원리 : 기본적인 부분적분
기본적인 부분적분 : `곱의 미분법'의 역
부분적분은 교과서에서 직접적으로 소개하고 있는 적분법의 테크닉입니다. 부분적분의 기본 아이디어는 `곱의 미분법'의 역을 발견하는 것으로, 다음의 관계를 이용한 것입니다. \[\begin{gather*} \left\{ f\left( x \right) g\left( x \right) \right\}' = f'\left( x \right)g\left( x \right) +f\left( x \right) g'\left( x \right) \\ \Updownarrow \\[-0.5em] f\left( x \right) g\left( x \right) = \int_{}^{}f'\left( x \right) g\left( x \right) dx+\int_{}^{}f\left( x \right) g'\left( x \right) dx \end{gather*}\] 이때 우변의 식이 대칭적이므로 둘 중 아무 식이나 좌변으로 이항하고, 좌우변의 위치를 뒤집어 거꾸로 쓰고 적절히 곱셈의 순서를 조절해주면 다음과 같습니다. \[\begin{align*} \int_{}^{}f\left( x \right) g'\left( x \right) dx &= f\left( x \right) g\left( x \right) - \int_{}^{}f'\left( x \right) g\left( x \right) dx\\ \int_{}^{}g\left( x \right)f'\left( x \right) dx &= g\left( x \right)f\left( x \right) -\int_{}^{}g'\left( x \right)f\left( x \right) dx \end{align*}\] 즉 우변에서 어느 식을 옮기든 얻는 식의 구조는 $f$와 $g$의 입장만 바뀌었을 뿐 완전히 동일합니다. 이렇게 두 함수의 곱꼴이면서 부분적분 공식에 끼워맞출 수 있는 꼴을 부분적분꼴이라 부르기로 합시다.개량된 부분적분 공식
부분적분 공식에서 좌변의 피적분함수가 $fg'$으로 나타내어진 것은 조금 부자연스럽습니다. 우리가 부분적분꼴을 찾으려 할 때, 피적분함수는 두 함수의 곱으로 나타내어진 함수일 것이고, 세세히 분석해보기 전에는 두 함수 중 어떤 함수가 미분되고($f$이고), 어떤 함수가 적분되는지를($g'$인지를) 모르는 상황일 것입니다. 그런데 부분적분 공식은 이를 다 알고 있다는 전제 하에 작성되었기 때문에 실제 계산과 약간의 괴리가 있습니다.이 어색함을 해결하기 위하여 부분적분 공식을 개량해봅시다. $f=u$, $f'=u'$, $g'=v$, $g=V$라 하고 주어진 식에 등장하는 $f$와 $g$에 관한 식을 모두 $u$와 $v$에 대한 식으로 대체하면 다음과 같습니다. \[\begin{align*}\int_{}^{}u\left( x \right) v\left( x \right) dx = u\left( x \right) V\left( x \right) - \int_{}^{}u'\left( x \right) V\left( x \right) dx\end{align*}\] 이렇게 개량된 공식은 피적분함수가 두 함수 $u$, $v$의 곱인 $uv$로 나타나므로 훨씬 받아들이기 자연스러울 것입니다.
개량된 부분적분 공식 외우는 방법
개량된 부분적분 공식을 외우기 위한 방법을 알아봅시다. 먼저 다음과 같은 식의 틀을 정확히 숙지합시다. \[\begin{align*} \int\text{\hcn{1}} dx = \text{②} - \int_{}^{}\text{③}dx\end{align*}\] 이제 $u$에만 주목하여 ①, ②, ③의 순서대로 관찰해봅시다. ①에는 $u$, ②에는 $u$, ③에는 $u'$이 등장합니다. 따라서 ①의 $u$는 ②에서 $u$ 그대로 등장하고, ③에서는 ①의 $u$가 미분된 $u'$으로 등장합니다.마찬가지로 $v$에만 주목하여 ①, ②, ③의 순서대로 관찰해봅시다. ①에는 $v$, ②에는 $V$, ③에는 $V$가 등장합니다. 따라서 ①에 있는 $v$는 ②에서 한 번 적분되어 $V$로 등장하고, ③에서는 ②에서 있는 모습 그대로 $V$로 등장합니다.
