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이해 : 기본적인 적분 다시 살펴보기

우리는 치환적분과 부분적분을 통해 꽤나 다양한 함수들을 적분할 수 있게 되었습니다. 그러나 치환적분과 부분적분은 `특정한 꼴을 발견하여 그 꼴에 주어진 함수를 끼워맞추어 적분한다'는 느낌이 강합니다. 이는 두 테크닉이 `미분법 꼴의 발견'에서 출발했기 때문입니다. 그렇다면 치환적분과 부분적분으로 원시함수를 구했던 함수들은 치환적분과 부분적분 없이는 절대로 원시함수를 구할 수 없는 것일까요?

그렇지는 않습니다. 적분의 본질은 `미분법의 역'이므로, $f(x)$의 원시함수인 $F(x)$를 구하고 싶다면 무엇을 미분해야 $f\left( x \right) $의 식이 나올지를 고민하여 원시함수를 구할 수도 있습니다. 지금까지 배운 내용을 바탕으로 적분법에 대한 사고의 폭을 넓혀 유연하게 접근해봅시다.

먼저 $f\left( x \right) = e^{2x} $를 생각해봅시다. 무엇을 미분하면 $e^{2x}$가 나올지를 생각해보다가, $\left( e^{2x} \right)' = 2e^{2x}$임을 떠올릴 수 있을 것이고, 이를 이용하면 $\int_{}^{} e^{2x}dx = \dfrac{1}{2}e^{2x} + C$임을 알 수 있습니다. 이를 굳이 $2x=t$로 치환하여 치환적분을 시도하거나, $\dfrac{1}{2}\int_{}^{}2e^{2x}dx$로 변형하여 치환적분꼴을 만들어내는 것은 오히려 어색할 것입니다.¹물론 치환적분을 연습하는 과정에서 이러한 방법으로 치환적분하는 것은 매우 바람직합니다.

다음으로 부분적분을 이용해 원시함수를 구했던 $f\left( x \right) =\ln x$를 생각해봅시다. $\left( \ln x \right)' = \dfrac{1}{x} $임은 알고 있으므로, $x\ln x$를 미분하면 곱의 미분법에 의하여 다음을 얻습니다. \[\begin{align*} \left( x \ln x \right)' = \ln x + 1\end{align*}\] 이때 우변에서 상수항 $1$을 제거하면 $\ln x$가 될 것입니다. 이를 위해 $x\ln x$에 $x$를 빼주면 다음과 같습니다. \[\begin{align*} \left( x \ln x - x \right)' = \ln x \end{align*}\] 따라서 $F\left( x \right) = x\ln x - x + C$임을 알 수 있습니다. 이와 같이 부분적분 없이도 $\ln x$의 원시함수를 구할 수 있습니다.

다음으로 치환적분으로도, 부분적분으로도 원시함수를 구했던 $f\left( x \right) = \sin x \cos x$를 생각해봅시다. 두 함수 $\sin x$, $\cos x$의 곱으로 이루어진 함수이므로, 두 함수의 곱꼴로 이루어진 함수를 미분하여 얻을 수 있겠다고 생각할 수 있습니다. $\left( \sin x \right) ' = \cos x$, $\left( \cos x \right)' = -\sin x $이므로, $\sin x \sin x$나 $\cos x \cos x$를 미분하면 $\sin x \cos x$와 유사한 꼴을 얻을 수 있을 거라 예상할 수 있습니다. 계산해보면 다음과 같습니다. \[\begin{align*} &(\sin x \sin x)' = 2\cos x \sin x\\ &(\cos x \cos x)' = -2\sin x \cos x \\ &\therefore \int_{}^{} \sin x \cos x dx = \dfrac{1}{2}\left( \sin x \right)^2 + C_1 = -\dfrac{1}{2}\left( \cos x \right)^2 + C_2 \end{align*}\] 이와 같이 본질에 입각하여 미분법만으로도 원시함수를 찾을 수 있으므로, 치환적분과 부분적분에만 너무 얽매일 필요가 없습니다. 시야를 넓게 갖고 적분법을 다루는 자세를 갖추도록 합시다.

적분 계산 훈련

수능문제에서 `이 문제는 치환적분을 써서 풀어라', `이 문제는 식을 이렇게 변형해서 풀어라'는 식의 힌트를 주지는 않으므로 본인이 직접 판단하여 풀이를 진행해야 합니다. 지금까지 각각의 테크닉별로 예제를 조금씩만 제시한 이유는, 여기에 수많은 적분문제들을 섞어놓고 어떤 테크닉을 쓸지 연습할 기회를 드리기 위해서입니다. 어떤 적분 테크닉을 써야할지 모르는 상태에서 스스로 판단하는 능력을 키워봅시다.

