미적분 > 함수의 극한과 수열의 극한

원리 : 지수로그삼각함수의 극한

지수로그삼각함수 극한의 대전제

지수함수, 로그함수, 삼각함수는 정의역에서 연속함수임을 증명 없이 받아들이기로 합시다. 삼각함수, 지수함수, 로그함수에 대한 세 가지 기본극한인 $\lim_{x \to 0}\dfrac{e^x -1}{x} = 1$, $\lim_{x \to 0}\dfrac{\ln\left( 1+x \right) }{x} = 1$, $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} =1$을 숙지해야 합니다.1기본극한이라고 해서 모두 증명 없이 받아들이는 것은 아닙니다. 유리함수의 극한인 $\lim_{x \to \infty}\dfrac{1}{x}=0$은 증명 없이 받아들이지만, 삼각함수는 도형과 대칭성으로, 지수함수와 로그함수는 수식으로 증명합니다.

기본극한의 증명

$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$ : 도형을 이용하여 증명

삼각함수는 도형에서 비롯된 함수이므로, 삼각함수의 기본 극한을 증명할 때 도형을 이용하는 것은 자연스럽습니다. 도형을 이용하여 $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$를 증명해봅시다.

우선 $\dfrac{\sin x}{x}$가 짝함수이므로 $y$축에 대하여 대칭입니다. 따라서 $\lim_{x \to 0+}\dfrac{\sin x}{x }= \lim_{x \to 0-}\dfrac{\sin x}{x}$가 성립하므로, 2수식으로는 다음과 같이 $-x=t$로 치환한 후 $x \to 0-$이면 $t \to 0+$임을 이용하여 보일 수 있습니다. $\begin{aligned} \lim_{x \to 0-}&\dfrac{\sin x}{x}\\ &= \lim_{t \to 0+}\dfrac{\sin\left( -t \right) }{-t}\\ &= \lim_{t \to 0+}\dfrac{-\sin t}{-t}\\ &= \lim_{t \to 0+}\dfrac{\sin t}{t}\\ &= \lim_{x \to 0+}\dfrac{\sin x}{x} \end{aligned}$ 이때 마지막 등호는 치환이 아닌, 맑은개념 수학 I \& 수학 II의 Basic 2)에서 배웠던 `변수 교체'임을 주의합시다. $\lim_{x \to 0+}\dfrac{\sin x}{x}=1$만 증명하면 됩니다.

위 그림과 같이 반지름이 $1$이고 중심각이 $x$(라디안)인 부채꼴 $\mrm{AOB}$를 생각합시다. $\mrm{A}$에서 $\ovr{OB}$에 내린 수선의 발을 $\mrm{H}$라 할 때, 반지름이 $\ovr{OH} = \cos x$이고 중심각이 $x$인 부채꼴 $\mrm{IOH}$를 잡을 수 있습니다. 그러면 부채꼴 $\mrm{AOB}$의 넓이가 삼각형 $\mrm{AOH}$의 넓이보다 크고, 삼각형 $\mrm{AOH}$의 넓이가 부채꼴 $\mrm{IOH}$의 넓이보다 크므로 다음과 같은 부등식을 얻습니다. \[\begin{gather*} \dfrac{1}{2}\left( \cos x \right)^2\cdot x < \dfrac{1}{2}\cdot1\cdot\cos x\cdot \sin x < \dfrac{1}{2}\cdot1^2\cdot x \end{gather*}\] 이때 $x>0$, $\cos x \ne 0$이므로 각 변에 $\dfrac{2}{x\cos x}$를 곱하면 $\cos x < \dfrac{\sin x}{x} < \dfrac{1}{\cos x}$이고, 함수의 극한의 대소관계에 의해 $1 \le \lim_{x \to 0+}\dfrac{\sin x}{x} \le 1$이므로 $\lim_{x \to 0+}\dfrac{\sin x}{x}= 1$입니다.

$\lim_{x \to 0}\dfrac{e^x -1}{x}=1$과 $\lim_{x \to 0}\dfrac{\ln\left( 1+x \right) }{x} = 1$ : `치환'과 `합성된 연속함수의 해석'으로 증명

$\lim_{t \to 0}\dfrac{1}{\ln\left( 1+t \right)^{\tfrac{1}{t}}} = \dfrac{1}{\ln e}$가 성립하는 이유에 대해 교과서에서는 설명이 없으므로, 맑은개념 수학 I \& 수학 II에서 배운 `극한 계산의 대전제'를 이용하여 $\lim_{x \to 0}\dfrac{e^x -1}{x}=1$를 증명해봅시다.