지금까지 살펴본 바를 바탕으로, 개랑된 부분적분 공식을 다음과 같이 외울 수 있습니다. 이때 ②는 ①을 보며 계산하고, ③은 ②를 보며 계산하면 됩니다. \[\begin{align*} \int_{}^{}u\left( x \right) v\left( x \right) dx &= u\left( x \right) V\left( x \right) - \int_{}^{}u'\left( x \right) V\left( x \right) dx\\ \int_{}^{}u\left( x \right) v\left( x \right) dx &= \text{(그대로)(적분)} - \int_{}^{}\text{(미분)(그대로)} dx \end{align*}\]
기본적인 부분적분의 주의사항
부분적분은 공식을 외운다고 끝이 아니고, 주의해야 할 점이 많습니다.합리적인 $u$, $v$ 설정 : 각 함수의 미분적분 용이성 분석
외운 식의 구조를 보면 알 수 있듯이, 좌변의 피적분함수를 구성하고 있는 두 함수 $u$, $v$ 중 한 함수 $u$는 미분되고, 나머지 함수 $v$는 적분됩니다. 따라서 두 함수의 미분 용이성, 적분 용이성을 각각 조사하여 가장 합리적인 방향으로 $u$, $v$를 설정해야 합니다.여러 가지 참고서에서 언급하는 로다삼지1로그함수, 다항함수, 삼각함수, 지수함수를 나열한 것입니다. 모두 미분할 수 있다는 점에서는 동일하지만, 앞으로 갈수록 적분된 꼴을 다루기 어렵고, 뒤로 갈수록 적분된 꼴을 다루기 쉬워집니다.는 이러한 맥락에서 제안된 것입니다. 다만 고난도 부분적분 문제에서는 로다삼지 뿐만 아니라 특정한 조건을 만족하는 함수에 대하여 묻는 경우가 대부분이므로, 로다삼지에만 의존하지 말고 주어진 상황에서 각 함수의 미적분 용이성을 따지는 연습을 하길 권장합니다.
$u$와 $v$를 설정한 후에는 좌변을 작성하되, 피적분함수식에서 미분될 함수를 왼쪽($u$ 자리)에, 적분될 함수를 오른쪽($v$ 자리)에 적습니다. 우변에는 공식의 틀을 적어나가면서 `(그대로)(적분)'과 `(미분)(그대로)'를 기계적으로 계산하여 식을 작성합니다.
앞서 말했듯 적분의 본질은 계산입니다. 적분을 잘하기 위해서는 적분 계산에 막힘이 없도록 꾸준하게 훈련하는 것이 중요합니다.
$\int u'Vdx$의 수습 : 계산하거나, 회피하거나
부분적분을 마무리지으려면 결국 $\int u'Vdx$를 계산해야 합니다. 이 적분을 처리하는 것이 부분적분의 핵심입니다.2즉 부분적분의 의미를 이렇게 생각할 수 있습니다.만약 $\int \text{③}dx$을 직접 계산하기 어렵다면, 함수의 다양한 성질을 이용하여 간접적으로 해결해야 할 수도 있습니다.
부분적분의 특별한 상황 : 한 함수만 있는데도 부분적분을?
기본적으로 부분적분은 두 함수의 곱으로 나타내어진 피적분함수를 적분할 때 사용됩니다. 그런데 한 함수만 등장하더라도, 그 함수에 상수함수 $1$이 곱해진 것으로 생각한다면 두 함수의 곱꼴로 생각할 수 있습니다.가장 대표적인 예로는 $\int_{}^{} \ln xdx$가 있습니다. $\left( \ln x \right)' =\frac{1}{x} $로 미분은 용이하지만, $\ln x$의 부정적분은 아는 바가 없습니다. 식을 변형해서 얻을 방법도 없으므로 그냥적분 (1)로도 접근할 수 없고, 합성함수 꼴이 아니므로 치환적분을 적용할 수도 없습니다. 그러면 부분적분을 이용하기 위해 $\ln x$에 $1$이 곱해진 것으로 해석하여 $u=\ln x$, $v=1$로 두면 다음과 같이 부분적분을 수행할 수 있습니다. \[\begin{align*} \int_{}^{} \left( \ln x \right)\cdot 1 dx = \left( \ln x \right)x - \int_{}^{}\left( \dfrac{1}{x} \right) x dx = x\ln x - \int_{}^{} dx = x\ln x - x + C \end{align*}\]
- $\int x e^x dx$
- $\int x^2\ln x dx$
- $\int \left( \ln x \right)^2 dx$
- $\int \cos x \sin x dx$
- 1. 로그함수, 다항함수, 삼각함수, 지수함수를 나열한 것입니다. 모두 미분할 수 있다는 점에서는 동일하지만, 앞으로 갈수록 적분된 꼴을 다루기 어렵고, 뒤로 갈수록 적분된 꼴을 다루기 쉬워집니다.
- 2. 즉 부분적분의 의미를 이렇게 생각할 수 있습니다.$\int u\left( x \right) v\left( x \right) dx$를 어떻게 처리할 지 어려울 때, 만약 둘 중 하나는 미분하고 하나는 적분한 함수로 바꾼 적분인 $\int u'\left( x \right) V\left( x \right) dx$를 계산할 수 있다면, 부분적분을 적용해 계산할 수 있다.