삼각함수의 정의
중심이 원점 $\mrm{O}$이고 반지름이 $r$인 원 위의 점 $\xy[P]xy$에 대하여 세 삼각함수 사인, 코사인, 탄젠트의 정의가 다음과 같음을 숙지한 상태에서 논의를 시작합시다.
\[\begin{align*}
\sin \theta = \dfrac{y}{r},\quad\cos \theta = \dfrac{x}{r},\quad \tan \theta = \dfrac{y}{x}
\end{align*}\]
이때 반지름 $r$이 $1$인 경우를 생각하면 $\sin\theta=\frac{y}{1}=y$, $\cos \theta = \dfrac{x}{1}=x$가 되어 $x$와 $y$만을 이용하여 사인, 코사인, 탄젠트를 설명할 수 있게 됩니다. 이와 같이 삼각함수에서 단위원을 활용하는 것은 계산과 사고의 편리성 측면에서 자연스럽습니다.
단위원 위의 점 $\xy[P]xy$에 대하여 $\sin \theta= y$, $\cos \theta = x$이므로, 사인은 $\mrm{P}$의 $y$좌표이고 코사인은 점 $\mrm{P}$의 $x$좌표임을 알 수 있습니다. 이때 $-1\le x \le 1$, $-1 \le y \le 1$이므로 $-1\le \cos x \le 1$, $-1 \le \sin x \le 1$입니다. 그리고 $\tan\theta$는 직선 $\mrm{OP}$의 기울기의 정의와 동일합니다. 이를 바탕으로 사인, 코사인, 탄젠트를 다시 살펴봅시다.
사인함수와 코사인함수 다시 살펴보기
사인함수 : 점 $\mrm{P}$의 $y$좌표 관찰
(a)와 같이 $0<\theta< \pi$일 때에는 $\mrm{P}$의 $y$좌표가 양수이고, (b)와 같이 $\pi < \theta <2\pi$일 때에는 $\mrm{P}$의 $y$좌표가 음수입니다. 또한 앞서 $-1 \le y \le 1$이었음을 고려하면, $\sin \theta$의 그래프는 (c)에서 색칠된 영역에 그려집니다.
이때 $y=0$일 때는 $\theta=0$, $\theta=\pi$, $\theta=2\pi$이고, $y=1$일 때는 $\theta=\dfrac{\pi}{2}$, $y=-1$일 때는 $\theta=\dfrac{3}{2}\pi$이며, 이를 토대로 그래프를 완성하면 (a)와 같습니다. 한편 $\sin \theta$는 주기가 $2\pi$인 주기함수이므로
1 (b)와 같이 $\theta<0$일 때와 $\theta>2\pi$일 때에도 동일한 모양이 반복되고, 원점에 대하여 대칭이므로 $\sin \theta$가 홀함수임을 알 수 있습니다.
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(a)와 같이 $0<\theta< \dfrac{\pi}{2}$일 때에는 $\mrm{P}$의 $x$좌표가 양수이고, (b)와 같이 $\dfrac{\pi}{2}< \theta <\dfrac{3}{2}\pi$일 때에는 $\mrm{P}$의 $x$좌표가 음수이고, (c)와 같이 $\dfrac{3}{2}\pi< \theta <2\pi$일 때에는 $\mrm{P}$의 $x$좌표가 양수입니다.
또한 앞서 $-1 \le y \le 1$이었음을 고려하면, $\cos\theta$의 그래프는 위 그림의 색칠된 영역에 그려집니다.
이때 $x=0$일 때는 $\theta=\dfrac{\pi}{2}$과 $\theta=\dfrac{3}{2}\pi$이고, $x=1$일 때는 $\theta=0$, $x=-1$일 때는 $\theta=\pi$이며, 이를 토대로 그래프를 완성하면 (a)와 같습니다. 한편 $\cos \theta$는 주기가 $2\pi$인 주기함수이므로 (b)와 같이 $\theta<0$일 때와 $\theta>2\pi$일 때에도 동일한 모양이 반복되고, $y$축에 대하여 대칭이므로 $\cos \theta$가 짝함수임을 알 수 있습니다.
탄젠트함수 다시 살펴보기
$\mrm{OP}$의 기울기를 관찰하자
(a)와 같이 $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$일 때에는 $\mrm{OP}$의 기울기가 양수입니다. (b)와 같이 $\theta=\dfrac{\pi}{2}$이면 $\mrm{OP}$의 기울기가 정의되지 않습니다. (c)와 같이 $\dfrac{\pi}{2}< \theta < \pi$이면 $\mrm{OP}$의 기울기가 음수입니다.
이를 바탕으로 $\tan\theta$의 그래프는 위 그림의 색칠된 영역에 그려집니다.
이때 $\theta=0$, $\theta=\pi$일 때 $\mrm{OP}$의 기울기가 $0$이고, 이를 토대로 그래프를 완성하면 (a)와 같습니다.
한편 $\tan \theta$는 주기가 $\pi$인 주기함수이므로
2 (b)와 같이 $\theta<0$일 때와 $\theta>\pi$일 때에도 동일한 모양이 반복되고, 원점에 대하여 대칭이므로 $\tan \theta$가 홀함수임을 알 수 있습니다.
점 $\mrm{P}$의 위치에 따른 삼각함수의 부호
단위원 위의 점 $\mrm{P}$가 제$1$사분면 위의 점일 때에는 $\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$ 모두 양수입니다.
$\mrm{P}$가 제$2$사분면 위의 점일 때에는 $y$좌표가 양수이므로 $\sin\theta$는 양수이고, $x$좌표가 음수이므로 $\cos\theta$는 음수이고, $\mrm{OP}$의 기울기는 음수이므로 $\tan \theta$는 음수입니다.
$\mrm{P}$가 제$3$사분면 위의 점일 때에는 $y$좌표가 음수이므로 $\sin\theta$는 음수이고, $x$좌표가 음수이므로 $\cos\theta$는 음수이고, $\mrm{OP}$의 기울기는 양수이므로 $\tan \theta$는 양수입니다.
$\mrm{P}$가 제$4$사분면 위의 점일 때에는 $y$좌표가 음수이므로 $\sin\theta$는 음수이고, $x$좌표가 양수이므로 $\cos\theta$는 양수이고, $\mrm{OP}$의 기울기는 음수이므로 $\tan \theta$는 음수입니다.
이를 종합하면 제$1$사분면에서는 모든 삼각함수가 양수, 제$2$사분면에서는 사인함수만 양수, 제$3$사분면에서는 탄젠트함수만 양수, 제$4$사분면에서는 코사인함수만 양수임을 알 수 있습니다. 이 결과만 따놓고 순서대로 `올싸탄코' 또는 `얼싸안고'로 외우기도 하는데, 사인함수가 $y$좌표, 코사인함수가 $x$좌표, 탄젠트함수가 기울기를 나타냄을 기억한다면 부호를 쉽게 판정할 수 있습니다.
