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원리 : 음함수, 매나곡, 매나함의 그래프와 접선

음함수의 그래프와 접선

음함수

그래프의 모양을 알아낼 필요가 없다.

교과서에서 그리라고 요구하는 음함수는 오직 `원'뿐입니다. 원이 아닌 음함수의 그래프는 그리라고 요구하지 않습니다. 따라서 음함수를 미분하는 것은 곡선의 모양을 알기 위한 것이 아니므로, 음함수 문제를 풀 때 곡선의 모양은 고려하지 않아도 됩니다. 꼭 곡선의 모양을 알고 싶다면 $y$의 값의 범위에 따라 분류하여 양함수 꼴로 나타내면 되지만, 이러한 내용이 출제될 가능성은 희박합니다.

그래프의 모양을 보여주는 문제는 나올 수 있다.

음함수식만 보고 그 음함수가 나타내는 그래프의 모양을 판단하는 문제를 낼 수 없을 뿐, 음함수식과 그 식이 나타내는 도형의 모양을 제시하는 문제는 얼마든지 출제가 가능합니다.

한 점에서 여러 개의 접선이 존재하는 상황이 발생할 수 있지만, 출제될 수는 없다.

음함수의 접선은 위 그림과 같이 한 점에서 두 개 이상일 수 있습니다. 그림은 음함수 $x^3 - 3xy + y^3 = 0$의 그래프로, 원점에서의 접선이 $x=0$과 $y=0$ 두 개임을 나타냅니다.

그러나 이러한 내용은 출제 가능성이 전혀 없습니다. 왜냐하면 한 점 $(a,\: b)$를 지나는 음함수 $f(x,\: y) = 0$에 대하여 $\dfrac{dy}{dx}$는 $x$와 $y$에 관한 식으로 주어지는데, $x=a$, $y=b$를 대입했을 때 두 개 이상의 값이 나올 수 없기 때문입니다.1정확히 말하자면 $\dfrac{dy}{dx}$를 계산하기 위해서는 `이변수함수의 극한'을 계산해야 하는데, 이는 교육과정의 범위를 벗어납니다.

매나곡의 그래프와 접선

매나함매나곡

그래프의 모양을 알아낼 필요가 없다.

매나곡을 미분하는 목적 역시 곡선의 모양을 알기 위한 것이 아닙니다. 음함수와는 달리 매나함은 양함수꼴로 나타내는 것이 쉽지 않은 경우가 많습니다. 따라서 매나함의 곡선의 모양을 분석하는 문제는 출제될 가능성이 희박합니다.

매나곡의 모양을 보여주는 문제가 나올 수 있다.

매나곡의 식만 보고 모양을 판단하는 문제를 낼 수 없을 뿐, 매개변수로 나타내어진 식과 함께 그 식이 나타내는 도형을 제시하는 문제는 얼마든지 출제가 가능합니다.

한 점에서 여러 개의 접선이 존재할 수 있고, 출제될 수도 있다.

매나곡의 접선은 한 점에서 두 개 이상일 수 있습니다. 예를 들어 매나곡 \[\begin{align*}\begin{cases} x = t^2 -1 \\ y = (t-1)^2 (t+1) \end{cases}\end{align*}\] 의 그래프는 (a)와 같은데, 식을 통해 $t=-1$일 때에도 원점을 지나고 $t=1$일 때에도 원점을 지남을 알 수 있습니다. 이때 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{(3t+1)(t-1)}{2t}$이므로 $t=-1$일 때 $\dfrac{dy}{dx}=-2$이고, $t=1$일 때 $\dfrac{dy}{dx}=0$임을 쉽게 구할 수 있습니다. 따라서 (b)와 같이 원점에서 서로 다른 접선이 두 개 존재합니다.

이를 더 확장하여 `한 점에 대응되는 실수 $t$는 여러 개이지만 일부의 접선이 서로 동일한 상황'까지도 출제가 가능할 것입니다. 예를 들어 원점에 대응되는 실수 $t$가 $0$, $1$, $2$로 세 개 존재하고, $t=0$과 $t=2$일 때의 접선의 기울기가 동일하고, $t=1$일 때는 다른 값을 갖는 식입니다. 만약 이러한 문항이 출제된다면 난이도는 매우 높아질 것입니다.

