등차수열과 등비수열

등차수열은 일차함수이므로, 일차함수부터 되짚어보자

우리는 등차수열 $\left\{ a_n \right\} $의 일반항을 첫째항과 공차를 이용해 다음과 같이 표현합니다. \[\begin{align*} a_n = a_1 + \left( n-1 \right) d \end{align*}\] 이 식을 $n$에 대하여 정리하면 $a_n = dn + \left( a_1 - d \right) $이므로, 등차수열은 $n$에 대한 일차함수임을 알 수 있습니다. 따라서 일차함수부터 다시 살펴볼 필요가 있습니다.

일차함수의 성질 : 그래프가 직선이며, 직선 위의 두 점을 잡으면 기울기는 일정하다.

일차함수 $y=mx+k$ 위의 어느 두 점을 잡고 두 점을 지나는 직선의 기울기를 구하더라도 항상 그 값은 $m$입니다. 이는 두 점 사이의 거리를 가깝게 잡아도, 멀게 잡아도 항상 성립합니다.

등차수열의 기하학적 해석 : 점 $\xy{n}{a_n}$은 직선 $y=dx+k$ 위의 점이다.

$k=a_1 - d$라 하면, 그림과 같이 점 $\xy{n}{a_n}$은 항상 직선 $y=dx+k$ 위의 점입니다. 일차함수의 성질에 따르면 어느 두 점을 잡더라도 항상 기울기가 일정하며, 그 값은 바로 공차인 $d$입니다.따라서 그림과 같이 한 칸¹앞으로 항의 차이를 칸이라 부르기로 합시다. 차이 나는 두 항 $a_1$, $a_2$는 $d$만큼 차이가 나며, 두 칸 차이 나는 두 항 $a_2$, $a_4$는 $2d$만큼 차이가 납니다.

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등차중항의 해석 : 한 직선 위의 두 점의 중점은 직선 위에 있다.

등차중항은 등차수열의 의미 그 자체인 한 칸 차이 값은 $d$로 일정하다는 의미를 갖습니다. $a_n + a_{n+2}= 2a_{n+1}$을 변형하면 $a_{n+1} - a_n = a_{n+2} - a_{n+1}$이고, 좌변과 우변의 값은 $d$로 서로 같기 때문입니다. 등차중항을 기하학적으로 `직선 상의 두 점의 중점은 직선 위에 있다'고 해석할 수 있습니다. $\xy{n}{a_n}$과 $\xy{n+2}{a_{n+2}}$의 중점을 계산하면 다음과 같고, 실제 계산 결과가 기하학적 의미와 맞아떨어짐을 확인할 수 있습니다. \[\begin{align*} \xy{\dfrac{n+\left( n+2 \right) }{2}}{\dfrac{a_n + a_{n+2}}{2}} = \xy{n+1}{a_{n+1}} \end{align*}\]

등차중항의 응용 : 가상의 중항 $a_1 + a_4 = a_2 + a_3 = 2a_{2.5}(?)$

$\xy{n}{a_n}$이 한 직선 위의 점이라는 성질을 이용하면, 중항을 가상으로 만들 수도 있습니다. 일차함수 $y=f\left( x \right) $에 대하여 $f\left( n \right) =a_n$일 때, $a_1 + a_4 = a_2 + a_3 = 2f\left( 2.5 \right) $가 성립함을 이용하는 것입니다.

단 직선 위의 점 $\xy{2.5}{f\left( 2.5 \right)}$는 존재하더라도 $a_{2.5}$라는 표현은 존재하지 않으므로²수열은 정의역이 자연수인 함수이기 때문입니다. $a_1 + a_4 = a_2 + a_3 = 2a_{2.5}$라는 식은 정의되지 않습니다. 대신 그 의미를 살린 \[\begin{align*} a_1 + a_4 = a_2 + a_3 = 2c \end{align*}\] 를 이용할 수 있습니다. 가상의 중항인 $a_{2.5}$의 역할을 상수 $c$가 대체하는 것입니다.

