부정적분
$x^\alpha$의 부정적분
$\alpha \ne -1$일 때, $\dfrac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}$의 도함수는 $x^\alpha$이므로 $\int_{}^{} x^\alpha dx = \dfrac{1}{\alpha+1} x^{\alpha+1}+C$입니다. 이때 기호 $\int$는 `인테그랄'이라고 읽습니다. 한편 로그함수 $\ln\abs{x}$의 도함수는 $\dfrac{1}{x}$이므로 $\int \dfrac{1}{x}dx = \ln\abs{x}+ C$입니다. 이때 $\ln\abs{x}$는 `엘엔 절댓값 엑스'라고 읽습니다. 이를 이용하면 다항함수, 유리함수, 간단한 무리함수의 부정적분을 구할 수 있습니다.
삼각함수의 부정적분
삼각함수의 도함수를 통해 삼각함수의 부정적분을 구하면 다음과 같습니다.
- $\int \sin x dx = -\cos x + C$
- $\int \cos x dx = \sin x + C$
- $\int \sec^2 x dx = \tan x + C$
- $\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$
- $\int \sec x \tan x dx = \sec x + C$
- $\int \csc x \cot x dx = -\csc x + C$
지수함수의 부정적분
지수함수의 도함수를 통해 지수함수의 부정적분을 구하면 다음과 같습니다.
- $\int e^x dx = e^x + C$
- $\int a^x dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C$
이대로라면 적분할 수 있는 함수가 너무 적다
지금까지 배운 부정적분만으로는 적분할 수 있는 함수가 제한적입니다. 예를 들어 $\tan ^2 x = -1 + \sec^2 x $임을 이용해 $\tan^2 x$를 적분할 수 있지만, $\tan x$는 적분하지 못합니다. $\cot x$, $\sec x$, $\csc x$, $\ln x$ 등도 마찬가지입니다. 이러한 함수를 적분하기 위해 고안된 특별한 테크닉인 치환적분과 부분적분은 원리, 이해, 응용 파트에서 다루겠습니다.
정적분의 활용($y$에 관한 식)
넓이
함수 $x=g\left( y \right) $가 구간 $\CCI cd$에서 연속일 때, 곡선 $x=g\left( y \right) $와 $y$축 및 두 직선 $y=c$, $y=d$로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\int_{c}^{d}\abs{g\left( y \right) }dy$입니다. 이때 $\int_{c}^{d}$는 `인테그랄 씨부터 디까지'라고 읽습니다.
두 함수 $x=f\left( y \right) $, $x=g\left( y \right) $가 구간 $\CCI cd$에서 연속일 때, 두 곡선 $x=f\left( y \right) $, $x=g\left( y \right) $와 두 직선 $y=c$, $y=d$로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\int_{c}^{d}\abs{f\left( y \right)-g\left( y \right) }dy$입니다.
부피
구간 $\CCI ab$의 임의의 $x$에서 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $g\left( x \right)$일 때, 입체도형의 부피는 $\int_{a}^{b}g\left( x \right) dx$입니다.
이동거리와 곡선의 길이
점 $\mrm{P}$의 이동 거리
수직선에서의 이동 거리
점 $\mrm{P}$의 시각 $t$에서의 위치가 $\xy{f\left( t \right) }{g\left( t \right)}$일 때, 점 $\mrm{P}$가 시각 $t=a$에서 $t=b$까지 이동한 거리 $l$은 다음과 같이 속력을 적분하여 구할 수 있습니다.
\[\begin{align*}
l
= \int_{a}^{b}\sqrt{ \left( \dfrac{dx}{dt} \right) ^2+ \left( \dfrac{dy}{dt} \right) ^2} dt
= \int_{a}^{b}\sqrt{\left\{ f'\left( t \right) \right\}^2 + \left\{ g'\left( t \right) \right\}^2 }dt
\end{align*}\]
곡선 $y=f\left( x \right) $의 길이
점 $\mrm{P}$가 곡선 $y=f\left( x \right) $를 따라 움직이면 시각 $t$에서의 위치를 $\xy{t}{f\left( t \right)}$라 두는 것이 가장 간단합니다. 이때 시각 $t$는 시각을 나타내기도 하지만, 동시에 곡선 $y=f\left( x \right) $ 위의 점 $\mrm{P}$의 $x$좌표를 나타내기도 합니다. 따라서 곡선의 길이 $l$은 다음과 같이 속력을 $t=a=x$부터 $t=b=x$까지 정적분하여 구할 수 있습니다.
\[\begin{align*}
l
= \int_{a}^{b}\sqrt{ \left( \dfrac{dx}{dt} \right) ^2+ \left( \dfrac{dy}{dt} \right)^2 }dt
= \int_{a}^{b}\sqrt{1+ \left\{ f'\left( t \right) \right\} ^2 }dt
= \int_{a}^{b}\sqrt{1 + \left\{ f'\left( x \right) \right\}^2 }dx
\end{align*}\]
