Algebra) 함수의 응용과 함수로서의 수열 > 지수로그함수

지수함수와 로그함수 다시 살펴보기

지수함수 다시 살펴보기

일반적으로 $a$가 $1$이 아닌 양수일 때, 임의의 실수 $x$에 대하여 $a^x$의 값은 하나로 정해집니다. 따라서 $x$에 $a^x$의 값을 대응시키는 함수 $y=a^x$를 생각할 수 있습니다. 이 함수를 `$a$를 밑으로 하는 지수함수'라고 합니다.1앞으로 지수함수를 언급할 때 밑인 $a$를 $1$이 아닌 양수인 것으로 생각하기로 합시다. 지수함수의 정의역은 실수 전체의 집합이고, 치역은 양의 실수 전체의 집합입니다.

지수함수는 기준선 $y=1$, 기준점 $\xy01$, 가로점근선 $y=0$을 생각하자

기준선 $y=1^x$, 다시 말해 $y=1$
지수함수는 $1$이 아닌 양수 $a$에 대하여 $y=a^x$입니다. 지수함수의 정의를 보면, 양수 중에서 $1$만 빼고 논하고 있으므로, 그 이유를 알아봅시다.

$y=1^x$라는 함수를 생각해봅시다. 이 함수는 식의 꼴은 지수함수처럼 보이지만, $y=1$과 동일한 함수이므로 상수함수입니다. 그래서 지수함수의 밑 조건이 $a>0$이고 $a\ne 1$인 것입니다.

한편 이 함수의 그래프는 모든 지수함수를 구별짓는 결정적인 기준선의 역할을 하게 되는데, 그 이유는 뒤에서 설명합니다. 다음과 같은 네 실수 $a$, $b$, $c$, $d$를 생각하여 논의할 것입니다.2$\dfrac{1}{x}$은 감소함수입니다. 따라서 $b<a$에서 $\dfrac{1}{b}>\dfrac{1}{a}$이므로, $c>d$임을 알 수 있습니다. 아래 박스에서 이에 대해 자세히 설명합니다. \[\begin{align*} 0<d<c<1<b<a, \quad c=\frac{1}{b},\quad d=\dfrac{1}{a} \end{align*}\]

부등식의 방향 변화는 감소함수를 취할 때 나타난다.

$y=-x$는 감소함수이므로 감소함수의 정의에 의해
$x_1 <x_2$이면 $-x_1 > -x_2$
가 성립합니다. 마찬가지로 $0<d<c<1$인 상수 $c$, $d$에 대하여 $y=c^x$와 $y=d^x$는 감소함수이므로
$x_1 < x_2$이면 $c^{x_1} > c^{x_2}$
$x_1 < x_2$이면 $d^{x_1} > d^{x_2}$
가 성립합니다. 이외에도 맑은개념에서는 아직 배우지 않았지만, 밑이 $m$이고 $0<m<1$인 로그함수 $y=\log_m x$도 감소함수이므로 $x_1<x_2$이면 $\log_m x_1 > \log_m x_2$이 성립합니다.

이처럼 부등식의 양변에 $(-1)$을 곱하거나, 양변에 역수를 취하거나, 밑이 $0<m<1$인 지수나 로그를 취하여 부등호의 방향을 바꾸는 것은, 모두 감소함수의 정의에 의한 것입니다. 같은 내용을 Graph 3)에서 배운 `취하다'로 설명하면, 양변에 함수 $-x$, $\frac{1}{x}$, $m^x$, $\log_m x$를 취한 것이라 볼 수 있습니다.