이는 등차수열의 합공식을 해석하는 세 번째 방법인 $\left( \text{항의 갯수} \right) \times \left( \text{반 묶음의 값} \right) $ 아이디어에 그대로 활용됩니다. 자세한 내용은 `등차수열의 합 해석하기'에서 다룹니다.

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등차수열의 합 해석하기

등차수열의 합은 식을 보는 관점에 따라 세 가지로 해석할 수 있습니다.

수식적 해석

일반적인 수식적 해석입니다. \[\begin{align*} \dfrac{n\left( a_1 + a_n \right) }{2}=\dfrac{n\left( 2a+\left( n-1 \right) d \right) }{2}=\dfrac{n^2}{2}d + \left( a-\dfrac{d}{2} \right) n + {\color{cyan}0} \end{align*}\] 첫번째 식은 $a_1$과 $a_n$을 그대로 둔 것이고, 두번째 식은 $a_1=a$, $a_n = a+\left( n-1 \right)d $을 대입하고 정리한 것입니다. 세번째 식은 $n$에 관하여 나타낸 것인데, 등차수열의 합공식에서 상수항이 예외없이 $0$이라는 사실에 주목하게 해줍니다.³이 이차식은 $x$에 대한 식이 아니라 $n$에 대한 식이므로 미분할 수 없지만, 가상의 미분(?)으로 계산하면 $dn + a-\dfrac{d}{2}$가 나옵니다. 이 식에서 상수항만 적절히 $-\dfrac{d}{2}$하여 교정해주면 등차수열의 일반항을 구할 수 있습니다.

의미적 해석

의미적 해석 1 : $\dfrac{n}{2}\times\left( a_1+a_n \right) =\left( \text{묶음의 개수} \right) \times \left( \text{한 묶음의 값} \right) $

등차수열의 의미를 살린 첫번째 해석입니다. 가령 $1$부터 $100$까지의 $100$개의 수를 더한다면, 첫째항이 $1$이고 공차가 $1$인 등차수열을 제 $1$항부터 제 $100$항까지 더하는 상황이므로 $1+100$을 한 묶음이 $101$로 바라보고, 한 묶음은 두 항으로 이루어져 있으므로 묶음의 개수는 $\dfrac{100}{2}=50$개라고 생각하는 것입니다. 따라서 $50 \times 101 = 5050$을 얻습니다.

이때 한 묶음이 꼭 $a_1 + a_{100}$이어야 하는 것은 아닙니다. $a_1 + a_{100} = a_2 + a_{99} = \cdots = a_{50} + a_{51} $이므로, 어느 항으로든 묶음을 만들면 됩니다.

이 해석은 $n$이 짝수일 때에만 자연스럽게 이용이 가능합니다. $n$이 짝수가 아니면 묶음의 개수에 소수점이 나오기 때문입니다. 예를 들어 $1$부터 $99$까지의 합을 구할 때, $100$이 $49.5$개 있다고 해석하면 어색합니다.⁴물론 묶음 $0.5$개를 반묶음이라고 해석할 수는 있습니다. 그러면 $100\times 49.5 = 4950$으로 올바른 결과를 얻을 수 있습니다.

의미적 해석 2 : $n \times \dfrac{a_1 + a_n}{2}=\left( \text{항의 갯수} \right) \times \left( \text{반 묶음의 값} \right) $

등차수열의 의미를 살린 두번째 해석입니다. 가령 $1$부터 $100$까지의 $100$개의 수를 더한다면, 첫째항이 $1$이고 공차가 $1$인 등차수열을 제 $1$항부터 제 $100$항까지 더하는 상황이므로 $1+100$을 한 묶음인 $101$로 바라보고, 반 묶음의 값은 $\dfrac{101}{2}$이라고 생각하는 것입니다. 이때 `반 묶음의 개수'는 원래 항의 개수인 $100$과 같으므로, $\left( \text{항의 갯수} \right) \times \left( \text{반 묶음의 값} \right) = 100\times \dfrac{101}{2} = 5050$을 얻습니다.

