원리 : 적분의 테크닉과 기본적인 그냥적분 (1)
% 적분의 본질은 `미분법의 역'입니다. 용어 파트에서 배운 모든 기본 부정적분들은 미분법을 거꾸로 행하여 얻은 것이고, 앞으로 배울 모든 테크닉도 결국 특정 미분법의 역을 이용한 것입니다. 즉 앞으로 배울 내용은 그저 수단에 불과하고, 가장 중요한 것은 \uline{미분법을 뒤집었다
는 사실입니다. 한편 미분법도 `도함수를 찾아내는 계산의 방법'이었고, 그 역인 적분법 또한 계산일 수밖에 없습니다. 적분실력은 곧 계산실력임을 꼭 기억하고 연습하길 바랍니다. }
미적분의 적분은 테크닉이 필요하다
적분 테크닉은 그냥적분, 치환적분, 부분적분의 세 가지로 나뉩니다. 순서대로 각 방법의 기본적인 방법을 배워보고, 기본적인 내용을 암기하고 응용하여 끌어낸 고급진 방법을 배워봅시다.기본적인 그냥적분 (1)
특별한 테크닉이나 고민이 필요하지 않은 적분입니다. 그냥적분은 그 자체로써 중요하다기보다는 나중에 배울 치환적분과 부분적분에서 너무나 당연하게 사용되므로 확실히 숙지해야 합니다. 기본이라 쉽지만, 오히려 기본이라 매우 중요한 셈입니다.그냥적분이 탄탄하지 않으면 적분법이 아니라 미분법을 적용하여 잘못된 계산 결과를 내는 경우가 많습니다. 이를테면 $\int \sin x dx = -\cos x + C$에서 $-$를 놓치는 등 부호를 실수하는 경우가 있습니다. 이러한 적분을 성공적으로 수행하기 위해서는 Zero에서 배운 기본적인 부정적분들을 정확히 숙지해야 합니다.
그냥적분 : `기본 도함수'의 역
Zero의 내용만으로 바로 처리할 수 있는 기본적인 적분이므로 공식을 그대로 적용하면 됩니다.- $\int x\expo{\frac{1}{4}} dx$
- $\int 2^x dx$
- $\int \csc^2 x dx$
- $\int \left( 3-2\sec^2 x \right) dx$
가벼운 식변형이 가미된 그냥적분
Zero의 복선에서 살짝 언급했듯이, 주어진 모습만으로는 부정적분을 배우지 않은 함수라 할지라도, 가벼운 식변형을 거치면 그냥적분할 수 있는 경우가 있습니다. 여러 가지 예시를 통해 배워봅시다.첫째, 삼각함수를 적분하는 경우, 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 함수식을 적절히 변형하면 적분할 수 있는 경우가 존재합니다. 예를 들어 $\tan ^2 x$의 부정적분은 배운 적이 없으나, 삼각함수 사이의 관계인 \[\begin{align*}\tan^2 x = -1 + \sec^2 x \end{align*}\]을 이용하면 적분할 수 있습니다. 둘째, 피적분함수의 식이 유리식이나 무리식인 경우, 식을 적절히 정리하여 $x^\alpha$꼴의 함수의 합, 차, 실수배 꼴로 나타내어 적분할 수 있는 경우가 존재합니다. 셋째, 부분분수 공식인 $\dfrac{1}{AB} = \dfrac{1}{B-A}\left( \dfrac{1}{A} - \dfrac{1}{B} \right) $를 이용하여 분수식을 정리해야하는 경우도 있습니다.
예를 든 것 외에도 식을 변형하면 그냥적분할 수 있는 경우는 다양하게 존재합니다. 이러한 적분을 성공적으로 수행하기 위해서는 기본적인 그냥적분을 숙지하고, 식을 변형하는 데 필요한 공식들을 적절히 활용하여 식변형을 능숙하게 행할 수 있어야 합니다.
- $\int \dfrac{2x^2 +1}{\sqrt{x}} dx$
- $\int \cot^2 x dx$
- $\int \dfrac{e^{2x}-4x^2}{e^x +2x} dx$
- $\int \dfrac{x+2}{x^2-3x+2}dx$