합의 수열 $S_n$, 그리고 금단의 수열들

수열 $\left\{ a_n \right\} $의 제 $1$항부터 제 $n$항까지 모두 더한 것, 그러니까 $\sum_{k=1}^{n}a_k$를 $S_n$이라 정의합니다.

$S_n$으로 $a_n$ 찾기 : 합과 일반항의 관계

정의에 의해 $S_1 =\sum_{k=1}^{1} a_k= a_1$입니다. 한편 $S_n - S_{n-1}$를 계산하면 다음과 같습니다. \[\begin{align*} S_n - S_{n-1} &= \sum_{k=1}^{n}a_k - \sum_{k=1}^{n-1}a_k\\ &= a_n + \sum_{k=1}^{n-1}a_k - \sum_{k=1}^{n-1}a_k\\ & = a_n \end{align*}\] 단 이 식은 $n \ge 2$일 때에만 성립합니다. 수열 $\left\{ S_n \right\} $도 역시 정의역이 자연수인 함수이므로, $n=1$을 대입했을 때 등장하는 $S_0$은 정의되지 않기 때문입니다.¹그런데 $S_0$이 $0$인지의 여부는 결국 $S_n$에 $n=0$을 대입한 값이 $0$인지로 귀결됩니다. 이를 바탕으로 거꾸로 생각하면, $S_n$의 상수항이 $0$이라면 $S_1 - S_0 = a_1$이므로 $S_n - S_{n-1} = a_n$을 $n=1$일 때에도 확장할 수 있는 조건이 $S_0=0$이라고 생각할 수도 있습니다.

금단의 수열 (1) : 계차수열

다음과 같은 수열을 생각해봅시다. \[\begin{align*} 1, 2, 4, 7, 11, 16, \cdots \end{align*}\] 이 수열은 등차수열도 아니고 등비수열도 아닙니다. 그러나 각 항의 증가 추세, 달리 말하면 각 항의 차인 $a_{n+1} - a_{n}$를 보면 $+1$, $+2$, $+3$, $+4$, $+5$이므로 각 항의 차가 등차수열임을 알 수 있습니다. 이때 $b_n=a_{n+1} - a_{n}$을 생각할 수 있고, $\left\{ b_n \right\} $을 $\left\{ a_n \right\} $의 계차수열이라고 합니다. 이때 $a_n$의 일반항은 $a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}b_k$입니다. 몇가지 예시로 연습해보도록 합시다. 계차수열은 교육과정에서 제외된 내용이므로 직접 출제가 불가능합니다. 그럼에도 불구하고 계차수열을 배우고 언급하는 이유는, 계차수열이 간접적으로 출제될 수 있기 때문입니다.

$\left\{ S_n \right\} $도 수열로 해석할 수 있다.

$S_n$은 본래 수열 $\left\{ a_n \right\} $의 합을 나타내기 위한 식이었습니다. 하지만 $a_n$과 별개로 $\left\{ S_n \right\} $을 독립적인 수열로 생각해볼 수 있습니다. 등차수열 $\left\{ a_n \right\} $과 등비수열 $\left( b_n \right) $의 합의 수열을 각각 $S_n$, $T_n$이라 할 때, 다음을 알 수 있습니다.

1. 합과 일반항의 관계에 의해 $S_{n+1} - S_{n} = a_{n+1}$, $T_{n+1} - T_{n}=b_{n+1}$이다.
2. 계차수열의 정의에 의해 $\left\{ S_n \right\} $, $\left\{ T_n \right\} $의 계차수열은 각각 $\left\{ a_{n+1} \right\} $, $\left\{ b_{n+1} \right\} $이다.
3. 계차수열이 있는 수열의 일반항에 의해 다음이 성립한다. \[\begin{align*} S_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}a_{k+1},\quad T_n = b_1 +\sum_{k=1}^{n-1}b_{k+1} \end{align*}\]