다음의 $232$개의 부정적분을 구하시오.

$\int \dfrac{3\cos^3 x -1}{\cos^2 x} dx$
$\int \dfrac{e^{2x}}{e^{2x} +1} dx$
$\int \sqrt{3x+1} dx$
$\int e^{3x} dx$
$\int \dfrac{3x+6}{x^2+4x+4} dx$
$\int \dfrac{x+1}{x\left( x-1 \right) } dx$
$\int \dfrac{2x+1}{x} dx$
$\int \left( x+2 \right)e^x dx$
$\int \dfrac{x^2+x+1}{x} dx$
$\int \left( x^2-2 \right) e^x dx$
$\int e^{x-1} dx$
$\int \dfrac{1}{e^x +1} dx$
$\int \left( 3^x +2^x \right)^2 dx$
$\int \dfrac{1+x}{\sqrt{x}} dx$
$\int \left( \sqrt[3]{x^2}-\dfrac{2}{x} \right) dx$
$\int \dfrac{2x^2 +1}{ \sqrt{x} } dx$
$\int \dfrac{\cos^2 x}{1-\sin x} dx$
$\int \left\{ \dfrac{\left( \ln x \right)^3}{x}+2 \right\} dx$
$\int \dfrac{\sec ^2 x}{\tan x} dx$
$\int \sqrt{2x+3} dx$
$\int \sin x \cos x dx$
$\int x\sin x dx$
$\int \left( \tan x + \cot x \right)^2 dx$
$\int \left( 2x+1 \right) \ln x dx$
$\int \dfrac{1}{x^3} dx$
$\int \dfrac{x+1}{x^2+2x+2} dx$
$\int \left( \sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right) dx$
$\int \dfrac{2}{x} dx$
$\int \dfrac{x^3+2x-2}{x^2} dx$
$\int \dfrac{\sec^2 x -1}{\tan x} dx$
$\int \dfrac{x^2-2x-1}{x^2} dx$
$\int \left( x^2 +1 \right) \sin x dx$
$\int 2x\left( x+1 \right)^6 dx$
$\int \sec^2\left( 6x+1 \right) dx$
$\int \dfrac{e^{2x}-4x^2}{e^x +2x} dx$
$\int \dfrac{x^2-2}{x} dx$
$\int \sin\left( 2x+\dfrac{\pi}{4} \right) dx$
$\int x\left( x^2-3 \right)^3 dx$
$\int x\sin {3x} dx$
$\int \dfrac{8^x}{2^x +1} dx$
$\int \dfrac{2x^2-4x-1}{x+1} dx$
$\int \left( 2x+1 \right) e^{x^2+x} dx$
$\int \dfrac{3x-1}{x^2} dx$
$\int \dfrac{1+x}{x^3} dx$
$\int 3^{x+1} dx$
$\int \dfrac{2x}{\sqrt{2x-1}} dx$
$\int x^2 \cos x dx$
$\int \dfrac{x^2}{x^3 +4} dx$
$\int \dfrac{1-\cos^3 x}{\cos^2 x} dx$
$\int \sec^2\left( 6x+1 \right) dx$
$\int \dfrac{x+2}{x^2-3x+2} dx$
$\int \sin^4 x \cos x dx$
$\int 10^{2x} dx$
$\int \dfrac{1}{x\left( x+1 \right) } dx$
$\int e^{-2x+1} dx$
$\int \ln \sqrt{x} dx$
$\int \dfrac{\left( \sqrt{x}+1 \right) ^2}{x} dx$
$\int \left( \sin x +\cos x \right)^2 dx$
$\int \left( \ln x \right) ^2 dx$
$\int \dfrac{\ln x}{x} dx$
$\int \dfrac{3+x\cos ^2 x}{1-\sin ^2 x} dx$
$\int \sin\left( \dfrac{\pi}{3}-\dfrac{x}{2} \right) dx$
$\int \dfrac{3x^3+2}{x} dx$
$\int \dfrac{1}{1-\cos^2 x} dx$
$\int \dfrac{\ln x}{x^2} dx$
$\int \sec^2 x dx$
$\int \dfrac{3x+1}{x^2} dx$
$\int \dfrac{x-1}{\sqrt{x}-1} dx$
$\int \cot^2 x dx$
$\int \dfrac{3}{x^2-x-2} dx$
$\int \dfrac{1}{\sqrt{x}} dx$
$\int x\left( 3x^2-1\right)^4 dx$
$\int 2^{3x} dx$
$\int e^x\sqrt{e^x +1} dx$
$\int \dfrac{8}{\left( 2x-1 \right) \left( 2x+1 \right) } dx$
$\int \dfrac{9^x -1}{3^x +1} dx$
$\int \dfrac{\sin^2 x}{1+\cos x} dx$
$\int x^2 \sin x dx$