마찬가지로, 이때 반 묶음이 꼭 $a_1 + a_{100}$을 이어야 하는 것은 아닙니다. $a_1 + a_{100} = a_2 + a_{99} = \cdots = a_{50} + a_{51} $이므로 어느 항으로든 묶음을 만들면 됩니다.

이 해석은 $n$이 짝수이든 홀수이든 언제나 어색하지 않게 사용할 수 있습니다. 예를 들어 $1$부터 $99$까지의 합을 구할 때, $50$이 $99$개 있다고 해석하면 매우 자연스럽습니다.

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등차중항을 이용한 해석 : 모든 항을 중항으로 바꾸기

등차수열의 합을 등차중항을 이용하여 다시 해석할 수 있습니다. $1$부터 $9$까지의 합은 등차중항인 $5$를 이용하여 각각의 항을 모두 다 $5$로 바꾼 후, 항의 개수인 $9$를 곱하여 $5\times 9 = 45$라 구하는 것입니다.이를 더 확장하면 등차중항의 응용인 `가상의 등차중항'으로도 해석해볼 수 있습니다. $1$부터 $8$까지의 합은 가상의 등차중항인 $4.5$를 이용하여 각각의 항을 모두 다 $4.5$로 바꾼 후, 항의 개수인 $8$을 곱하여 $4.5 \times 8 = 36$이라 구하는 것입니다.

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등비수열 1 : 등비수열은 등차수열의 곱하기 버전이다.

등차수열이 차례대로 $d$를 더해나간 수열이라면, 등비수열은 차례대로 $r$을 곱해나간 수열입니다. 따라서 등차수열에서 덧셈과 뺼셈으로 나타난 핵심 아이디어가 곱하기와 나누기를 통해 그대로 나타납니다.예를 들어, 등차수열에서 $2$칸 차이 나는 두 항은 $2d$만큼 더하거나 빼면 되었듯이, 등비수열에서 $2$칸 차이 나는 두 항은 $r^2$만큼 곱하거나 나누면 됩니다.

등비중항과 주의점

등차중항은 두 항을 더한 값이 중항의 두 배였지만, 등비중항은 두 항을 곱한 값이 중항의 제곱과 같습니다. 이 역시 등차수열의 덧셈과 뺄셈으로 나타난 핵심 아이디어가 곱하기와 나누기를 통해 그대로 나타난 결과입니다.

등비중항과 등차중항을 혼동하지 않도록 주의해야 합니다. 이를테면 등비수열 $\left\{ a_n \right\} $에 대하여 일반적으로 $a_6 + a_8 \ne 2a_7$입니다. 이런 등식이 성립하는 경우는 아주 특별한 경우입니다.

등비수열 2 : 공비가 양수인 등비수열은 지수함수이다.

등비수열 2-1 :수열 $\left\{ r^n \right\} $의 모든 점은 $y=r^x$ 위의 점이다.

초항과 공비가 같은 등비수열 $\left\{ r^n \right\} $이 나타내는 점 $\xy{n}{r^n}$은 모두 지수함수 $y=r^x$ 위의 점입니다. 이때 $r>1$이면 $\left\{ r^n \right\} $은 한없이 커지고, $0<r<1$이면 $\left\{ r^n \right\} $은 $0$보다 항상 크면서 $0$으로 한없이 다가갑니다.

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등비수열 2-2 : $y=kr^x$의 꼴로 표현할 수 있다.

등비수열의 일반항은 $a_n = ar^{n-1}$이므로 $\dfrac{a}{r} = k$라 하면 $a_n = kr^n$입니다.⁵전제에서 모든 항이 양수인 수열이었으므로, $k>0$입니다. 이때 그래프의 신축에 의해 $k$의 값에 따라 $k>1$이면 분홍색으로, $0<k<1$이면 회색으로 변형됩니다.

등비수열 2-3 : $y=r^{x+p}$ 꼴로 표현할 수 있다.

