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원리 : 기본적인 치환적분
치환적분 : `합성함수의 미분법'의 역
기본적인 치환적분은 교과서에서 직접적으로 소개하고 있는 적분법의 테크닉입니다. 기본적인 치환적분의 아이디어는 `합성함수의 미분법'의 역을 발견하는 것으로, 다음의 관계를 이용한 것입니다. \[\begin{align*} \dfrac{d}{dx}\left\{ f\left( g\left( x \right) \right) \right\}= f'\left( g\left( x \right) \right)g'\left( x \right) \Longleftrightarrow \int_{}^{} f'\left( g\left( x \right) \right)g'\left( x \right)dx = f\left( g\left( x \right) \right) + C \end{align*}\] 이와 같이 $f'\left( g\left( x \right) \right)g'\left( x \right) $와 같은 피적분함수식을 `치환적분꼴'이라 부르기로 합시다. 이때 $f=H$, $f'=h$라 하면 치환적분꼴을 $h\left( g\left( x \right) \right) g'\left( x \right) $ 꼴로 나타낼 수 있고, 이 함수의 원시함수는 $H\left( g\left( x \right) \right) + C$임을 알 수 있습니다.치환적분꼴을 발견하기 위해서는 주어진 적분에서 피적분함수의 일부를 합성함수 $h\left( g\left( x \right) \right) $로 보았을 때 속함수1속함수란 합성함수의 안쪽에 들어 있는 함수를 말합니다. 예를 들어 $f\left( g\left( x \right) \right) $에서 $g\left( x \right) $가 속함수입니다.의 도함수인 $g'\left( x \right) $가 곱해져 있는 것으로 해석할 수 있는지를 확인해야 합니다.
다음 부정적분에서 치환적분꼴을 찾아 부정적분하시오.
- $\int x\sin \left( x^2 \right) dx$
- $\int e^x\sqrt{e^x +1} dx$
- $\int \tan x \sec ^2 x dx$
- $\int \cos x \sin x dx$
치환적분이 치환적분이라 불리는 이유
지금까지 배운 바에 의하면, $f'\left( g\left( x \right) \right)g'\left( x \right) $ 꼴(치환적분꼴)을 발견한 후, 그 함수의 부정적분이 $f\left( g\left( x \right) \right) + C $라고만 풀이하고 있습니다. 그럼 왜 치환을 전혀 하고 있지 않는데도, 왜 테크닉의 이름이 합성적분이 아니라 치환적분일까요? 그 이유를 알아보기 위해 교과서의 치환적분 유도 과정을 잠시 봅시다.
$f(x)$의 한 부정적분을 $F\left( x \right)$라 하면 $F\left( x \right) = \int_{}^{}f\left( x \right)dx + C \cdots \text{①}$이고, 미분가능한 함수 $g\left( t \right) $에 대하여 $x=g\left( t \right) $라 하면 다음이 성립합니다.
\[\begin{align*}
F\left( x \right) &= F\left( g\left( t \right) \right) \cdots\text{②}\\
\dfrac{dx}{dt} &= g'\left( t \right) \cdots\text{③}
\end{align*}\]
이때 ②의 각 변을 $t$에 대하여 미분하면 다음과 같습니다.
\[\begin{alignat*}{2} \text{(좌변)}&=\dfrac{d}{dt}F\left( x \right) && \\ \text{(우변)}&= \dfrac{d}{dt}F\left( g\left( t \right) \right) &&= F'\left( g\left( t \right) \right)g'\left( t \right)\\ & &&= f\left( g\left( t \right) \right)g'\left( t \right) \end{alignat*}\] 따라서 $\dfrac{d}{dt}F\left( x \right)=f\left( g\left( t \right) \right)g'\left( t \right) $입니다. 이때 좌변을 $t$에 대하여 부정적분하면, 즉 $\int_{}^{} \left\{ \dfrac{d}{dt}F\left( x \right) \right\}dt$를 계산하면, $t$에 대하여 미분했다가 다시 부정적분하는 것이므로 원래의 식에 적분상수를 더해준 $F(x)+C$가 됩니다. 한편 우변은 $F\left( g\left( t \right) \right) $의 도함수였으므로, 우변을 $t$에 대하여 부정적분하면 $F\left( g\left( t \right) \right) + C$입니다. 따라서 다음이 성립합니다. \[\begin{align*} \int_{}^{}f\left( x \right)dx &= \int_{}^{}f\left( g\left( t \right) \right)g'\left( t \right) dt \end{align*}\]
유도 과정에서는 $F(x)$에서 $x=g(t)$로 치환하여 다음이 성립함을 이끌어냈습니다.
\[\begin{align*} \int_{}^{}f\left( x \right)dx = \int_{}^{} f\left( g(t) \right)g'(t)dt \end{align*}\]
우리는 이 결과를 역이용하여 $\int_{}^{} f\left( g(t) \right)g'(t)dt$의 형태의 식이 주어졌을 때 $g\left( t \right) =x$라 치환함으로써 다음과 같은 꼴을 얻을 것입니다. \[\begin{align*}\int_{}^{}f\left( x \right)dx \end{align*}\] 즉 치환적분꼴을 발견하기 위해 고민할 필요 없이, 속함수를 $t$라 치환하여 식을 정리하면 적분이 수행될 수도 있을 거라는 기대를 바탕으로 계산할 수 있다는 것입니다.
\[\begin{alignat*}{2} \text{(좌변)}&=\dfrac{d}{dt}F\left( x \right) && \\ \text{(우변)}&= \dfrac{d}{dt}F\left( g\left( t \right) \right) &&= F'\left( g\left( t \right) \right)g'\left( t \right)\\ & &&= f\left( g\left( t \right) \right)g'\left( t \right) \end{alignat*}\] 따라서 $\dfrac{d}{dt}F\left( x \right)=f\left( g\left( t \right) \right)g'\left( t \right) $입니다. 이때 좌변을 $t$에 대하여 부정적분하면, 즉 $\int_{}^{} \left\{ \dfrac{d}{dt}F\left( x \right) \right\}dt$를 계산하면, $t$에 대하여 미분했다가 다시 부정적분하는 것이므로 원래의 식에 적분상수를 더해준 $F(x)+C$가 됩니다. 한편 우변은 $F\left( g\left( t \right) \right) $의 도함수였으므로, 우변을 $t$에 대하여 부정적분하면 $F\left( g\left( t \right) \right) + C$입니다. 따라서 다음이 성립합니다. \[\begin{align*} \int_{}^{}f\left( x \right)dx &= \int_{}^{}f\left( g\left( t \right) \right)g'\left( t \right) dt \end{align*}\]
다음 부정적분에서 적절한 식을 $t$로 치환하여 부정적분하시오.
- $\int x\sin \left( x^2 \right) dx$
- $\int e^x\sqrt{e^x +1} dx$
- $\int \tan x \sec ^2 x dx$
- $\int \cos x \sin x dx$
- 1. 속함수란 합성함수의 안쪽에 들어 있는 함수를 말합니다. 예를 들어 $f\left( g\left( x \right) \right) $에서 $g\left( x \right) $가 속함수입니다.