$\lim_{x \to 0}\dfrac{e^x - 1}{x}$에서 $e^x - 1 = t$로 치환하면3식의 특정 부분을 $t$로 치환한 것입니다. $x=\ln\left( 1+t \right) $이고, 이를 이용하여 주어진 식을 적절히 변형하면 다음과 같다. \[\begin{align*} \lim_{x \to 0}\dfrac{e^x - 1}{x} = \lim_{t \to 0}\dfrac{t}{\ln\left( 1+t \right) } = \lim_{t \to 0}\dfrac{1}{\dfrac{1}{t}\ln\left( 1+t \right) }= \lim_{t \to 0}\dfrac{1}{\ln\left( 1+t \right)^{\tfrac{1}{t}}} \end{align*}\] 이때 $\lim_{t \to 0}\left( 1+t \right)^{\tfrac{1}{t}} = e$임은 알려져 있으므로, 함수 $f\left( t \right) $를 다음과 같이 설정하면 $f\left( t \right) $는 $t=0$에서 연속인 함수이다. \[\begin{align*} f\left( t \right) = \begin{cases} \left( 1+t \right)^{\tfrac{1}{t}} & \left( t \ne 0 \right) \\ e& \left( t = 0 \right) \\ \end{cases} \end{align*}\] 이제 주어진 극한은 $\lim_{t \to 0}\dfrac{1}{\ln f\left( t \right) }$이다. 이때 $f\left( t \right) $는 $t=0$에서 연속이고, $\ln t$는 $t=e$에서 연속이므로 `합성된 연속함수의 해석'에 의하여 다음과 같다. \[\begin{align*} \lim_{t \to 0}\ln f\left( t \right) = \ln\left( \lim_{t \to 0}f\left( t \right) \right) = \ln e = 1 \end{align*}\] 따라서 $\lim_{x \to 0}\dfrac{e^x -1 }{x } = \lim_{t \to 0}\dfrac{1}{\ln f\left( t \right) } = \dfrac{1}{1} = 1$이다.

다양한 극한의 풀이법

$e$의 정의 : 식변형과 치환을 통해 정의꼴을 만들자

$\lim_{x \to 0}\left( 1+x \right)\expo{\tfrac{1}{x}} = e$, $\lim_{x \to \infty}\left( 1+ \dfrac{1}{x} \right)^x = e$는 증명 없이 받아들입니다. 지수법칙을 이용하여 적절히 식을 변형하고 특정한 식을 $t$로 치환하면 기본꼴을 만들 수 있습니다.

$\lim_{x \to 0}$, $\lim_{x \to a}$ 계산하기

지수함수의 경우 $\lim_{x \to 0}$은 기본극한을 이용하여 대전제에 의해 풀이합니다. $\lim_{x \to a}$의 경우, 단순히 기본극한을 평행이동한 꼴을 출제하는 경우가 많습니다. 이를테면 $\lim_{x \to 1}\dfrac{a^{x-1}-1}{x-1}$와 같은 꼴입니다.

로그함수의 경우, $x \to 0+$이면 $a$의 값에 따라 $\log_a x \to -\infty$ 또는 $\log_a x \to \infty$이므로 분모에 들어가는 경우 외에는 잘 다루지 않습니다.4$\lim_{x \to 0}\dfrac{\ln\left( 1+x \right) }{x}$는 로그의 진수 $1+x$의 입장에서는 $0$으로 갈 때의 극한이 아닌 $1$로 갈 때의 극한입니다. 따라서 `로그함수의 극한에서 $x \to 0+$인 경우를 잘 다루지 않는다'는 본문 서술과 모순되지 않습니다. $\lim_{x \to a}$의 경우, 단순히 기본극한을 평행이동한 꼴을 출제하는 경우가 많습니다. 이를테면 $\lim_{x \to 1}\dfrac{\ln x}{x-1}$와 같은 꼴입니다.

삼각함수의 경우 지수함수와 로그함수와 거의 유사하지만, 삼각함수에서만 볼 수 있는 특별한 상황이 세 가지 있습니다.

기본극한의 응용
$\dfrac{\tan x}{x}$, $\dfrac{1-\cos x}{x^2}$, $\dfrac{\tan x - \sin x}{x^3}$와 같은 기본극한의 응용 꼴이 자주 나옵니다. 각각의 값이 $1$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$임을 기억함은 물론, 이를 유도하는 방법을 익혀야 합니다.

일차함수에 삼각함수를 취한 상황(속함수가 일차함수, 겉함수가 삼각함수)
$\sin \left( \dfrac{\pi}{4}-x \right) $와 같은 경우입니다. 이럴 때에는 속함수인 일차함수를 $t$로 치환5주로 $t=\dfrac{\pi}{2}-x$, $t=\dfrac{\pi}{3}-x$, $t=\dfrac{\pi}{4}-x$, $t=\dfrac{\pi}{6}-x$ 등으로 치환하게 됩니다.하거나, 대칭성이나 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 극한을 해결할 수 있습니다.
불연속점에서의 극한
정수 $n$에 대하여 $\tan x$, $\sec x$는 $x=n\pi+\dfrac{\pi}{2}$에서 정의되지 않고, $\cot x$, $\csc x$는 $x=n\pi$에서 정의되지 않는 불연속점이 있습니다. 불연속점 $x=a$에 대한 $\lim_{x\to a-}$, $\lim_{x\to a+}$, $\lim_{x\to a}$을 묻는 경우가 있으므로, 치환을 이용하여 극한을 적절히 계산하면 됩니다.

