용어 : 초월함수의 극한과 도함수

지수함수와 로그함수의 극한

$e$의 정의

$\mathbb R-\{0\}$을 정의역으로 하는¹$0$이 아닌 실수를 정의역으로 하는 함수 $\left( 1+\frac{1}{x} \right)^x$에 대하여, $\lim_{x \to \infty}\left( 1+\frac{1}{x} \right)^x$가 $2.71828\cdots$로 수렴함이 알려져 있습니다. 그 값을 $e$라고 약속합니다.²이 함수와 값의 의미에 대해서는 수능에서 다루지 않지만, 의미가 궁금한 학생은 아래의 QR코드의 영상을 참고하시기 바랍니다.

\includegraphics*[scale=0.05]pic/qrcode_12.png

지수함수와 로그함수의 극한

지수함수 $e^x$와, 밑을 $e$로 하는 로그함수 $\log_e x = \ln x$에 대하여 다음이 성립합니다. \[\begin{align*} \lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=1, \qquad \lim_{x \to 0}\frac{\ln\left( 1+x \right) }{x}=1 \end{align*}\] 이에 대한 설명은 원리파트에서 다룹니다.

삼각함수

사인함수의 극한

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$이 성립합니다. 이에 대한 설명은 원리파트에서 다룹니다.

삼각함수의 덧셈정리

다음을 삼각함수의 덧셈정리라 합니다. (복부호 동순)³부호가 겹쳐 있을 때에는 같은 순서대로 읽습니다. 예를 들어 $ \sin(\alpha\pm\beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$는 다음의 두 식을 함께 표시한 것입니다. \[\begin{align*} &\sin(\alpha+\beta)\\ &= \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\\ &\sin(\alpha-\beta)\\ &= \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta \end{align*}\]

지수함수, 로그함수, 사인함수, 코사인함수의 도함수

위에서 배운 극한과 덧셈정리를 도함수의 정의에 적용하면 다음을 얻습니다. \[\begin{alignat*}{3} \left( e^x \right) ' & = e^x\qquad &&\left( \sin x \right) ' &&= \cos x\\ \left( \ln x \right)'&=\frac{1}{x} \qquad &&\left( \cos x \right) ' &&= -\sin x \end{alignat*}\]

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1. 1. $0$이 아닌 실수를 정의역으로 하는
2. 2. 이 함수와 값의 의미에 대해서는 수능에서 다루지 않지만, 의미가 궁금한 학생은 아래의 QR코드의 영상을 참고하시기 바랍니다.
   \includegraphics*[scale=0.05]pic/qrcode_12.png
3. 3. 부호가 겹쳐 있을 때에는 같은 순서대로 읽습니다. 예를 들어 $ \sin(\alpha\pm\beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$는 다음의 두 식을 함께 표시한 것입니다. \[\begin{align*} &\sin(\alpha+\beta)\\ &= \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\\ &\sin(\alpha-\beta)\\ &= \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta \end{align*}\]