이처럼 교육과정의 한계상 `한 점에서 그을 수 있는 여러 개의 접선'을 다룰 수 없었던 음함수에서와 달리, 매나곡에서는 출제 가능성을 배제할 수 없으며, 더욱 확장하여 응용된 상황까지 출제가 가능하므로 꼭 숙지하도록 합시다.

매나함의 그래프와 접선

모양을 알아낼 필요가 있고, 그려지는 순서를 고려해야 할 수도 있다

매나곡 중에서 주어진 식의 $t$를 소거해서 $y$와 $x$의 관계식 $y=h\left( x \right) $로 나타낼 수 있는 경우가 매나함입니다. 매나함은 근본적으로 함수이므로 미분법으로 모양을 알아낼 수 있습니다. 만약 `경로 겹침'의 상황을 다룬다면 그래프가 그려지는 순서 또한 고려해야 합니다. $y=h\left( x \right) $로 나타내어지는 매나함 $\begin{cases} x = f\left( t \right) \\ y= g\left( t \right) \end{cases}\!\!\!\! $에 대하여 주의할 점을 알아봅시다.

1) 정의역과 치역을 확인하기

매나함에서 $f\left( t \right) $는 $x$가 가질 수 있는 값들을 결정하고, $g\left( t \right) $는 $y$가 가질 수 있는 값들을 결정합니다. 따라서 $h$의 정의역은 $f\left( t \right) $의 치역과 같고, $h$의 치역은 $g\left( t \right) $의 치역과 같습니다. 이를 통해 $h$의 개략적인 윤곽을 잡을 수 있습니다.

2) $f$의 증감성이 $h$의 그래프가 그려지는 양상에 끼치는 영향

(a)와 같이 $f$가 증가함수이면 $t$가 증가할 때 $x$가 증가하므로, $y=h\left( x \right) $를 그릴 때 (b)와 같이 왼쪽에서 오른쪽으로 그래프를 그려나가게 됩니다.

(a)와 같이 $f$가 감소함수이면 $t$가 증가할 때 $x$가 감소하므로, $y=h\left( x \right) $를 그릴 때 (b)와 같이 오른쪽에서 왼쪽으로 그래프를 그려나가게 됩니다.

3) 경로 겹침 문제 : 여러 $t$가 한 점에 대응되는 경우

2)에서 살펴보았던 내용 때문에 한 점 $\xy{p}{q}$가 둘 이상의 $t$에 대응될 수 있습니다.
그림과 같이 $t<\alpha$일 때는 $f$와 $g$가 감소하므로 $h$가 왼쪽 아래 방향으로 그려집니다.
그림과 같이 $t>\alpha$일 때는 $f$와 $g$가 증가하므로 $h$가 오른쪽 위 방향으로 그려집니다.
그러면 $y=h\left( x \right) $는 함수의 그래프를 나타내고 있다고 하더라도, 매나곡의 입장에서는 그림과 같이 한 번 지나친 경로를 다시 밟는 셈이 됩니다. 그래서 점 $\xy{p}{q}$가 둘 이상의 $t$인 $t=k_1$과 $t=k_2$에 대응될 수 있는 것입니다.

한 점에서 여러 개의 접선이 존재할 수 없다.

매나함의 그래프는 본래 함수의 그래프이므로, 그래프 위의 한 점 $\xy{a}{h\left( a \right) }$에서 접하는 직선이 두 개 이상 존재할 수 없습니다.
그러나 매나함의 그래프에서 살펴보았던 `경로 겹침 문제'에 의해 $\xy{a}{h\left( a \right) }$에 대응되는 $t$는 두 개 이상 존재할 수 있습니다. 이때 각 $t$에서의 접선은 모두 동일합니다.
  1. 1. 정확히 말하자면 $\dfrac{dy}{dx}$를 계산하기 위해서는 `이변수함수의 극한'을 계산해야 하는데, 이는 교육과정의 범위를 벗어납니다.