$\lim_{x\to \infty}$, $\lim_{x \to -\infty}$ 계산하기

지수함수의 경우, $a>1$이면 $\lim_{x \to \infty} a^x = \infty$, $\lim_{x \to -\infty} a^x = 0$이고, $0<a<1$이면 $\lim_{x \to \infty} a^x = 0$, $\lim_{x \to -\infty} a^x = \infty$임을 적절히 이용하여 계산합니다.

로그함수의 경우, $a>1$이면 $\lim_{x \to \infty} \log_a{x} = \infty$이고, $0<a<1$이면 $\lim_{x \to \infty} \log_a{x} = -\infty$임을 적절히 이용하여 계산합니다.

삼각함수의 경우 $x\to \infty$, $x \to -\infty$일 때 진동하므로 단독으로 극한값을 구하기보다는 $\dfrac{\cos x}{x}$와 같이 진동하며 $0$으로 수렴하는 꼴의 극한을 물어볼 수 있습니다.

지수함수, 다항함수, 로그함수의 특별한 관계

극한 $\lim_{x \to 0+} x\ln x$를 구하려 함수 $x\ln x$를 구성하는 $x$와 $\ln x$의 극한을 조사하면, $\lim_{x \to 0+}x = 0$, $\lim_{x \to 0+}\ln x = -\infty$이므로 수렴하는 극한이 아니기 때문에 곱해서 구할 수 없고, 의미상으로도 $0$으로 가려는 $x$와 $-\infty$로 가려는 $\ln x$가 서로 상충되어 극한을 알 수가 없습니다.

그러나 결론만 말하자면, $x$가 $\ln x$에 곱해지면 $x$의 영향력이 $\ln x$보다 강하여 극한값이 $x$에 의해 결정됩니다. 즉 $\lim_{x \to 0+} x \ln x = 0$입니다. 실제로 $y=x\ln x$의 그래프는 위 그림과 같습니다.

이는 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{x^n}{e^x} = 0 $(단, $n$은 자연수), $\lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$에서도 마찬가지입니다. 전자는 $e^x$의 영향력이 $x^n$보다 강해서, 후자는 $x$의 영향력이 $\ln x$보다 강해서 영향력이 강한 함수에 의해 극한값이 결정됩니다.

이렇게 지수함수, 다항함수, 로그함수의 극한에서 서로의 방향이 상충될 때, 즉 하나는 $0$으로 향하고 나머지 하나는 $\pm\infty$로 향할 때, 아래의 순서에 따라 영향력이 강한 함수가 극한값을 결정합니다.6각각은 로그함수, 다항함수, 지수함수를 대표하며, $\ll$은 좌변이 우변보다 훨씬 작다는 의미입니다. \[\begin{align*} \ln x \ll x^n \ll e^x \end{align*}\] 이 내용은 교과서도 증명 없이 사용하므로, 결과만 기억하여 활용하면 됩니다.

  1. 1. 기본극한이라고 해서 모두 증명 없이 받아들이는 것은 아닙니다. 유리함수의 극한인 $\lim_{x \to \infty}\dfrac{1}{x}=0$은 증명 없이 받아들이지만, 삼각함수는 도형과 대칭성으로, 지수함수와 로그함수는 수식으로 증명합니다.
  2. 2. 수식으로는 다음과 같이 $-x=t$로 치환한 후 $x \to 0-$이면 $t \to 0+$임을 이용하여 보일 수 있습니다. $\begin{aligned} \lim_{x \to 0-}&\dfrac{\sin x}{x}\\ &= \lim_{t \to 0+}\dfrac{\sin\left( -t \right) }{-t}\\ &= \lim_{t \to 0+}\dfrac{-\sin t}{-t}\\ &= \lim_{t \to 0+}\dfrac{\sin t}{t}\\ &= \lim_{x \to 0+}\dfrac{\sin x}{x} \end{aligned}$ 이때 마지막 등호는 치환이 아닌, 맑은개념 수학 I \& 수학 II의 Basic 2)에서 배웠던 `변수 교체'임을 주의합시다.
  3. 3. 식의 특정 부분을 $t$로 치환한 것입니다.
  4. 4. $\lim_{x \to 0}\dfrac{\ln\left( 1+x \right) }{x}$는 로그의 진수 $1+x$의 입장에서는 $0$으로 갈 때의 극한이 아닌 $1$로 갈 때의 극한입니다. 따라서 `로그함수의 극한에서 $x \to 0+$인 경우를 잘 다루지 않는다'는 본문 서술과 모순되지 않습니다.
  5. 5. 주로 $t=\dfrac{\pi}{2}-x$, $t=\dfrac{\pi}{3}-x$, $t=\dfrac{\pi}{4}-x$, $t=\dfrac{\pi}{6}-x$ 등으로 치환하게 됩니다.
  6. 6. 각각은 로그함수, 다항함수, 지수함수를 대표하며, $\ll$은 좌변이 우변보다 훨씬 작다는 의미입니다.