미적분 > 적분

응용 : 어려운 적분

들어가기 전에 : 수단에 빠져 본질을 잊어버리면 안 된다.

어려운 적분 테크닉은 분명 기본적인 적분 테크닉보다 화려하고 풀이 단계가 짧지만, 결국 적분에 쓰이는 아이디어는 똑같습니다. 어려운 적분 테크닉도 결국 수단에 불과할 뿐이므로, `미분법의 역'이라는 적분의 본질을 반드시 기억합시다.

어려운 그냥적분

속함수가 일차함수인 합성함수

$f\left( ax+b \right) $는 $f\left( x \right) $를 $a$만큼 좌우로 신축한 후 $x$축 방향으로 $-\dfrac{b}{a}$만큼 평행이동한 함수입니다. 따라서 치환적분으로 생각하지 않더라도 함수의 좌우 신축과 평행이동을 이용하여 적분을 생각할 수 있습니다.¹

기본꼴을 눈에 익히기

기본적인 형태의 함수를 미분한 꼴을 주는 경우가 있습니다. 눈썰미와 실력이 좋다면 시험 현장에서 스스로 발견해낼 수 있겠지만, 예상되는 내용을 미리 접해보며 눈에 익숙하게 만들어놓으면 시험을 대비하는 데 안정감을 가질 수 있을 것입니다.

$\left\{ f\left( x \right) \right\}^2 $의 미분꼴 : $\left[ \left\{ f\left( x \right) \right\}^2 \right]' = \left\{ f\left( x \right) f\left( x \right) \right\}' = 2f\left( x \right)f'\left( x \right) $이므로 우변의 꼴을 보고 적분으로 처리할 수 있습니다.²물론 치환적분꼴이기는 하지만, 적분은 언제나 생각하기 나름입니다. 계산만 할 수 있다면요.
$x f\left( x \right) $의 미분꼴 : $\left\{ xf\left( x \right) \right\}' = f\left( x \right) + xf'\left( x \right)$이므로 $f\left( x \right) + xf'\left( x \right) $에 대한 조건이 있다면 적분으로 접근할 수 있습니다.
$\dfrac{f\left( x \right) }{x}$의 미분꼴 : $\left\{ \dfrac{f\left( x \right) }{x} \right\}' = \dfrac{xf'\left( x \right) - f\left( x \right) }{x^2}$이므로 우변의 꼴을 보고 적분으로 처리할 수 있습니다. 이는 사실 분자와 분모를 모두 제시한 상태에서도 떠올리기 쉽지 않습니다. 만약 $xf'\left( x \right) - f\left( x \right) $만 제시한다면 더 발견하기 어렵습니다.
$e^x f\left( x \right) $의 미분꼴 : $\left\{ e^x f\left( x \right) \right\}' =e^x\left\{ f\left( x \right) + f'\left( x \right) \right\} $이므로 우변의 꼴을 보고 적분으로 처리할 수 있습니다. 이는 사실 우변의 꼴만 제시한 상태에서도 떠올리기 쉽지 않습니다. 만약 $f\left( x \right) + f'\left( x \right) $만 제시한다면 더 발견하기 어렵습니다.
$e^{-x} f\left( x \right) $의 미분꼴 : $\left\{ e^{-x} f\left( x \right) \right\}' =-e^{-x}\left\{ f\left( x \right) - f'\left( x \right) \right\} $이므로 우변의 꼴을 보고 적분으로 처리할 수 있습니다. 이는 사실 우변의 꼴만 제시한 상태에서도 떠올리기 쉽지 않습니다. 만약 $f\left( x \right) - f'\left( x \right) $만 제시한다면 더 발견하기 어렵습니다.

어려운 치환적분

빈출 치환적분꼴

치환적분을 하다보면 어느 순간 여러 가지 꼴에 익숙해질 것입니다. $f\left( g\left( x \right) \right)g'\left( x \right) $에서 $g\left( x \right)=t $로 치환하기 전에 마주칠 수 있는 치환적분꼴을 알아봅시다.