그래프가 그려질 수 있는 영역의 후보, 그리고 그래프가 항상 지나는 기준점
우선 지수함수의 밑의 값에 관계없이 지수함수의 함숫값은 항상 $0$보다 크므로, 적어도 색칠된 영역에 지수함수의 그래프가 그려질 것이라 예상할 수 있습니다.
또한 $x=0$일 때 $a^0=b^0=1=c^0=d^0$이므로 네 함수 $y=a^x$, $y=b^x$, $y=c^x$, $y=d^x$는 모두 동일한 점 $\xy01$을 지납니다. 따라서 모든 지수함수의 그래프는 기준선 위의 한 점 $\xy01$을 지나며, 이를 기준점이라 부르기로 합시다.
기준선 $y=1$에 따라 그려지는 영역의 제한, 그리고 기준선과 평행한 가로점근선 $y=0$
다음과 같은 사실이 알려져 있습니다. \[\begin{alignat*}{3} \lim_{x \to \infty}a^x &= \infty,\quad\lim_{x \to \infty} &&b^x &&= \infty\\ \lim_{x \to -\infty}a^x &= 0,\quad \lim_{x \to -\infty}&&b^x &&= 0 \end{alignat*}\]

수학 I에서 극한은 아직 배우지 않았는데, 극한을 지수함수에 쓸 수 있나요?

극한과 점근선의 관계를 배우고 나면 지수함수를 잘 설명할 수 있습니다. 그래서 교과서의 순서와 달리, Basic 2)에서 극한을 먼저 배우고, Algebra 1)에서 극한을 이용하여 설명하는 것입니다.
이때 $x=-t$로 치환하고 계산하면 다음을 얻습니다.3중간 과정은 다음과 같습니다. 먼저 $x=-t$로 치환하여 아래의 식을 얻습니다. $\begin{alignedat}{5} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\lim_{t \to -\infty}&d^t &&= \infty,&&\lim_{t \to -\infty} &&c^t &&= \infty\\ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\lim_{t \to \infty}&d^t &&= 0, &&\lim_{t \to \infty}&&c^t &&= 0 \end{alignedat}$ 그 뒤 변수만 바꾼 극한인 $\lim_{x \to \bigstar} f(x) = \lim_{t \to \bigstar}{f(t)}$가 서로 같음을 이용하고, 식의 순서를 알파벳순으로 맞추어주기 위하여 수식의 위치를 위아래와 좌우로 한 번씩 바꾸면 본문의 식을 얻을 수 있습니다. \[\begin{alignat*}{4} \lim_{x \to \infty}c^x &=0, \quad&&\lim_{x \to \infty} &&d^x &&= 0\\ \lim_{x \to -\infty}c^x &= \infty,\quad &&\lim_{x \to -\infty}&&d^x &&= \infty \end{alignat*}\] 따라서 지수함수의 밑과 $1$의 대소관계에 관계없이 지수함수의 그래프는 가로점근선 $y=0$을 가진다는 사실을 알 수 있습니다.

한편 위 내용을 바탕으로, 지수함수의 그래프가 그려질 수 있는 영역을 확인할 수 있습니다. 밑이 $1$보다 클 때는 (a)와 같고, 밑이 $0$과 $1$사이일 때에는 (b)와 같습니다.

그리고 임의의 실수 $\alpha$에 대하여, 지수함수가 $x=\alpha$에서 수렴하도록 잘 정의되어 있음이 알려져 있습니다. 밑의 값에 관계 없이, 지수함수의 그래프는 그림과 같이 연속이고 아래로 볼록합니다.4교과서에서 연속과 볼록성을 논하지 않고 있지만, 연속임을 자연스럽게 사용하고 있고, 우리는 Graph에서 볼록을 직관적으로 받아들이기로 약속했습니다.

잠깐만요. 이 부분, 교과서는 어떻게 설명했었죠?