$\int \ln \left( 3x+2 \right) dx$
$\int \dfrac{e^{2x}-1}{e^x-1} dx$
$\int 2x\left( x^2-1\right) ^3 dx$
$\int e^x \cos 2x dx$
$\int \dfrac{8^x}{2^x} dx$
$\int \dfrac{\left( \ln x \right)^2 }{x} dx$
$\int \cos ^3 x dx$
$\int \left( \sec x+\cos x \right)\tan x dx$
$\int \sec x dx$
$\int e\expo{-\tfrac{x}{4}} dx$
$\int \dfrac{\sin^2 x-\cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx$
$\int e^x \sin x dx$
$\int \left( 2x+1 \right)^4 dx$
$\int x \ln x dx$
$\int \left( 2^x+e^x \right) dx$
$\int x\sqrt{x-3} dx$
$\int \left( 1-\cos x \right)^2\sin x dx$
$\int 3x^2 e^{x^3} dx$
$\int \dfrac{x+5}{x^2} dx$
$\int \sec x \tan x dx$
$\int \dfrac{\cos x}{1+\sin x} dx$
$\int \dfrac{1}{2\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+1 \right) } dx$
$\int e^{4x} dx$
$\int \left( e^{x-2}+2^{x+2} \right) dx$
$\int \left( 4\sqrt{x}-\dfrac{3}{x^2} \right) dx$
$\int \dfrac{1}{\sin^2 x -1} dx$
$\int \dfrac{2\sin^3 x +3}{\sin^2 x} dx$
$\int \dfrac{x}{\sqrt{x^2 +1}} dx$
$\int \left( x+1 \right) \sec ^2 x dx$
$\int x^2 e^x dx$
$\int \dfrac{1+\sin^2 x}{\sin^2 x} dx$
$\int \dfrac{2}{\left( x-1 \right) \left( x+1 \right) } dx$
$\int \dfrac{1}{x\ln 3x} dx$
$\int \dfrac{x}{\left( x-1 \right)^2 } dx$
$\int \left( e^x +e^{-x} \right)^2 dx$
$\int \dfrac{\left( x-2 \right) ^2}{\sqrt{x}} dx$
$\int \dfrac{e^{3x} - x^3}{e^x - x} dx$
$\int \dfrac{\left( \sqrt{x}-1 \right)^3 }{x} dx$
$\int \dfrac{1+\cos^2 x}{1-\sin^2 x} dx$
$\int \dfrac{4^x -1}{2^x -1} dx$
$\int \cos\left( 2x-1 \right) dx$
$\int x\left( \ln x \right) ^2 dx$
$\int \left( 2\sin x -\csc^2 x \right) dx$
$\int \dfrac{7x-10}{\left( x-1 \right) \left( x-2 \right) } dx$
$\int x e^x dx$
$\int \left( 2^x +1 \right)^2 dx$
$\int 3\sqrt{x} dx$
$\int \sin^2 x \cos x dx$
$\int x^3 e^x dx$
$\int e^{-x} \sin x dx$
$\int \dfrac{e^x +1}{e^x +x} dx$
$\int \dfrac{1+\cos^2 x}{\cos^2 x} dx$
$\int \sqrt[3]{x} dx$
$\int \left( 3^x -1 \right)^2 dx$
$\int \tan x \left( 1+\sec^2 x \right) dx$
$\int \left( \dfrac{2}{\cos^2 x}+\cos x \right) dx$
$\int \left( \sin x + \cos x \right) dx$
$\int \left( x-3 \right)e^{2x} dx$
$\int e^{3x+2} dx$
$\int \tan x dx$
$\int x\sqrt{x} dx$
$\int x\expo{\tfrac{1}{4}} dx$
$\int \left( \sin x -3\cos x \right) dx$
$\int e^x + e^{-x} dx$
$\int \dfrac{1}{\sqrt{2-x}} dx$
$\int \dfrac{\sin^2 x}{1-\cos x} dx$
$\int \left( 3\cos x-4\sec ^2 x \right) dx$
$\int \dfrac{x^2+3x-2}{x^3} dx$
$\int \dfrac{x^2-x+3}{x-1} dx$
$\int x\cos 2x dx$
$\int \tan x \sec ^2 x dx$
$\int 3^{x-1} dx$
$\int \dfrac{\sec^4 x}{1+\tan^2 x} dx$
$\int \dfrac{1}{x\ln x} dx$
$\int \left( e^x+1 \right)^2 dx$
$\int \dfrac{x-1}{\sqrt{x}-1} dx$