$g\left( x \right) g'\left( x \right) $ : $f\left( x \right) = x$인 경우로, $\int_{}^{} g\left( x \right) g'\left( x \right)dx = \dfrac{1}{2}g\left( x \right) ^2 + C$입니다.
$e^{g\left( x \right)}g'\left( x \right)$ : $f\left( x \right) = e^x$인 경우로, $\int_{}^{} e^{g\left( x \right)}g'\left( x \right)dx = e^{g\left( x \right) } + C$입니다.
$\dfrac{g'\left( x \right) }{g\left( x \right) }$ : $f\left( x \right) = \dfrac{1}{x}$인 경우로, $\int_{}^{}\dfrac{g'\left( x \right) }{g\left( x \right) }dx = \ln\abs{g\left( x \right) }+C$입니다.
$g\left(g\left( x \right) \right)g'\left( x \right) $ : $f\left( x \right) = g\left( x \right)$인 경우로, $\int_{}^{}g\left(g\left( x \right) \right)g'\left( x \right)dx = G\left( g\left( x \right) \right) + C$입니다.

$g'\left( x \right)dx = dt $의 의미 해석

교과서에서는 치환적분을 설명할 때 `$g\left( x \right)=t $일 때 ($g'\left( x \right) =\dfrac{dt}{dx}$이므로) $g'\left( x \right)dx = dt$라 볼 수 있다'고 서술하고 있지만, 이것이 정당화되는 이유에 대해서는 자세한 설명을 하지 않고 있습니다. 이에 대해 조금만 알아봅시다.

함수 $y=f\left( x \right) $에서 양변을 미분하면 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}f\left( x \right) =f'\left( x \right) $인데, 이 식의 양 끝변을 정적분하면 다음과 같이 생각할 수 있습니다. 이때 적분구간을 적을 때 적분변수를 명확히 드러내기 위해 `$(\text{적분변수})=(값)$'과 같이 표현해봅시다. \[\begin{align*} \int_{x=a}^{x=b}f'\left( x \right) dx &= \inti{f\left( x \right) }{x=a}{x=b}=f\left( b \right)-f\left( a \right)\\ \int_{x=a}^{x=b}\dfrac{dy}{dx} dx &= \inti{f\left( x \right) }{x=a}{x=b}=f\left( b \right)-f\left( a \right) \end{align*}\] 한편 동일하게 함수 $y=f\left( x \right) $가 주어진 상황에서, $\int_{y=f\left( a \right) }^{y=f\left( b \right) } dy$를 계산해보면 다음과 같습니다. \[\begin{align*} \int_{y=f\left( a \right) }^{y=f\left( b \right) } dy = \inti{y}{y=f\left( a \right) }{y=f\left( b \right) } = f\left( b \right) - f\left( a \right) \end{align*}\] 따라서 다음이 성립함을 알 수 있습니다. \[\begin{align*}\int_{x=a}^{x=b}f'\left( x \right)dx = \int_{x=a}^{x=b}\dfrac{dy}{dx}dx = \int_{x=a}^{x=b} dy = \int_{y=f\left( a \right) }^{y=f\left( b \right)} dy \end{align*}\]

이를 통해 두 기호 $\dfrac{dy}{dx}$, $dx$에 대하여 $\dfrac{dy}{dx} \times dx = dy$와 같은 연산을 정의한 적은 없으나,³ 정적분 내에서는 (결과론적으로) 연산 결과가 분수 계산과 동일함을 알 수 있습니다. 한편 변수 사이의 관계만 잊지 않는다면, 피적분함수와 적분변수 부분만 치환하고, 적분구간은 치환하지 않아도 문제가 없다는 사실 또한 알 수 있습니다.

지금까지 살펴본 내용을 정리하면 다음과 같습니다.

