이해 : 역함수 이야기 (4) 역함수 미분법

역함수 미분법 다시보기

대거역함수로 증명하는 역함수 미분법

이제 역함수 미분법을 증명해봅시다. 미분가능한 함수 $f$에 대하여 $f'\left( x \right) = \dfrac{dy}{dx}$를 $\Delta y$와 $\Delta x$로 나타내면 다음과 같습니다. \[\begin{align*} f'\left( x \right) = \dfrac{dy}{dx} =\lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x} \end{align*}\] $g$가 $f$의 역함수일 때, 대거역함수 표현에 의하면 $x = g\left( y \right)$입니다. 이 식의 양변을 $y$에 대하여 미분하여 얻은 $g'\left( y \right) = \dfrac{dx}{dy}$를 $\Delta y$와 $\Delta x$로 나타내면 다음과 같습니다. \[\begin{align*} g'\left( y \right) = \dfrac{dx}{dy} = \lim_{\Delta y \to 0}\dfrac{\Delta x}{\Delta y} \end{align*}\] 이때 $\Delta x \to 0$이면 $\Delta y \to 0$이므로 다음을 얻습니다. \[\begin{align*} \dfrac{dx}{dy} = \lim_{\Delta y \to 0}\dfrac{\Delta x}{\Delta y} = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta x}{\Delta y} &= \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{1}{\dfrac{\Delta y}{\Delta x}}=\dfrac{1}{\dfrac{dy}{dx}} \quad ( \text{단, $\dfrac{dy}{dx}\ne 0$일 때} ) \end{align*}\]

따라서 다음의 관계를 얻습니다. \[\begin{alignat*}{2} g'\left( y \right) &= \dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{\dfrac{dy}{dx}}=\dfrac{1}{f'\left( x \right)}\quad &&( \text{단, $\dfrac{dy}{dx}\ne 0$일 때$\left(f'\left( x \right) \ne 0\,\text{일 때}\right)$} ) \\ f\left( a \right) &=b\,\text{이면 } g'\left( b \right) =\dfrac{1}{f'\left( a \right)} \quad &&\left( \text{단, $f'\left( a \right)\ne 0$일 때} \right) \end{alignat*}\]

이때 앞서 배웠듯이 $y=f\left( x \right) $와 $x=g\left( y \right) $의 그래프는 일치합니다. 단지 한 점 $\xy{a}{b}$에서의 미분계수를 바라볼 때, $\dfrac{dy}{dx}$는 $x$의 변화를 기준으로 $y$의 변화가 얼마나 되는지를 $\dfrac{y변화}{x변화}$로 구하는 것이고, $\dfrac{dx}{dy}$는 $y$의 변화를 기준으로 $x$의 변화가 얼마나 되는지를 $\dfrac{x변화}{y변화}$로 구할 뿐입니다. 서로의 값이 역수라는 사실도 두 상황에서 분모와 분자만 바뀐 것으로 자연스럽게 이해할 수 있을 것입니다.

이처럼 역함수 미분법을 증명할 때 대거역함수를 이용하면 $x$와 $y$의 관계가 그대로 유지되므로 변수의 역할이 바뀌지 않고, 대입되는 값인 $x=a$, $y=b$가 바뀌지 않아 증명 과정을 전개하기 간편합니다.

새함역함수의 그래프를 이용하여 대칭이동된 그래프 위의 점과 기울기를 이해한다.

대거역함수를 이용하여 $f$와 $g$가 역함수 관계일 때 $f'$와 $g'$의 관계를 깨달았으니, 이를 이용하여 새함역함수의 그래프를 그리는 것도 가능합니다. $y=f\left( x \right) $ 위의 점 $\xy{a}{b}$에서 $f'\left( a \right) = c$이면, $\xy{b}{a}$는 $y=g\left( x \right) $ 위의 점이고, 역함수 미분법에 의하여 $g'\left( b \right) =\dfrac{1}{c}$입니다.

미분계수가 $0$인 점과 역함수

(a)와 같이 $y=f\left( x \right) $ 위의 점 $\xy{a}{b}$에서 $f'\left( a \right) = 0$이면 $g'\left( b \right) $가 정의되지 않습니다. 반대로 (b)와 같이 $y=g\left( x \right) $ 위의 점 $\xy{b}{a}$에서 $g'\left( b \right) = 0$이면 $f'\left( a \right) $가 정의되지 않습니다.

이 사실이 시사하는 바는 두 가지입니다. 하나는 `미분가능한 함수의 역함수'라고 해서 반드시 미분가능한 건 아니라는 것입니다. 나머지 하나는 `미분가능하지 않은 함수의 역함수'라고 하더라도 미분가능한 함수일 수 있다는 것입니다.