$a_n=kr^n$에서 로그의 정의에 의해 $k=r^{\log_r k}$이므로 $\log_r k = p$이라 하면 $kr^x = r^{x+p}$입니다. 이는 지수함수의 그래프를 $x$축 방향으로 $-p$만큼 평행이동한 함수라 해석할 수도 있고, 일차함수 $x+p$에 지수함수 $r^x$를 취한 것이라 생각할 수도 있습니다.

등비수열 2-4 : 모든 항이 양수인 등비수열에 로그를 취하면 등차수열이 된다.

$kr^x$나 $r^{x+p}$에 밑이 $r$인 로그를 취하면 각각 $x+\log_r k$와 $x+p$입니다. 따라서 일차함수가 나오므로 등비수열에 로그를 취하면 등차수열이 나옴을 알 수 있습니다. 밑이 $r$이 아닌 다른 로그를 취해도 등차수열이 됩니다.

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등비수열 3 : 공비가 음수인 등비수열은 두 함수 $y=kr^x$, $y=-kr^x$의 그래프를 번갈아 왔다갔다한다.

공비가 음수인 등비수열을 좌표평면에 나타내면 두 함수의 그래프 $y=kr^x$, $y=-kr^x$ 위를 번갈아 왔다갔다하는 형태를 띱니다.

등비수열 4 : 등비수열 $\left\{ r^n \right\} $은 로그함수에서도 등장한다.

등비수열 $\left\{ r^n \right\} $이 나타내는 점 $\xy{n}{r^n}$이 (a)와 같이 지수함수의 그래프 위에 나타났으므로, 로그함수에서는 $\xy{r^n}{n}$이 (b)와 같이 로그함수의 그래프 위에 나타나게 됩니다. 이 사실은 곧 다룰 `등비수열을 이용한 지수로그함수의 재해석'의 핵심 근거가 됩니다.

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등비수열의 합 해석하기

등비수열의 합 유도과정

등차수열은 등차중항을 이용하여 첫항과 끝항만 남겼지만, 등비수열은 곱으로 이루어져 있기에 새로운 방법을 써야 합니다. 바로 $S_n$에 $r$을 곱한 값을 생각하는 것입니다. \[\begin{alignat*}{8} S_n &= &&a_1 &&+ a_2 &&+ a_3 &&+ \cdots &&+a_{n-2} &&+a_{n-1} &&+a_n \\ rS_n&= r&&a_1 &&+ ra_2 &&+ ra_3 &&+ \cdots &&+ra_{n-2} &&+ra_{n-1} &&+ra_n \end{alignat*}\] 이때 $ra_n = a_{n+1}$이므로 $rS_n$을 다시 쓰면 다음과 같습니다. \[\begin{alignat*}{9} S_n &= &&a_1 + &&a_2 + &&a_3 + &&\cdots &&+a_{n-2} &&+a_{n-1} &&+a_n && \\ rS_n&= && &&a_2 + &&a_3 + &&\cdots &&+a_{n-2} &&+a_{n-1} &&+a_{n} &&+a_{n+1} \end{alignat*}\] 이때 변변 빼면 $\left( 1-r \right)S_n = a_1 - a_{n+1} = a\left( 1-r^n \right) $입니다. $r \ne 1$이면 $1-r$로 양변을 나눌 수 있고, 그러면 다음을 얻습니다.⁶한편 $r=1$일 때에는 $S_n = a+ a + \cdots + a = na$입니다. \[\begin{align*} S_n = \dfrac{a\left( 1-r^n \right) }{1-r} = \dfrac{a\left( r^n - 1 \right) }{r-1}=a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{n-1} \end{align*}\]

유도된 식의 재해석

우리가 얻은 마지막 등식에서 가장 오른쪽 등식에 주목해봅시다. $r^n -1$을 $r-1$로 나누면 $1+r+r^2 + r^3+ \cdots +r^{n-1}$이 된다는 것이므로, 역으로 $\left( r-1 \right) $과 $\left( 1+ r + r^2 + \cdots +r^{n-1} \right) $을 서로 곱하면 $r^{n} - 1$이 된다고 생각할 수도 있습니다. 이 사실을 안 상태에서 다시 $S_n$을 유도한다면, `$S_n$에 $r$을 곱하고 한 칸씩 밀어 서로 뺀 후 약분하는 과정'을 이용하지 않고도 $S_n$을 구할 수 있습니다.