$dy$, $dx$, $\dfrac{dy}{dx}$ 사이의 연산 : $\dfrac{dy}{dx} dx = dy$, $f'\left( x \right) dx = dy$
$\dfrac{dy}{dx}$는 $x$의 순간변화에 따라 발생하는 $y$의 순간변화를 비율로 나타내는 값이므로, $\dfrac{dy}{dx}$에 $dx$를 곱하면 $dy$를 얻는다. $f'\left( x \right) $ 또한 마찬가지로 생각할 수 있다.
적분변수와 구간의 치환 : $\int_{x=a}^{x=b}f'\left( x \right)dx = \int_{x=a}^{x=b}\dfrac{dy}{dx}dx = \int_{x=a}^{x=b} dy = \int_{y=f\left( a \right) }^{y=f\left( b \right)} dy $
$y$의 순간변화량 $dy$가 $x=a$부터 $x=b$까지 누적된 값은 $y=f\left( a \right) $부터 $y=f\left( b \right) $까지 누적된 값인 $f\left( b \right) - f\left( a \right) $와 같다.

역치환적분

기본적인 치환적분에서는 $\int_{}^{} f\left( g(t) \right)g'(t)dt$의 형태의 식이 주어졌을 때 $g\left( t \right) =x$라 치환함으로써 다음과 같은 꼴을 얻었습니다. \[\begin{align*}\int_{}^{}f\left( x \right)dx \end{align*}\] 반대로, $\int_{a}^{b}f\left( x \right)dx$의 형태의 식이 주어졌을 때⁴ 역함수가 존재하는 함수 $g$에 대하여 $x=g\left( t \right)$라 치환하면 다음과 같은 꼴을 얻습니다. \[\begin{align*} \int_{a}^{b} f\left( x \right)dx = \int_{c}^{d} f\left( g(t) \right)g'(t)dt\end{align*}\] 이때 $c=g^{-1}\left( a \right) $, $d=g^{-1}\left( b \right) $입니다. 이러한 방식의 치환을 역치환이라 부르기로 하고, 역치환을 이용한 치환적분을 역치환적분이라고 부르기로 합시다.

역치환적분에서 주의할 점

이름에 걸맞게 $g$의 역함수가 존재해야만 사용할 수 있습니다. $x=g\left( t \right)$라 치환하는 것은, $x$와 $t$가 $g$라는 함수에 의해 연관지어졌음을 의미합니다. 이는 치환된 정적분에서의 아래끝과 위끝인 $c$, $d$를 구할 때 더 명백히 드러납니다. $g\left( c \right) =a$, $g\left( d \right) =b$이므로 $c$, $d$를 각각 $a$, $b$로 표현하기 위해서는 역함수 $g^{-1}$가 존재해야만 비로소 $c=g^{-1}\left( a \right) $, $d=g^{-1}\left( b \right) $라 말할 수 있기 때문입니다.

한편 $g$의 역함수가 존재하지 않는 경우, 여러 구간으로 쪼개 각각의 구간에서는 역함수가 존재하도록⁵이를 조각역함수라고 부를 수 있습니다. 하여 각 구간에서 역치환적분을 수행할 수 있습니다. 이때 출제자 입장에서 생각해보면, 치환할 함수 $g$의 역함수 존재 여부를 따지도록 유도하고, 존재하지 않는다면 $g$ 구간을 어떻게 쪼갤지를 생각하도록 하기 위해서는 `적분 구간'을 주어야만 합니다. 역치환적분을 부정적분으로 다루는 경우가 드물고, 정적분으로 다루는 경우가 많은 것은 이때문입니다.

역치환적분의 사례 (1) : 삼각치환

$\int_{p}^{q}\dfrac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}dx$, $\int_{p}^{q}\dfrac{1}{a^2 + x^2}dx$ 꼴이 대표적입니다. 전자의 경우 $x=a\sin\theta$로, 후자의 경우 $x=a\tan\theta$로 역치환적분을 시도⁶하면 삼각함수 사이의 관계에 의하여 식이 $\theta$에 대하여 깔끔하게 정리되어 적분을 계산할 수 있게 됩니다.

역치환적분의 사례 (2) : 역함수 표현이 주어졌을 때

$t=\left(2x-1 \right)e^{2x} $라는 관계식이 주어졌을 때, $\int_{e^2} ^{3e^4} x dt$를 구해봅시다.