교과서에서는 수렴이란 용어를 사용하지 않고,
$x$가 어떤 값으로 한없이 가까워질 때 $a^x$가 어떤 값으로 한없이 가까워진다
와 같이 간접적으로 수렴 개념을 사용해 설명합니다. 예를 들어, $\sqrt{2}=1.4142\cdots$에 대하여 $2^{\sqrt2}$을 다음과 같이 설명합니다. \[\begin{align*} 2^{1.4}&=2.6390\cdots, 2^{1.41}=2.6573\cdots, 2^{1.414}=2.6647\cdots, 2^{1.4142}=2.6651\cdots\\ 2^{\sqrt{2}}&= 2.66514414269022518865029724987313984827421\cdots\text{인 비순환소수.} \end{align*}\] 함수의 극한과 수렴은 수학 II 과정이므로, 수학 I에서는 아직 배우지 않은 내용입니다. 그래서 수학 I에서 무리수 지수에 대한 지수함수의 함숫값을 설명할 때, 극한과 수렴이라는 용어를 사용할 수 없기 때문에, 그 개념을 간접적으로 사용한 것입니다. 그러므로 미적분 미선택자는 가볍게 받아들이고 넘어가면 되고, 미적분 선택자는 맑은개념 미적분의 부록에서 이에 대한 논리를 보강할 수 있습니다.
$x>0$일 때 네 함수 $a^x$, $b^x$, $c^x$, $d^x$의 비교
$x>0$일 때, $a^x > b^x > 1 > c^x > d^x$입니다. 이를 시각적으로 이해하면 다음과 같습니다.
  1. 지수함수의 밑이 $1$보다 크면 $x>0$에서 기준선 위쪽 영역에 그려지고, $1$보다 작으면 기준선과 점근선 사이에 그려진다.
  2. 지수함수에서 밑의 값이 $1$에 가까울수록 $x>0$에서 기준선에 더 가까워지는 모습으로 그려지고, $1$과 멀어질수록 기준선과 더 멀어지는 모습으로 그려진다.
  3. 지수함수의 밑의 값이 $1$과 가까울수록 $y$축과 먼 모습으로 그려지고, $1$과 멀어질수록 $y$축과 가까운 모습으로 그려진다.
$x<0$일 때 네 함수 $a^x$, $b^x$, $c^x$, $d^x$의 비교
$x<0$일 때, $a^x < b^x < 1 < c^x < d^x$입니다. 이를 시각적으로 이해하면 다음과 같습니다.
  1. 지수함수의 밑이 $1$보다 크면 기준선과 점근선 사이에 그려지고, $1$보다 작으면 기준선 위쪽 영역에 그려진다.
  2. 지수함수에서 밑의 값이 $1$에 가까울수록 기준선에 가까워지고, $1$과 멀어질수록 기준선과 멀어진다.
  3. 지수함수의 밑의 값이 $1$과 가까울수록 $y$축과 먼 모습으로 그려지고, $1$과 멀어질수록 $y$축과 가까운 모습으로 그려진다.
$x=-1$과 $x=1$을 그려 위에서 설명한 그래프의 위치관계를 쉽게 이해할 수 있습니다.

로그함수

지수함수의 정의 다시 살펴보기

$a$가 $1$이 아닌 양수일 때, 함수 $y=a^x$를 `$a$를 밑으로 하는 지수함수'라고 합니다. 지수함수의 정의역은 실수 전체의 집합이고, 치역은 양의 실수 전체의 집합입니다.

$f\left( x \right)=a^x$인 지수함수 $y=f\left( x \right) $를 원함수로 하는 역함수 $x=f^{-1}\left(y\right)$

지수함수 $f\left( x \right) =a^x$은 실수 전체의 집합에서 양의 실수 전체의 집합으로의 일대일대응이므로 역함수를 갖습니다.5만약 지수함수의 공역이 실수 전체의 집합이라면 일대일대응이 아닌 일대일함수입니다. 본문에서는 지수함수의 공역을 양의 실수 전체의 집합으로 생각한 것입니다. 이제 $f\left( x \right) =a^x $를 원함수로 하는 역함수 $x = f^{-1}(y)$를 구해봅시다. 로그의 정의에 의하여 $y=a^x \Longleftrightarrow x=\log_a y$이므로 $f^{-1}\left( y \right) = \log_a y$입니다. 이때 $x$와 $y$는 원함수에서와 동일하므로 $x$는 모든 실수, $y$는 모든 양수입니다.

로그함수 : 지수함수 $y=f\left( x \right) $의 역함수 $y=f^{-1}\left(x\right)$

이제 $y$와 $x$의 자리를 서로 바꾸면 새로운 함수 $y=\log_a x$를 얻습니다. 이 새로운 함수에서 $x$는 모든 양수, $y$는 모든 실수입니다. 이렇게 얻은 함수 $y=\log_a x$를 `$a$를 밑으로 하는 로그함수'라 합니다.6앞으로 로그함수를 언급할 때 밑인 $a$를 $1$이 아닌 양수인 것으로 생각하기로 합시다.

