합의 수열과 그래프 해석

일반적인 합의 수열

어떤 수열 $\left\{ a_n \right\} $의 합의 수열을 $\left\{ S\left( n \right) \right\} $이라 할 때, $S_n = f\left( n \right) $이고 $y=f\left( x \right) $가 그림과 같으면 합의 수열의 점 $\xy{n}{S\left( n \right) }$은 모두 $y=f\left( x \right) $ 위의 점입니다. 이를 하나하나 해석해봅시다.

우선 (a)와 같이 $a_1 = f\left( 1 \right) $입니다. 그리고 $n \ge 2$일 때에는 수열의 합과 일반항의 관계에 의해 $a_n = f\left( n \right) -f\left( n-1 \right) $이므로 인접한 수열 $\left\{ f\left( n \right) \right\} $의 점의 $y$값의 차이에 부호를 붙인 값이 $a_n$이 됩니다. 이때 $a_n$의 부호는 $f\left( n \right) $과 $f\left( n-1 \right) $의 대소관계에 따라 정해집니다.¹$f\left( n \right) > f\left( n-1 \right) $이면 $a_n > 0$, $f\left( n \right) =f\left( n-1 \right) $이면 $a_n = 0$, $f\left( n \right) < f\left( n-1 \right)$이면 $a_n<0$입니다.

(미적분 선택자 전용) 급수와 수열의 극한의 관계의 기하학적 해석

$\sum_{k=1}^{\infty}a_n$이 수렴하면 $\lim_{n \to \infty}a_n=0$임을 배웠습니다. 이를 합의 수열의 그래프를 통하여 기하학적으로 해석해봅시다.$\sum_{k=1}^{\infty}a_n$이 수렴하므로 그 값을 $k$라 두겠습니다. $\sum_{k=1}^{\infty}a_n=\lim_{n \to \infty}S_n$이므로 $y=S_n$의 그래프는 가로점근선 $y=k$를 갖습니다.이제 $\lim_{n \to \infty}a_n = \lim_{n \to \infty}\left( S_n - S_{n-1} \right) $을 구해야 합니다. 이때 $S_n$은 $k$로 수렴하고, $y=S_{n-1}$의 그래프는 $y=S_n$의 그래프를 $x$축 방향으로 $1$만큼 평행이동한 것이므로 가로점근선 $y=k$를 갖습니다. 따라서 $y=S_{n-1}$도 $k$로 수렴합니다. 따라서 두 수열 $\left\{ S_n \right\} $과 $\left\{ S_{n-1} \right\} $이 모두 $k$로 수렴하므로 다음이 성립합니다. \[\begin{align*} \lim_{n \to \infty}a_n &= \lim_{n \to \infty}\left( S_n - S_{n-1} \right)\\ &= \lim_{n \to \infty}S_n - \lim_{n \to \infty} S_{n-1} = k - k = 0 \end{align*}\]이를 다른 방법으로 해석하면, 점근선이 존재하므로 $S_n$과 $S_{n-1}$의 차이인 $a_n = S_n - S_{n-1}$이 점점 $0$으로 수렴하는 것이라 생각할 수 있습니다. 그러면 원래 명제의 역인 $\lim_{n \to \infty}a_n= 0$이면 $\sum_{k=1}^{\infty}a_n$이 수렴한다가 성립하지 않는 것은 어떻게 설명할 수 있을까요? 그것은 `합의 수열 $S_n$의 차이'인 원래 수열 $a_n$이 $0$으로 수렴한다고 해도, 그 $0$으로 수렴하는 속도가 충분히 빠르지 않으면 $y=S_n$의 그래프가 가로점근선을 갖지 않고 무한대로 발산하는 경우가 있기 때문입니다.²대표적인 합의 수열이 로그를 포함하는 수열 $S_n = \log_2 \left( n+1 \right) $입니다. $a_n = \log_2 \dfrac{n+1}{n} $이므로 $\lim_{n \to \infty}a_n =0$이지만 $\lim_{n \to \infty}S_n = \infty$입니다.

즉 이미 가로점근선이 존재하면 (a)와 같이 `합의 수열 $S_n $의 차이의 수열'인 원래의 수열 $a_n$이 $0$으로 갈 수밖에 없지만, 역의 상황에서는 (b)와 같이 $a_n$은 $0$으로 가지만 그 속도가 충분히 빠르지 않아 $y=S_n$의 가로 점근선이 존재하지 않을 수도 있습니다.

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1. 1. $f\left( n \right) > f\left( n-1 \right) $이면 $a_n > 0$, $f\left( n \right) =f\left( n-1 \right) $이면 $a_n = 0$, $f\left( n \right) < f\left( n-1 \right)$이면 $a_n<0$입니다.
2. 2. 대표적인 합의 수열이 로그를 포함하는 수열 $S_n = \log_2 \left( n+1 \right) $입니다. $a_n = \log_2 \dfrac{n+1}{n} $이므로 $\lim_{n \to \infty}a_n =0$이지만 $\lim_{n \to \infty}S_n = \infty$입니다.