우선 주어진 함수에서 $t=\left( 2x-1 \right) e^{2x}$로 역치환할 수 있는지, 즉 함수 $g\left( x \right)=\left( 2x-1 \right)e^{2x} $의 역함수가 존재하는지를 확인해야 합니다. $g\left( x \right) $는 $\COI{\dfrac{1}{2}}{\infty}$에서 증가⁷미분하면 $\COI{0}{\infty}$에서 증가함을 알 수 있습니다.하고, $x=\dfrac{1}{2}$일 때 $g\left( \dfrac{1}{2} \right)=0$이므로 정의역을 $\COI{\dfrac{1}{2}}{\infty}$, 치역을 $\COI{0}{\infty}$로 잡으면 역함수가 존재함을 알 수 있습니다. 따라서 역치환적분을 수행할 수 있습니다.

$t=\left( 2x-1 \right)e^{2x}$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\dfrac{dt}{dx} = 4xe^{2x} $이므로 $dt = 4xe^{2x}dx$를 얻습니다. 이를 이용해 주어진 정적분을 역치환한 후, 부분적분을 통해 계산하면 다음과 같습니다.⁸사실 옆의 정적분의 계산에서 아래끝과 위끝을 구할 때 $e^2=\left( 2x-1 \right) e^{2x}$에서 $x=1$을 끌어내는 과정, $3e^4 = \left( 2x-1 \right)e^{2x}$에서 $x=2$를 끌어내는 과정을 명쾌하게 설명하기는 어렵습니다. 그러나 지금 본문의 요지는 이러한 방정식의 해결이 아니므로 이 부분은 넘어갑시다. \[\begin{align*} \int_{t=e^2}^{t=3e^4} x dt &= \int_{t=e^2}^{t=3e^4} \left\{ x \times \left( 4x e^{2x} \right) \right\} dx\\ &=\int_{x=1}^{x=2}4x^2 e^{2x}dx \\ &=\inti{\left( 4x^2 \cdot \dfrac{1}{2}e^{2x} \right) }{1}{2} - \int_{1}^{2} {\left( 8x \cdot \dfrac{1}{2}e^{2x} \right) dx}\\ &=\left( 8e^4 - 2e^2 \right) - \left( \inti{8x\cdot\dfrac{1}{4}e^{2x}}{1}{2} - \int_{1}^{2}\left\{ 8 \cdot\left( \dfrac{1}{4}e^{2x} \right) \right\}dx \right) \\ &= 8e^4 - 2e^2 - \left( 4e^4 - 2e^2\right) + (e^4 - e^2) = 5e^4 - e^2 \end{align*}\] 이처럼 역치환적분을 이용하면 변수 사이의 관계가 복잡해보이는 적분도 무리 없이 처리할 수 있습니다.

어려운 부분적분

앞서 배운 어려운 적분들은 출제 가능한 상황을 미리 대비하거나 새로운 테크닉을 배운 것이었습니다. 그런데 어려운 부분적분은 성격이 전혀 다릅니다. 어려운 부분적분은 단순 암기⁹만으로는 해결되지 않으며, 미분과 적분의 모든 논리를 총동원해야 가까스로 해결할 수 있을 만큼 어렵게 출제될 수 있습니다. 어떠한 경우가 있는지 알아봅시다.

식변형을 요구하는 경우

부분적분에서 피적분함수식을 그대로 이용하지 않고 약간 변형해야 하는 경우가 있습니다. 이러한 경우, 문제의 조건을 이용하기 위해 식을 변형하는 과정을 거치고 나면, 변형된 식에서 미분하기 쉬운 $u$와 적분하기 용이한 $v$가 등장하게 됩니다.

예를 들어 문제에 주어진 도함수 조건을 이용하기 위해 식을 변형하여 $u$를 얻으면, 식의 나머지 부분은 $v$가 됩니다. 마찬가지로 문제에 주어진 원시함수 조건을 이용하기 위해 식을 변형하여 $v$를 얻으면, 식의 나머지 부분은 $u$가 됩니다.

