미적분 > 함수의 극한과 수열의 극한

이해 : 함수의 극한과 도형 문제의 해법

논증기하 : 기본적인 접근법

좌표평면이 도입되지 않은 논증기하적 상황에서, 삼각함수 극한과 도형을 엮은 문제는 극한 계산의 측면과 기하의 측면으로 나뉩니다. 각각의 측면에서의 기본기를 알아봅시다.

극한 계산의 측면

기본극한과 치환으로 계산

원리파트에서 배운 대로, $\dfrac{\sin x}{x}$와 같은 기본극한, $\dfrac{\tan x}{x}$, $\dfrac{1-\cos x}{x^2}$, $\dfrac{\tan x - \sin x}{x^3}$와 같은 기본극한의 응용, 불연속점

고급 치환 : 미분계수의 정의

치환을 요구하는 복잡한 극한은 대부분 미분계수의 정의인 $\lim_{b \to a}\dfrac{f\left( b \right) -f\left( a \right) }{b-a}$꼴로 해석할 수 있습니다. 이를테면 $\lim_{x \to \tfrac{\pi}{4}}\dfrac{\tan\left( \qfrac{\pi}{2}- x \right)- 1 }{x-\qfrac*{\pi}{4}}$는 다음과 같이 해석할 수 있습니다.¹ \[\begin{align*} \lim_{x \to \tfrac{\pi}{4}}\dfrac{\tan\left( \qfrac{\pi}{2}- x \right)- 1 }{x-\qfrac*{\pi}{4}} &=\lim_{x \to \tfrac{\pi}{4}} \dfrac{\tan\left( \qfrac{\pi}{2}- x \right)- \tan\qfrac{\pi}{4}}{-\left\{ \left( \qfrac*{\pi}{2}-x \right) -\qfrac*{\pi}{4} \right\} } =-\tan'\left( \frac{\pi}{4} \right) = -\sec^2\dfrac{\pi}{4} = -1 \end{align*}\]