미적분 > 함수의 극한과 수열의 극한
용어 : 수열의 극한
$n \to \infty$의 의미
자연수 $n$이 한없이 커지는 것을 무한대 기호를 이용하여 $n \to \infty$라 표기합니다. 이때 기호 $\to$는 `화살표' 또는 `...로 간다'라고 읽으며, $n \to \infty$는 `엔이 무한대로 갈 때'라고 읽습니다.수열의 극한
수열의 수렴과 극한
자연수 $n$이 한없이 커질 때 수열 $\left\{ a_n \right\} $의 일반항 $a_n$의 값이 일정한 실수 $\alpha$에 한없이 가까워지면 `수열 $\left\{ a_n \right\} $은 $\alpha$에 수렴한다'고 합니다. 이때 $\alpha$를 수열 $\left\{ a_n \right\} $의 극한값 또는 극한이라 합니다. 또한 이러한 상황을 표현하기 위해 등식을 이용하여 $\lim_{n \to \infty}a_n = \alpha$라 표기합니다. 이때 기호 $\lim$은 `리미트' 또는 `극한'이라고 읽으며, 이 식은 `리미트 엔이 무한대로 갈 때 에이 엔은 알파'라고 읽습니다. 이러한 상황을 `$n \to \infty$일 때 $a_n \to \alpha$'라 나타내기도 합니다.수열의 발산
수열 $\left\{ a_n \right\} $이 수렴하지 않을 때, `수열 $\left\{ a_n \right\} $은 발산한다'고 합니다. 발산은 `방향성을 띠며 발산하는 경우'와 `진동하면서 발산하는 경우'로 나뉩니다.방향성을 띠며 발산($\infty$ 또는 $-\infty$로 발산)
만약 $n \to \infty$일 때 $a_n \to \infty$이면 수열 $\left\{ a_n \right\} $이 양의 무한대로 발산한다고 하며, $\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$라 표기합니다. 만약 $n \to \infty$일 때 $a_n \to -\infty$이면 수열 $\left\{ a_n \right\} $이 음의 무한대로 발산한다고 하며, $\lim_{n \to \infty} a_n = -\infty$라 표기합니다.
{$\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$, $\lim_{n \to \infty} a_n = -\infty$는 등식일까?}
우리는 일반적인 교육과정에서 실수(가끔 복소수까지)에 대한 등식만을 다룹니다. 그런데 $\infty$는 실수가 아니므로, 주어진 식은 등식이 아닙니다. 이러한 표현은 등식의 표현 방법만 빌렸을 뿐임을 주의해야 합니다. 다만 발산하는 수열에서와 달리, 수렴하는 수열에 대하여 극한값을 등호를 이용하여 표현할 때에는 좌변과 우변이 모두 실수이므로 등식이 맞습니다.진동하는 발산
수렴하지 않으면서 양의 무한대로도 발산하지 않고, 음의 무한대로도 발산하지 않는 경우는 `진동한다'고 합니다. 두 가지의 예시를 살펴보겠습니다.
수열 $\left\{ \left( -1 \right)^n \right\} $의 일반항 $a_n$의 값은 $-1$, $1$이 계속 번갈아 나타나므로 수렴하지 않습니다. 또한 양의 무한대로 발산하지도 않고, 음의 무한대로 발산하지도 않습니다.
수열 $\left\{ \left( -1 \right)^nn \right\} $의 일반항 $a_n$의 값은 $-1$, $2$, $-3$, $4$와 같이 나타나므로 수렴하지 않습니다. 또한 양의 무한대로 발산하지도 않고, 음의 무한대로 발산하지도 않습니다.