$v$를 적분하는 과정에서 치환적분이 쓰이는 경우

부분적분에서 $v$를 적분할 때 치환적분이 쓰일 수도 있음에 주의합시다. 이는 단순히 주어진 식에서 치환적분꼴을 발견하는 것에 그치지 않고, `치환적분꼴이 등장하도록 식변형을 하는 경우'도 존재할 수 있음을 암시합니다. 즉 주어진 피적분함수에서 합성함수꼴이 등장했다면, 합성함수의 속함수의 도함수를 곱하고 나누는 행위를 통해 비로소 $v$에 해당하는 `적분이 용이한 함수'를 치환적분꼴로 만들어낼 수도 있다는 것입니다. 이러한 경우, 부분적분을 해야 하는 문제가 맞다는 전제 하에, 피적분함수의 나머지 부분은 $u$가 되어 미분이 용이한 형태로 맞추어질 수밖에 없습니다.

예시를 통해 이해하기

다음의 예제를 풀어봅시다. 어려운 부분적분을 연습해보기 좋은 문제입니다.

(가) 조건에서는 $\dfrac{f\left( x \right) }{x}$의 도함수가 $x^2 e^{-x^2}$임을 알려주고 있습니다. (나) 조건에서는 $g\left( x \right) $가 정적분으로 정의되어 있으므로, $\int_{1}^{x} e^{t^2}f\left( t \right) dt$를 계산해볼 필요가 있습니다. 그런데 피적분함수에서 치환적분꼴은 보이지 않으며, $f(t)$를 직접 구하여 계산하기는 쉽지 않아보입니다. 피적분함수가 두 함수의 곱으로 이루어져 있으니 부분적분꼴임을 추정할 수 있지만, $e^{t^2}$과 $f(t)$의 곱으로 보기엔 $f(t)$의 원시함수와 도함수를 모두 모르고, $e^{t^2}$은 도함수만 알고 있으므로 `써야 할 테크닉이 부분적분인 것을 파악했음에도 불구하고, 정작 부분적분을 어떻게 할지 감을 잡을 수 없는' 상황을 맞이하게 됩니다.

그런데 (가) 조건에서 $\dfrac{f\left( x \right) }{x}$의 도함수를 알려주었고, $\int_{1}^{x} e^{t^2}f\left( t \right) dt$의 피적분함수에 $f\left( t \right) $가 있는데, (가) 조건을 이용하기 위해 $\int_{1}^{x} te^{t^2}\dfrac{f\left( t \right) }{t} dt$로 변형했을 때 부분적분꼴이 나타난다면, 즉 $te^{t^2}$의 원시함수를 알 수 있다면 $u=\dfrac{f\left( t \right) }{t}$, $v=te^{t^2}$으로 두는 부분적분을 시도해 볼 만합니다. 이때 $te^{t^2}$은 치환적분꼴이므로 $\int te^{t^2} dt = \dfrac{1}{2}e^{t^2}+C$와 같이 원시함수를 구할 수 있습니다. 그 다음으로 $\int u'Vdt$를 해결해야 합니다. $u' = t^2 e^{-t^2}$, $V = \dfrac{1}{2}e^{t^2}$이므로 $u'V = \dfrac{t^2}{2}$이 되어 $\int u'Vdt$가 계산 가능함을 확인할 수 있습니다. 지금까지 살펴본 바에 따라 $u=\dfrac{f\left( t \right) }{t}$, $v=te^t$로 두고 부분적분을 수행하면 다음과 같습니다. \[\begin{align*} \int_1^x \dfrac{f\left( t \right) }{t}te^{t^2}dt &= \inti{\dfrac{f\left( t \right) }{t}\times\dfrac{1}{2}e^{t^2}}{1}{x} - \int_{1}^{x}\left( \dfrac{f\left( t \right) }{t} \right)'\times\dfrac{1}{2}e^{t^2} dt\\ &= \dfrac{e^{x^2}f\left( x \right) }{2x} - \dfrac{1}{2} - \int_{1}^{x} \dfrac{t^2}{2} dt \\ &= \dfrac{e^{x^2}f\left( x \right) }{2x} - \dfrac{1}{3} - \dfrac{x^3}{6} \end{align*}\] 한편 $g\left( x \right) = \dfrac{4}{e^4}\left\{ \dfrac{e^{x^2}f\left( x \right) }{2x} - \dfrac{1}{3} - \dfrac{x^3}{6} \right\} $이므로, $f\left( 2 \right) $와 $g\left( 2 \right) $에 관한 정보를 얻기 위해 $x=2$를 대입하면 다음과 같습니다. \[\begin{align*} g\left( 2 \right) = \dfrac{4}{e^4}\left\{ \dfrac{e^4}{4}f\left( 2 \right) - \dfrac{5}{3}\right\} = f\left( 2 \right) - &\dfrac{20}{3e^4} \\ &\therefore f\left( 2 \right) - g\left( 2 \right) = \dfrac{20}{3e^4} \end{align*}\] \qedmark