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등비수열을 이용한 지수로그함수의 재해석 : 지수로그함수의 등비성

지수함수와 로그함수에서 모두 등비수열이 등장합니다. 이러한 지수로그함수의 성질을 등비성이라 부르기로 합시다.

지수함수의 등비성 : $x$가 $+n$되면 $y$가 $\times a^n$된다.

(a)와 같이 지수함수 $y=2^x$를 생각해봅시다. 이 함수 위의 임의의 점들은 $x$의 값이 $+1$되면 $y$의 값이 $\times 2$됩니다. 역으로, (b)와 같이 $y$의 값이 각각 $p$, $2p$이면 $x$값의 차이가 $1$임을 알 수 있습니다.

마찬가지로 $y=a^x$를 생각해봅시다. 이 함수 위의 임의의 점들은 $x$의 값이 $+1$되면 $y$의 값이 $\times a$됩니다. 역으로, (b)와 같이 $y$의 값이 각각 $p$, $ap$이면 $x$값의 차이가 $1$임을 알 수 있습니다.

이를 일반화하면 지수함수 $y=a^x$에서는 $x$가 $+n$되면 $y$가 $\times a^n$되며, 두 $y$가 $\times a^n$된 관계라면 $x$값의 차이가 $n$인 관계라고 일반화할 수 있습니다.

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로그함수의 등비성 : $x$가 $\times a^n$되면 $y$가 $+n$된다.

로그함수는 거꾸로입니다. (a)와 같이 로그함수 $y=\log_2 x$를 생각해봅시다. 이 함수 위의 임의의 점들은 $x$의 값이 $\times 2$되면 $y$의 값이 $+1$됩니다. 역으로, (b)와 같이 $y$의 값의 차이가 $1$이면 $x$값이 각각 $p$, $2p$임을 알 수 있습니다.

마찬가지로 $y=\log_a x$를 생각해봅시다. 이 함수 위의 임의의 점들은 $x$의 값이 $\times a$되면 $y$의 값이 $+1$됩니다. 역으로, (b)와 같이 $y$의 값의 차이가 $1$이면 $x$값이 각각 $p$, $ap$임을 알 수 있습니다.

이를 일반화하면 로그함수 $y=\log_a x$에서는 $x$가 $\times a^n$되면 $y$가 $+n$되며, 두 $y$의 차이가 $n$이라면 $x$값이 $\times a^n$인 관계라고 일반화할 수 있습니다.

평행이동과 등비성의 보존

우리가 지수함수라 부르는 꼴은 $y=a^x$이며, 지수함수를 평행이동한 $y=a^{x-p} + q$는 교과서 정의상 지수함수가 아닙니다. 로그함수 또한 $y=\log_a x$가 로그함수의 꼴이며, 로그함수를 평행이동한 $y=\log_a \left( x-p \right) +q$는 교과서 정의상 로그함수가 아닙니다.

이렇게 지수로그함수를 평행이동한 함수 중에서 어떤 함수가 지수로그함수의 등비성을 그대로 보존하는지 알아봅시다.

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지수함수는 $x$축 평행이동하면(또는 $y$에 $k$배하면) 등비성이 보존된다.

(a)와 같이 $y$축 방향으로 평행이동했을 때, 평행이동된 함수는 등비성을 잃습니다. 예를 들어 $y=2^x +1$에서 $\xy{0}{2}$, $\xy{1}{3}$을 생각하면 $x$가 $1$ 증가했지만 $y$가 $\times 2$ 되지 않음을 알 수 있습니다. 그런데 (b)와 같이 $x$축 방향으로 평행이동한 $y=2^{x-1}$은 등비성을 보존합니다. 두 점 $\xy{1}{1}$, $\xy{2}{2}$를 보면 등비성이 보존됨을 알 수 있습니다.⁷$x$가 $+1$되면 $y$가 $\times 2$됩니다.