따라서 근본적으로 `합의 수열'은 `계차수열이 원래 수열인 수열'입니다. 이때 계차수열은 교육과정 외이지만 `합의 수열'은 엄연히 교육과정 내의 수열임을 감안한다면, 만약 계차수열이 출제된다면 `합의 수열'일 가능성이 100\%라고 생각할 수 있습니다. 이때 계차수열은 등비수열이거나, $ak^3 + bk^2 + ck + d$ 꼴²등차수열은 일차함수이므로 $ck+d$가 됩니다.이거나, 식을 정리하고 전개하면 간단해지는 꼴³부분분수, 유리화, 로그 등을 이용해 하나의 식을 두 개 이상으로 분리한 뒤 중간 과정에서 대부분의 항을 지우는 꼴 등일 수 있습니다.

이 외에도 주기수열⁴주기수열이 무엇인지는 바로 아래에서 다룹니다.이 계차수열일 수는 있으나, 계차수열이 주기수열이면 원래의 수열도 특정한 주기성을 띨 것이므로, 이러한 경우에는 계차수열 대신 원래수열의 주기성으로 해결하는 것이 더 자연스럽습니다.

금단의 수열 (2) : 주기수열

주기적으로 특정한 값들이 반복되는 수열을 주기수열이라고 합니다. 이때 주기란 반복되는 값들을 묶을 수 있는 최솟값입니다. 주기수열 자체를 교육과정에서 직접적으로 다룬 적은 없습니다. 고등학생 정도의 사고력이라면 충분히 규칙성을 따질 수 있다고 판단해서인지 평가원은 주기가 $2$, $3$, $4$, $6$인 경우를 많이 출제해왔습니다.⁵수열을 배우기 앞서 주기함수인 삼각함수를 배우고, 수열은 곧 함수이니, 간접적으로 주기수열을 배웠다고 생각할 수도 있습니다. 그런데 삼각함수를 배우지 않고 수열을 배우던 시절에도 주기수열은 잘 출제되어 왔음을 생각하면, 본문 서술처럼 생각하는 것이 타당합니다.

금단의 수열 (3) : 군수열

특정한 그룹(군)으로 묶어나갔을 때 규칙성이 발견되는 수열을 군수열이라고 합니다. 군수열 자체에 어떤 특별한 개념이 있는 것은 아니다보니 얼마든지 간접출제될 수 있습니다만, 군수열 자체를 중요하게 다루는 문제를 출제할 수는 없습니다. 기본개념만으로 해결할 수 있게 출제하되, `다 풀고 나서 다시 보니 군수열로도 풀 수 있는' 문제를 출제할 수는 있습니다.

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1. 1. 그런데 $S_0$이 $0$인지의 여부는 결국 $S_n$에 $n=0$을 대입한 값이 $0$인지로 귀결됩니다. 이를 바탕으로 거꾸로 생각하면, $S_n$의 상수항이 $0$이라면 $S_1 - S_0 = a_1$이므로 $S_n - S_{n-1} = a_n$을 $n=1$일 때에도 확장할 수 있는 조건이 $S_0=0$이라고 생각할 수도 있습니다.
2. 2. 등차수열은 일차함수이므로 $ck+d$가 됩니다.
3. 3. 부분분수, 유리화, 로그 등을 이용해 하나의 식을 두 개 이상으로 분리한 뒤 중간 과정에서 대부분의 항을 지우는 꼴
4. 4. 주기수열이 무엇인지는 바로 아래에서 다룹니다.
5. 5. 수열을 배우기 앞서 주기함수인 삼각함수를 배우고, 수열은 곧 함수이니, 간접적으로 주기수열을 배웠다고 생각할 수도 있습니다. 그런데 삼각함수를 배우지 않고 수열을 배우던 시절에도 주기수열은 잘 출제되어 왔음을 생각하면, 본문 서술처럼 생각하는 것이 타당합니다.