이 풀이에 대해 `떠올릴 수 없다'거나, `실전적이지 않다'거나, `개연성이 부족하다'고 주장하는 사람들이 있습니다. 이러한 주장을 하는 것은 부분적분의 기본 아이디어에 대한 이해 없이 단순히 부분적분을 공식으로만 암기했기 때문입니다. 지금까지 공부한 바와 같이 어떤 테크닉을 써야하는지를 잘 판단하고 부분적분 주의사항에 충분히 유의한다면, 풀이에서와 같이 자연스럽게 문제를 해결할 수 있을 것입니다. 이런 실력을 쌓을 때까지 필요한 것은 오직 부단한 연습뿐입니다.

대칭성을 이용한 정적분 : 지금까지의 이야기와는 별개의 새로운 이야기

대칭성을 이용하여 정적분을 계산해야 하는 경우가 있습니다. 공통적으로 다음의 식을 이용하는 것입니다.¹⁰ \[\begin{align*} \int_{a}^{b}f\left( x \right) dx &= \int_{a}^{b}f\left( a+b-x \right) dx \\ &=-\int_{a}^{b}\left\{ -f\left( a+b-x \right) \right\} dx \end{align*}\] 이러한 정적분은 수능에 잘 출제되지 않았습니다. 그 이유는, 이러한 대칭성을 이용한 적분에 `(정)적분이면서 (부정)적분을 전혀 사용하지 않는 특성'이 있기 때문으로 추정됩니다.

일반적인 정적분은 정적분의 계산을 물음과 동시에 부정적분을 할 줄 아는지를 물을 수 있습니다. 이에 반해, 대칭성을 이용한 정적분은 부정적분보다는 `대칭성의 발견과 활용'의 측면이 강조되어 있어 아무래도 출제자 입장에서 중요도가 낮을 수밖에 없습니다. 그러나 교육과정 내의 내용이므로 얼마든지 출제될 수 있는 내용이기도 합니다.

그러므로 대칭성을 이용한 적분문제는 지금까지 배웠던 모든 테크닉을 동원해도 해결되지 않을 수도 있습니다. 지금까지 배운 테크닉들은 원시함수를 구하기 위함이었지, 정적분을 구하기 위한 것이 아니기 때문입니다. 대칭성을 이용한 적분은 원시함수를 구하지 않고도 정적분을 구하므로, 만약 아무리 고민해도 적분이 해결되지 않는다면 대칭성을 이용한 정적분을 떠올려봅시다.

대칭성을 이용한 적분을 시도할 만한 대표적인 경우는 다음과 같습니다.¹¹\hcn3의 경우, $a^{-x}$를 소거하기 위해 분모분자에 $a^x$를 곱하고, 원래의 피적분함수와 변형된 피적분함수를 더했을 때 간단한 함수가 나타나는 경우가 많습니다.

