역함수 $y=\log_a {x}$의 그래프와의 교점이 있다면 (a), (b)와 같이 항상 $y=x$ 위에 있습니다.³(a)일 때 $a=e\expo{\tfrac{1}{e}}$, (b)일 때 $1<a<e\expo{\tfrac{1}{e}}$입니다. (c)와 같이 교점이 없는 경우도 있습니다.

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$0<a<1$이면 $y=a^x$는 감소함수이고 $\xy{0}{1}$, $\xy{1}{a}$를 항상 지나므로 사잇값 정리에 의해⁴함수 $a^x - x$를 생각하면 됩니다. 역함수 $y=\log_a{x}$의 그래프와의 교점이 $y=x$ 위에 항상 적어도 하나 존재합니다. $y=x$ 위에 있지 않은 교점이 있다면 (a)와 같이 교점이 세 개 존재하고, 그렇지 않다면 (b), (c)와 같이 교점이 $y=x$ 위에서만 오직 하나 존재합니다.⁵(a)일 때 $0<a<e^{-e}$, (b)일 때 $a=e^{-e}$, (c)일 때 $e^{-e}<a<1$입니다. (b)일 때 $y=a^x$와 $y=\log_a{x}$는 교점에서 접합니다.

1. 이때 $y=f^{-1}\left( x \right) $의 정의역과 치역은 각각 $B$, $A$입니다.
2. 증가함수일 때의 결과를 감소함수일 때에도 적용하여 오해가 발생했던 것입니다.
3. (a)일 때 $a=e\expo{\tfrac{1}{e}}$, (b)일 때 $1<a<e\expo{\tfrac{1}{e}}$입니다.
4. 함수 $a^x - x$를 생각하면 됩니다.
5. (a)일 때 $0<a<e^{-e}$, (b)일 때 $a=e^{-e}$, (c)일 때 $e^{-e}<a<1$입니다. (b)일 때 $y=a^x$와 $y=\log_a{x}$는 교점에서 접합니다.