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이해 : 역함수 이야기 (3) 유사 역함수의 해석

진짜 역함수 조건? 유사 역함수 조건?

역함수 관계인 두 함수 $f$, $g$에 대하여 $g\left( f\left( x \right) \right) =x$와 $f\left( g\left( y \right) \right) = y$가 모두 성립함을 알고 계실 것입니다.¹ 이와 상당히 비슷하지만 미묘하게 다른 유사 역함수 조건을 내걸고 문제를 출제하는 경우가 많습니다. 이러한 유사 역함수 조건에 대하여 알아봅시다.

유사 역함수 조건

두 함수 $f$, $g$에 대하여 $g\left( f\left( x \right) \right) = x $와 $f\left( g\left( x \right) \right) = x$ 중 하나만 성립하는 것만으로는 $f$와 $g$가 역함수 관계라고 단정지을 수 없습니다. 그 이유를 알아봅시다.²

수능에 필요한 최소한으로만 간단하게 알고 싶다면?

둘 모두 성립해야만 $f$와 $g$가 역함수 관계니까요. 사실 이 정도로만 알고 있어도 수능을 대비하는 데 충분합니다.

그래도 조금만 더 알고 싶다면?

$f\left( x \right) = k$의 해가 하나인 경우를 ①이라 하고, $f\left( x \right) = k$의 해가 둘 이상인 경우를 ②라 합시다. 먼저 모든 실수 $x$에 대하여 ①인 경우부터 살펴보고, ①과 ②가 섞여 있는 경우를 알아본 후, 모든 실수 $x$에 대하여 ②인 경우를 확인해봅시다.

모든 실수 $x$에 대하여 ①

$\text{[math]}$

$y=f\left( x \right) $ 위의 한 점 $\xy{a}{b}$를 생각해봅시다. $f\left( a \right) = b$와 $g\left( f\left( a \right) \right) = a$를 연립하면 $g\left( b \right) = a$이고, 이 실수 $b$는 유일합니다. $y=f\left( x \right) $를 그린 후 $y=x$에 대하여 대칭이동한 그래프를 얻으면 $y=g\left( x \right) $의 그래프가 그려집니다. 따라서 모든 실수 $x$에 대하여 ①이라면 $y=g\left( x \right) $는 $y=f\left( x \right) $의 역함수가 됩니다.³

①과 ②가 섞인 경우

$\text{[math]}$

그런데 위 그림과 같이 함수 $f$에 ①과 ②가 섞여있다면 어떻게 될까요? $f$의 역함수가 존재하지 않는 것이 명백하므로, $g$가 $f$의 역함수가 아님은 알 수 있습니다. 그런데 $f$의 역함수가 아님에도 불구하고, 역함수 조건의 일부를 만족시키는 이 함수 $g$는 대체 어떤 함수일까요? 한번 알아봅시다.

$\text{[math]}$

함숫값에 따라 구간을 적절히 쪼개어 ①인 경우만 따로 고려하면 앞서와 같은 방법으로 $y=g\left( x \right) $의 그래프의 일부를 그려낼 수 있습니다. 그러나 ②인 경우에서는 그럴 수가 없습니다. $x =a$를 만족하는 $x$가 (1)에만 있는 것이 아니라 (2)와 (3)에도 있기 때문입니다.⁴ 그래서 세 점 중 한 점을 선택하여 $y=g\left( x \right) $ 위의 점으로 삼아야 합니다.

정리하면, $y=g\left( x \right) $의 그래프를 ①과 ②로 쪼갠 후에, ①인 부분은 각각 $y$값이 겹치지 않도록 $n$개의 조각 역함수 (1), (2), $\cdots$, ($n$)으로 쪼개어 대칭이동한 후, 각각의 (1), (2), $\cdots$, ($n$) 중에서 한 경우를 골라 그래프를 그려야 합니다. 즉 $y=f\left( x \right) $를 $y=x$에 대하여 대칭이동한 $x=f\left( y \right) $가 나타내는 도형을 그린 후, 이 그래프가 함수 $y=g\left( x \right) $의 그래프가 되도록 적절히 점을 택하면 됩니다.⁵주의할 부분은, (1), (2), $\cdots$, $(n)$ 중에서 반드시 하나를 통째로 취해야 하는 것이 아니라는 점입니다. 각각의 $x$마다 $n$개의 가능한 함숫값 중 하나를 택하는 것입니다.

모든 실수 $x$에 대하여 ②

$\text{[math]}$

만약 모든 실수 $x$에 대하여 ②라면 마찬가지로 $y=x$에 대칭이동하여 얻은 그래프가 함수의 그래프가 되도록 적절히 점을 택하면 됩니다.

1. 이때 $x$는 $f$의 정의역이자 $g$의 치역의 원소이고, $y$는 $f$의 치역이자 $g$의 정의역의 원소입니다. 달리 말하면, $g$는 $f$의 대거역함수입니다.
2. 본래 두번째 식이 $f(g(y))=y$여야 맞지만, 문제에서 조건으로 줄 때에는 본문의 두 식 중 하나만 줄 것이기 때문에 $y$ 대신 $x$라 쓴 것입니다. 혼동이 없기를 바랍니다.
3. 단지 $f$의 치역을 $g$의 정의역으로, $f$의 정의역을 $g$의 치역으로 취해주는 것만 주의하면 됩니다.
4. 이때 (1), (2), (3)을 $f$의 조각역함수라 부를 수 있습니다.
5. 주의할 부분은, (1), (2), $\cdots$, $(n)$ 중에서 반드시 하나를 통째로 취해야 하는 것이 아니라는 점입니다. 각각의 $x$마다 $n$개의 가능한 함숫값 중 하나를 택하는 것입니다.