로그함수는 지수함수의 역함수이므로, 지수함수의 정의역은 로그함수의 치역이고, 지수함수의 치역은 로그함수의 정의역입니다. 따라서 로그함수의 정의역은 양의 실수 전체의 집합이고, 치역은 실수 전체의 집합입니다.

지수함수와 로그함수는 서로 역함수 관계이므로 두 함수의 그래프는 직선 $y=x$에 대하여 대칭입니다. $a>1$이면 (a)와 같고, $0<a<1$이면 (b)와 같습니다.

로그함수 다시 살펴보기

다음과 같은 네 실수 $a$, $b$, $c$, $d$를 생각하여 논의할 것입니다. \[\begin{align*} 0<d<c<1<b<a, \quad c=\frac{1}{b},\quad d=\dfrac{1}{a} \end{align*}\]

로그함수는 세로점근선 $x=0$, 기준선 $x=1$, 기준점 $\xy10$을 생각하자

로그함수의 그래프는 지수함수의 그래프를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동하여 얻은 그래프입니다. 이떄 지수함수의 점근선도 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동되어 로그함수의 점근선이 됩니다. 따라서 로그함수의 세로점근선은 $x=0$입니다.
또한 지수함수의 기준선과 기준점도 평행이동에 의하여 로그함수의 기준선과 기준점이 됩니다. 지수함수의 그래프가 밑의 값에 관계없이 기준점 $\xy01$을 지나므로, 대칭이동된 로그함수의 그래프는 밑의 값에 관계없이 기준점 $\xy{1}{0}$을 지납니다. 이는 로그함수 $y=\log_m x$에서 $x=1$을 대입하면 $m$의 값에 관계없이 $\log_m 1 = 0$임을 통해서도 확인할 수 있습니다.
$x>1$일 때 네 함수 $\log_a x$, $\log_b x$, $\log_c x$, $\log_d x$의 비교
$x>1$일 때, $\log_c x < \log_d x < 0 < \log_a x < \log_b x$입니다. 이를 시각적으로 이해하면 다음과 같습니다.
  1. 로그함수의 밑이 $1$보다 크면 $x>1$에서 $x$축 위쪽 영역에 그려지고, $1$보다 작으면 $x$축 아래쪽 영역에 그려진다.
  2. 로그함수에서 밑의 값이 $1$에 가까울수록 그래프가 $0<x<1$에서 기준선과 가까워지고, $1$과 멀수록 그래프가 기준선과 멀어진다.
  3. 로그함수의 밑의 값이 $1$과 가까울수록 그래프가 $x$축과 멀어지고, $1$과 멀어질수록 그래프가 $x$축과 가까워진다.
$0<x<1$일 때 네 함수 $\log_a x$, $\log_b x$, $\log_c x$, $\log_d x$의 비교
$0<x<1$일 때, $\log_b x < \log_a x < 0 < \log_d x < \log_c x$입니다. 이를 시각적으로 이해하면 다음과 같습니다.
  1. 로그함수의 밑이 $1$보다 크면 음의 값을 갖고, $1$보다 작으면 양의 값을 가지며, 밑의 범위에 관계없이 기준선과 점근선 사이에 그려진다.
  2. 로그함수에서 밑의 값이 $1$에 가까울수록 그래프가 기준선에 가까워지고, $1$과 멀어질수록 그래프가 기준선과 멀어진다.
  3. 로그함수의 밑의 값이 $1$과 가까울수록 그래프가 $y$축과 먼 모습으로 그려지고, $1$과 멀어질수록 그래프가 $y$축과 가까워진다.

$x=c$나 $x=b$를 그려 위에서 설명한 그래프의 위치관계를 쉽게 이해할 수 있습니다.

밑의 변화에 따른 지수함수와 로그함수의 변화 : 언제 축에 더 가까워지는가

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지수함수와 로그함수의 위치관계 자세히 다루기

지수함수와 로그함수의 위치관계를 좀 더 자세히 살펴봅시다. $a>1$이면 $y=a^x$는 증가함수입니다. 역함수 $y=\log_a {x}$의 그래프와의 교점이 있다면 (a), (b)와 같이 항상 $y=x$ 위에 있습니다.7미적분 선택자들을 위해 답을 알려주자면, (a)일 때 $a=e\expo{\tfrac{1}{e}}$, (b)일 때 $1<a<e\expo{\tfrac{1}{e}}$입니다. (c)와 같이 교점이 없는 경우도 있습니다.