적분구간이 $-a$부터 $a$까지인 경우
삼각함수가 주어지고 대칭적인 적분구간이 주어진 경우
분수식에 지수함수가 포함된 경우

예시를 통해 이해하기

$\int_{-2}^{2} \dfrac{x^2}{1+e^x}dx = S$를 계산해봅시다. $x=-t$로 치환하면 $1=-\dfrac{dt}{dx}$에서 $dx=-dt$이므로 주어진 정적분은 다음과 같습니다.¹²

\[\begin{align*} \int_{x=-2}^{x=2} \dfrac{x^2}{1+e^x}dx = \int_{t=2}^{t=-2}\dfrac{t^2}{1+e^{-t}}\left( -dt \right) &= \int_{-2}^{2}\dfrac{t^2}{1+e^{-t}}dt\\ &= \int_{-2}^{2}\dfrac{x^2}{1+e^{-x}}dx\\ &= S \end{align*}\] 이때 $\dfrac{x^2}{1+e^{-x}}$를 간단히 나타내기 위하여 분모와 분자에 $e^x$을 곱하면 $\dfrac{x^2}{1+e^{-x}}=\dfrac{x^2e^x}{e^x+1}$입니다. 그런데 이 식은 원래의 정적분의 피적분함수인 $\dfrac{x^2}{1+e^x}$와 서로 더했을 때 $x^2$이 되므로 다음이 성립합니다. \[\begin{align*}2S = \int_{-2}^{2}\dfrac{x^2}{1+e^x}dx + \int_{-2}^{2}\dfrac{x^2}{1+e^{-x}}dx = \int_{-2}^{2}x^2dx = \dfrac{16}{3} \end{align*}\] 따라서 $S=\dfrac{8}{3}$입니다. \qedmark

다음 정적분의 값을 구하시오.

$\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\dfrac{\sin^3 x}{\cos^3x+\sin^3 x}dx$
$\int_{0}^{\tfrac{\pi}{4}}\ln\left( 1+\tan x \right)dx$
$\int_{0}^{\pi}\dfrac{e^{\cos x}}{1+ e^{\cos x}}dx$

1. 이를 `평행이동과 좌우 신축'이 치환적분의 과정에서 수행하는 계산에 반영된다고 해석할 수도 있습니다.
2. 물론 치환적분꼴이기는 하지만, 적분은 언제나 생각하기 나름입니다. 계산만 할 수 있다면요.
3. 호기심이 있는 학생은 미분형식(differential Form)에 대한 다음의 글을 읽어보시면 됩니다.
\includegraphics[scale=0.2]DBs/pic/QR_1.pdf
4. 왜 여기서 부정적분이 아닌 정적분인지는 곧 설명할 것입니다.
5. 이를 조각역함수라고 부를 수 있습니다.
6. $\CCI{p}{q}$에서 $x=a\sin\theta$, $x=a\tan\theta$의 역함수가 존재할 때
7. 미분하면 $\COI{0}{\infty}$에서 증가함을 알 수 있습니다.
8. 사실 옆의 정적분의 계산에서 아래끝과 위끝을 구할 때 $e^2=\left( 2x-1 \right) e^{2x}$에서 $x=1$을 끌어내는 과정, $3e^4 = \left( 2x-1 \right)e^{2x}$에서 $x=2$를 끌어내는 과정을 명쾌하게 설명하기는 어렵습니다. 그러나 지금 본문의 요지는 이러한 방정식의 해결이 아니므로 이 부분은 넘어갑시다.
9. 로다삼지, 지삼다로 등으로 무엇을 미분하고 무엇을 적분할지 순서를 외우는 것을 말합니다.
10. 첫번째 등호는 치환적분으로 쉽게 증명할 수 있고, 두 함수가 $x=\frac{a+b}{2}$에 대하여 선대칭임을 이용해서 기하학적으로 설명할 수도 있습니다. 두번째 등호는 정적분의 안팎에 $-1$을 하나씩 곱한 것입니다.
11. \hcn3의 경우, $a^{-x}$를 소거하기 위해 분모분자에 $a^x$를 곱하고, 원래의 피적분함수와 변형된 피적분함수를 더했을 때 간단한 함수가 나타나는 경우가 많습니다.
12. 마지막에 적분변수만 $x$로 바꿔넣는 것은 $\begin{aligned}\!\!\! \!\!\!\int_{a}^{b}f\left( x \right) dx = \int_{a}^{b}f\left( y \right) dy \end{aligned}$와 같이 함수식과 적분변수를 모두 바꾼 경우 두 정적분이 서로 같음을 이용한 것입니다.