미적분 > 함수의 극한과 수열의 극한

원리 : 등비급수와 도형 문제의 해법

전형적인 상황

기본적인 접근법

등비급수와 도형을 엮어 출제할 때에는 등비급수의 값이 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n = \dfrac{a_1}{1-r}$이므로 $a_1$과 $r$을 찾으면 답을 구할 수 있습니다. 이때 첫째 항 $a_1$의 값은 특정 도형의 길이, 둘레, 넓이 등이므로 직접 구하여 얻을 수 있고, 공비 $r$은 $r=\dfrac{a_2}{a_1}$이므로 $a_2$를 찾으면 얻을 수 있습니다.

공비를 구하는 지름길

공비 $r$을 구할 때 $\dfrac{a_2}{a_1}$을 이용하는 것보다 효율적인 방법이 있습니다. 바로 동일한 도형의 개수가 늘어나는지를 확인하여 그 양상을 파악하고, 큰 도형과 작은 도형 사이의 닮음비를 구하고, 개수의 비와 닮음비를 이용하여 공비 $r$을 간접적으로 구하는 것입니다. 요약하면, $r$은 다음을 통하여 구할 수 있습니다. \[\begin{align*} r &= \left( \text{개수의 비} \right) \times \left( \text{도형의 비} \right) \\ &=\left( \text{개수의 비} \right) \times\left( \text{닮음비} \right) ^n \end{align*}\] 이때 도형의 비란, 도형의 길이를 구하는 경우 길이의 비를 말하고, 도형의 넓이를 구하는 경우 넓이의 비를 말합니다. 이때 $n$은 도형의 차원입니다. 변의 길이, 둘레 등의 $1$차원 도형의 경우 $n=1$이고, 넓이와 같은 $2$차원 도형의 경우 $n=2$입니다.
개수가 늘어나지 않는 경우 : $r= \left( \text{도형의 비} \right) =\left( \text{닮음비} \right) ^n$
도형의 개수가 매번 늘어나지 않는 경우, 도형의 비만 구하면 $r$을 구할 수 있는데, 도형의 비는 닮음비만 알면 구할 수 있습니다.

닮음비는 곧 길이의 비로써 정의됩니다. 따라서 길이의 급수를 구할 때 닮음비를 $1:k$로 나타내면1$3:2$이면 $1:\dfrac{2}{3}$이므로 $k=\dfrac{2}{3}$이고, $4:3$이면 $1:\dfrac{3}{4}$이므로 $k=\dfrac{3}{4}$입니다. $r=k$입니다.

한편 서로 닮은 도형의 넓이의 비는 닮음비의 제곱과 같으므로, 넓이의 급수를 구할 때에는 닮음비를 $1:k$로 나타낸 후 $k$를 제곱하면 $r$를 얻을 수 있습니다. 이는 삼각형의 넓이가 $\dfrac{1}{2}\left( 가로 \right) \times\left( 세로 \right) $로 정의되는데, 닮음 관계에서는 가로와 세로가 모두 $k$배 되기 때문에 넓이가 $k^2$배 되는 것으로 설명할 수 있습니다. 다각형은 삼각형 $\left( n-2 \right) $개로 나뉘는 것을 통해 동일하게 설명할 수 있고, 원의 넓이, 부채꼴의 넓이, 활꼴의 넓이 등도 반지름이 $r$일 때 $r^2$에 대한 식으로 표현되므로 동일하게 설명할 수 있습니다.
개수가 늘어나는 경우 : $r=\left( \text{개수의 비} \right)\times \left( \text{도형의 비} \right) $
도형의 개수가 매번 늘어나는 경우, 닮음비 외에도 추가적으로 개수의 비를 곱해주어야 합니다. 길이의 급수를 구할 때에는 $r=\left( \text{개수의 비} \right)\times \left( \text{닮음비} \right)$이고, 넓이의 급수를 구할 때에는 $r=\left( \text{개수의 비} \right)\times \left( \text{닮음비} \right)^2$입니다.

변칙적인 상황

전형적인 상황에서 전제했던 아래의 세 가지 중 하나 이상이 결여된 경우를 다루어 보겠습니다.
  1. 각 도형이 닮음 관계이다
  2. 넓이를 항상 더한다
  3. 넓이는 작아진다

닮음 관계가 아닌 경우

1) 가로도 일정 비율로 줄고 세로도 일정 비율로 줄지만, 각각의 비율이 다르다
닮음 관계에서는 모든 길이가 동일하게 $k$배되기 때문에 넓이가 $k^2$배되었습니다. 그러나 만약 그림과 같이 가로는 $a$배, 세로는 $b$배된다면 넓이는 $a^2$배나 $b^2$배가 아닌 $ab$배가 되므로 공비는 $ab$입니다.
2) 닮음과 무관한 경우
그림과 같이 $a_1=1$이고, $a_{n+1}$의 값은 $a_{n}$의 면적의 $\dfrac{2}{3}$인 경우를 생각해 보겠습니다. 가로의 축소 비율과 세로의 축소 비율이 모두 일정하지 않지만, 항상 면적은 $\dfrac{2}{3}$배 되고 있으므로 닮음비와 무관하게 공비가 $\dfrac{2}{3}$임을 알 수 있습니다.

더했다 뺐다 더했다 뺐다

도형이 분명히 줄긴 줄어드는데, 더했다 뺐다 더했다 뺐다를 번갈아 반복하는 경우가 있습니다. 이러한 상황에서는 공비에 $\left( -1 \right) $을 곱해주어서 빼는 경우는 빼고 더하는 경우에는 더하도록 공비를 맞추어주면 좋습니다.

넓이는 커지지만, 역수의 급수를 구해라

$a_1<a_2<a_3< \cdots$인 경우를 제시한 후 $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{a_n}$을 구하라고 하는 경우도 있습니다. 이러한 경우 수열 $\left\{ \dfrac{1}{a_n} \right\} $의 초항과 공비가 각각 수열 $\left\{a_n\right\} $의 초항의 역수, 공비의 역수임을 이용하면 편리합니다.
  1. 1. $3:2$이면 $1:\dfrac{2}{3}$이므로 $k=\dfrac{2}{3}$이고, $4:3$이면 $1:\dfrac{3}{4}$이므로 $k=\dfrac{3}{4}$입니다.