수렴하는 수열의 극한에 대한 기본 성질
수렴하는 극한에 대한 기본 성질 수렴하는 두 수열 $\left\{ a_n \right\} $, $\left\{ b_n \right\} $에 대하여 $\lim_{n \to \infty}a_n = \alpha$, $\lim_{n \to \infty}b_n = \beta$일 때, 다음이 성립합니다.- $\lim_{n \to \infty}\left( a_n + b_n \right) = \lim_{n \to \infty}a_n + \lim_{n \to \infty}b_n = \alpha + \beta$
- $\lim_{n \to \infty}\left( a_n - b_n \right) = \lim_{n \to \infty}a_n - \lim_{n \to \infty}b_n = \alpha - \beta$
- $\lim_{n \to \infty}\left( ka_n \right) = k\lim_{n \to \infty}a_n = k\alpha$ (단, $k$는 상수)
- $\lim_{n \to \infty}a_n b_n = \left( \lim_{n \to \infty}a_n \right) \times \left( \lim_{n \to \infty}b_n \right) = \alpha \beta$
- $\lim_{n \to \infty}\dfrac{a_n}{b_n}= \dfrac{\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n}{\displaystyle\lim_{n \to \infty}b_n} = \dfrac{\alpha}{\beta}$ (단, $b_n \ne 0$, $\beta \ne 0$)
수열의 극한의 대소관계
수열의 극한의 대소관계 수렴하는 두 수열 $\left\{ a_n \right\} $, $\left\{ b_n \right\} $에 대하여 $\lim_{n \to \infty}a_n = \alpha$, $\lim_{n \to \infty}b_n = \beta$일 때, 다음이 성립합니다.- 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n \le b_n$이면 $\alpha \le \beta$이다.
- 수열 $\left\{ c_n \right\} $이 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n \le c_n \le b_n$을 만족시키고 $\alpha=\beta$이면 $\lim_{n \to \infty}c_n = \alpha$이다.
등비수열의 극한
등비수열의 극한 등비수열 $\left\{ r^n \right\} $의 극한은 $r$의 값에 따라 다음과 같습니다.- $r>1 $일 때, $\lim_{n \to \infty}r^n = \infty$
- $r=1 $일 때, $\lim_{n \to \infty}r^n = 1$
- $-1<r<1 $일 때, $\lim_{n \to \infty}r^n = 0$
- $r \le -1$일 때, 진동
급수
급수의 정의
수열 $\left\{ a_n \right\}$의 각 항을 덧셈 기호 $+$로 연결한 식 $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n + \cdots$을 급수라고 하고, 이때 $a_n$을 `급수의 제$n$항'이라고 합니다. 급수는 $\sum$ 기호를 이용하여 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$라 표기합니다. 이때 기호 $\sum$은 `시그마' 또는 `합'이라고 읽으며, 이 식은 `시그마 엔은 일부터 무한대까지 에이 엔'이라고 읽습니다. 한편 급수에서 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 `급수의 제$n$항까지의 부분합'이라고 하며, 이를 수식으로 나타내면 다음과 같습니다. \[\begin{align*}S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots +a_n = \sum_{k=1}^{n}a_k\end{align*}\]급수의 수렴과 발산
일반항이 급수의 부분합인 수열 $\left\{ S_n \right\} $의 극한값이 $S$일 때, 즉 \[\begin{align*}\lim_{n \to \infty}S_n = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}a_k = S\end{align*}\]일 때, $S$를 급수의 합이라 하고, $\sum_{n=1}^{\infty}a_n=S$라 표기합니다.1동일한 상황을 $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots=S$라 표기할 수 있지만, 본문의 표현이 더 널리 쓰입니다.수열 $\left\{ S_n \right\} $이 수렴하지 않으면 `급수는 발산한다'고 하며, 그 합은 생각하지 않습니다.
`급수'와 `수열의 극한'의 관계
급수와 수열의 극한의 관계 급수 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$이 수렴하면 $\lim_{n \to \infty}a_n = 0$입니다. 이 명제의 역은 성립하지 않습니다.급수의 성질
급수의 성질 두 급수 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$, $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$이 수렴할 때, 다음이 성립합니다.- $\sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n+b_n \right)= \sum_{n=1}^{\infty}a_n + \sum_{n=1}^{\infty}b_n $
- $\sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n - b_n \right) = \sum_{n=1}^{\infty}a_n - \sum_{n=1}^{\infty}b_n$
- $\sum_{n=1}^{\infty}ka_n = k\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ (단, $k$는 상수)
등비급수의 수렴과 발산
급수에서 수열이 등비수열인 경우를 등비급수라 합니다. $a\ne 0$인 상수 $a$에 대하여 등비급수 $\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}$은 $\abs{r}<1$이면 수렴하고 그 합은 $\dfrac{a}{1-r}$입니다. $\abs{r}\ge 1$이면 발산합니다. 이때 $\abs{r}$는 `절댓값 알'이라고 읽습니다.- 1. 동일한 상황을 $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+\cdots=S$라 표기할 수 있지만, 본문의 표현이 더 널리 쓰입니다.