$0<a<1$이면 $y=a^x$는 감소함수이고 $\xy{0}{1}$, $\xy{1}{a}$를 항상 지나므로 사잇값 정리에 의해8함수 $a^x - x$를 생각하면 됩니다. 역함수 $y=\log_a{x}$의 그래프와의 교점이 $y=x$ 위에 항상 적어도 하나 존재합니다. $y=x$ 위에 있지 않은 교점이 있다면 (a)와 같이 교점이 세 개 존재하고, 그렇지 않다면 (b), (c)와 같이 교점이 $y=x$ 위에서만 오직 하나 존재합니다.9미적분 선택자들을 위해 답을 알려주자면, (a)일 때 $0<a<e^{-e}$, (b)일 때 $a=e^{-e}$, (c)일 때 $e^{-e}<a<1$입니다. (b)일 때 $y=a^x$와 $y=\log_a{x}$는 교점에서 접합니다.

(뒷 내용 예고) 지수함수와 등비수열의 관계

수열 $\left\{ r^n \right\} $의 모든 점은 $y=r^x$ 위의 점이고, 모든 등비수열은 $y=kr^x$의 꼴로 표현할 수 있습니다. 자세한 내용은 등비수열에서 다룹니다.
  1. 1. 앞으로 지수함수를 언급할 때 밑인 $a$를 $1$이 아닌 양수인 것으로 생각하기로 합시다.
  2. 2. $\dfrac{1}{x}$은 감소함수입니다. 따라서 $b<a$에서 $\dfrac{1}{b}>\dfrac{1}{a}$이므로, $c>d$임을 알 수 있습니다. 아래 박스에서 이에 대해 자세히 설명합니다.
  3. 3. 중간 과정은 다음과 같습니다. 먼저 $x=-t$로 치환하여 아래의 식을 얻습니다. $\begin{alignedat}{5} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\lim_{t \to -\infty}&d^t &&= \infty,&&\lim_{t \to -\infty} &&c^t &&= \infty\\ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\lim_{t \to \infty}&d^t &&= 0, &&\lim_{t \to \infty}&&c^t &&= 0 \end{alignedat}$ 그 뒤 변수만 바꾼 극한인 $\lim_{x \to \bigstar} f(x) = \lim_{t \to \bigstar}{f(t)}$가 서로 같음을 이용하고, 식의 순서를 알파벳순으로 맞추어주기 위하여 수식의 위치를 위아래와 좌우로 한 번씩 바꾸면 본문의 식을 얻을 수 있습니다.
  4. 4. 교과서에서 연속과 볼록성을 논하지 않고 있지만, 연속임을 자연스럽게 사용하고 있고, 우리는 Graph에서 볼록을 직관적으로 받아들이기로 약속했습니다.
  5. 5. 만약 지수함수의 공역이 실수 전체의 집합이라면 일대일대응이 아닌 일대일함수입니다. 본문에서는 지수함수의 공역을 양의 실수 전체의 집합으로 생각한 것입니다.
  6. 6. 앞으로 로그함수를 언급할 때 밑인 $a$를 $1$이 아닌 양수인 것으로 생각하기로 합시다.
  7. 7. 미적분 선택자들을 위해 답을 알려주자면, (a)일 때 $a=e\expo{\tfrac{1}{e}}$, (b)일 때 $1<a<e\expo{\tfrac{1}{e}}$입니다.
  8. 8. 함수 $a^x - x$를 생각하면 됩니다.
  9. 9. 미적분 선택자들을 위해 답을 알려주자면, (a)일 때 $0<a<e^{-e}$, (b)일 때 $a=e^{-e}$, (c)일 때 $e^{-e}<a<1$입니다. (b)일 때 $y=a^x$와 $y=\log_a{x}$는 교점에서 접합니다.