따라서 $a^{x-p}$는 지수함수가 아님에도 등비성을 보존합니다. 그러나 $a^{x-p} + q$는 등비성을 보존하지 않습니다.

지수함수의 등비성 보존에서 특히 유의해야 할 것은 식의 꼴입니다. $ka^x = a^{x + \log_a k}$이므로 $x$축 평행이동이 식에 드러나지 않을 수 있습니다.⁸방금 다룬 $2^{x-1}$은 지수법칙에 의해 $\dfrac{1}{2}\times2^x$라 다시 쓸 수 있습니다. 따라서 $ka^x$꼴이 등비성을 보존한다고 외워두어도 좋습니다.

로그함수는 $y$축 평행이동하면(또는 $x$에 $k$배하면) 등비성이 보존된다.

(a)와 같이 $x$축 방향으로 평행이동했을 때, 평행이동된 함수는 등비성을 잃습니다. 예를 들어 $y=\log_2 \left( x+1 \right) $에서 $\xy{1}{1}$, $\xy{2}{\log_2 3}$을 생각하면 $x$가 $\times 2$되었지만 $y$가 $+1$ 되지 않음을 알 수 있습니다. 그런데 (b)와 같이 $y$축 방향으로 평행이동한 $y=1+\log_2 x $은 등비성을 보존합니다. 두 점 $\xy{1}{1}$, $\xy{2}{2}$를 보면 등비성이 보존됨을 알 수 있습니다.⁹$x$가 $\times 2$되면 $y$가 $+1$됩니다.

따라서 $q + \log_a x$는 로그함수가 아님에도 등비성을 보존합니다. 그러나 $\log_a \left( x-p \right) + q$는 등비성을 보존하지 않습니다.

로그함수의 등비성 보존에서 특히 유의해야 할 것은 식의 꼴입니다. $q+\log_a x = \log_a a^q x$이므로 $y$축 평행이동이 식에 드러나지 않을 수 있습니다.¹⁰방금 다룬 $1+\log_2 x$는 로그의 성질에 의해 $\log_2 2x$라 다시 쓸 수 있습니다. 따라서 $\log_a kx$꼴이 등비성을 보존한다고 외워두어도 좋습니다.

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1. 1. 앞으로 항의 차이를 칸이라 부르기로 합시다.
2. 2. 수열은 정의역이 자연수인 함수이기 때문입니다.
3. 3. 이 이차식은 $x$에 대한 식이 아니라 $n$에 대한 식이므로 미분할 수 없지만, 가상의 미분(?)으로 계산하면 $dn + a-\dfrac{d}{2}$가 나옵니다. 이 식에서 상수항만 적절히 $-\dfrac{d}{2}$하여 교정해주면 등차수열의 일반항을 구할 수 있습니다.
4. 4. 물론 묶음 $0.5$개를 반묶음이라고 해석할 수는 있습니다. 그러면 $100\times 49.5 = 4950$으로 올바른 결과를 얻을 수 있습니다.
5. 5. 전제에서 모든 항이 양수인 수열이었으므로, $k>0$입니다.
6. 6. 한편 $r=1$일 때에는 $S_n = a+ a + \cdots + a = na$입니다.
7. 7. $x$가 $+1$되면 $y$가 $\times 2$됩니다.
8. 8. 방금 다룬 $2^{x-1}$은 지수법칙에 의해 $\dfrac{1}{2}\times2^x$라 다시 쓸 수 있습니다.
9. 9. $x$가 $\times 2$되면 $y$가 $+1$됩니다.
10. 10. 방금 다룬 $1+\log_2 x$는 로그의 성질에 의해 $\log_2 2x$라 다시 쓸 수 있습니다.