$\int \left( 2x+1 \right)\left( x^2+x \right)^2 dx$
$\int \left( 2\sin x + \cos x \right) dx$
$\int \left( x+3 \right) \sin x dx$
$\int \cos x \sin ^3 x dx$
$\int e^{x+1} dx$
$\int \dfrac{1}{1-\sin^2 x} dx$
$\int \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$
$\int \dfrac{3}{3x+4} dx$
$\int \dfrac{e^x +e^{-x}}{e^x -e^{-x}} dx$
$\int \cos\left( \dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{3} \right) dx$
$\int e^{-x} dx$
$\int \dfrac{x^2 +2}{x^3 +6x+1} dx$
$\int \dfrac{1}{1+\sin x} dx$
$\int \dfrac{x^2}{x^3 +1} dx$
$\int x e^{3x} dx$
$\int \dfrac{x^2-3x+1}{x} dx$
$\int x\cos x dx$
$\int \left( 2x+1 \right)\cos x dx$
$\int x\sqrt{x^2 +5} dx$
$\int \dfrac{2\sin^3 x -1}{\sin ^2 x} dx$
$\int \dfrac{\ln x}{x\left( \ln x +1 \right) } dx$
$\int \abs{e^x -1} dx$
$\int \left( 3x+5 \right) ^6 dx$
$\int \dfrac{f'\left( x \right) }{f\left( x \right) } dx$
$\int \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}} dx$
$\int \dfrac{e^x}{e^x +2} dx$
$\int \sqrt{\dfrac{1+\sqrt{x}}{x}} dx$
$\int e^x \sin 2x dx$
$\int \cos\left( 2x+1 \right) dx$
$\int x\sin 2x dx$
$\int 3^{2x} dx$
$\int 2^{3x-1} dx$
$\int \left( \sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}} \right)^3 dx$
$\int e^{x+\ln 3} dx$
$\int \dfrac{\cos x}{1-\sin^2 x} dx$
$\int \left( 3\cos x-4\sin x \right) dx$
$\int \sin\abs{x-\dfrac{\pi}{4}} dx$
$\int \dfrac{x^2}{x^3 -2} dx$
$\int x\left( 3x^2+2\right)^4 dx$
$\int \ln \left( x+1 \right) dx$
$\int \dfrac{1-\sin x}{x+\cos x} dx$
$\int \dfrac{xe^x +2}{x} dx$
$\int \left( e^2x + 2e^x \right) dx$
$\int \csc^2 x dx$
$\int \dfrac{x^2 +2x-4}{x^3} dx$
$\int \tan^2 x dx$
$\int x\left( \sqrt{x}-2 \right) dx$
$\int \dfrac{x}{x^2+1} dx$
$\int \dfrac{x}{\sqrt{x+1}} dx$
$\int \sin\left( \dfrac{\pi}{6}x \right) dx$
$\int \ln\sqrt{x} dx$
$\int \cos^2 x \sin x dx$
$\int 2x\left( x^2-3 \right)^3 dx$
$\int \cot x dx$
$\int \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} dx$
$\int e^x \cos x dx$
$\int e^{3x-1} dx$
$\int xe^{x^2} dx$
$\int \csc x \cot x dx$
$\int \dfrac{1}{x\ln x} dx$
$\int x^2 \ln x dx$
$\int \dfrac{x}{x^2+5} dx$
$\int \sin ^3 x dx$
$\int x e^{-x} dx$
$\int \sin\left( 2x-1 \right) dx$
$\int x\sqrt{2-x} dx$
$\int \dfrac{1}{4x-5} dx$
$\int \left( 2x+3 \right) ^4 dx$
$\int x^r dx$
$\int x\cos x dx$
$\int \dfrac{3^x \ln 3}{3^x +1} dx$
$\int \left( x+1 \right)^3 dx$
$\int \left( -\dfrac{1}{x} \right) dx$
$\int \dfrac{1}{\sqrt{4x+1}} dx$
$\int \dfrac{1}{\sin^2 x -1} dx$
$\int 4x\left( 2+x^2 \right)^4 dx$
$\int \ln x dx$
$\int \left( 3-2\sec^2 x \right) dx$

1. 물론 치환적분을 연습하는 과정에서 이러한 방법으로 치환적분하는 것은 매우 바람직합니다.