합성함수 이야기 (1) : 기본함수의 합성
일차함수
속함수가 일차함수 $ax+b$인 경우, 즉 $y=f\left( ax+b \right) $인 경우, 주어진 식을 변형하면 \[\begin{align*}f\left( ax+b \right) = f\left( a\left( x+\dfrac{b}{a} \right) \right)\end{align*}\]이므로 $a$에 의해 좌우로 신축된 후, $\dfrac{b}{a}$에 의해 $x$축 방향으로 $-\dfrac{b}{a}$만큼 평행이동됩니다.겉함수가 일차함수 $ax+b$인 경우, 즉 $y=af\left( x \right) +b$인 경우, $a$에 의해 상하로 신축되고, $b$에 의해 $y$축 방향으로 $b$만큼 평행이동됩니다.
절댓값함수(절댓값)
함수 $f$에 절댓값을 취한 경우, 즉 합성함수 $y=\abs{f\left( x \right) }$를 생각하면, 치역을 `음이 아닌 실수 전체의 집합의 부분집합'으로 바꿉니다.함수 $y=f\left( x \right) $에서 $x$에 절댓값을 취한 경우, 즉 합성함수 $y=f\left( \abs{x} \right) $를 생각하면, 정의역이 확장될 가능성이 있습니다. 만약 $f$의 정의역이 $x>0$이었다면, 본래 음수는 함수 $f\left( x \right) $의 정의역에 포함되지 않았는데, 함수 $f\left( \abs{x} \right) $에는 절댓값으로 인해 정의역에 음수도 포함됩니다. 또한 $f\left( \abs{-x} \right) =f \left( \abs{x} \right) $가 성립하므로 짝함수가 되는 것은 보너스입니다.
이는 정의역을 범위로 제한하는 $\sqrt{x}$, $\ln{x}$와 섞였을 때 빛을 발합니다. $\sqrt{\abs{x}}$, $\ln\abs{x}$, $\ln \abs{f\left( x \right) }$, $\sqrt{\abs{f\left( x \right)} }$와 같은 형태로 본래 $x$나 $f\left( x \right) $가 음수일 때에는 대입할 수 없던 점을 해결하여 정의역을 확장할 수 있기 때문입니다. 만약 `절댓값을 취한 함수'에 `무리함수'를 취하면 미분가능성을 묻기에 적합합니다.1근호 안의 값이 $0$일 때 연속임은 보장되지만 미분가능성은 보장되지 않기 때문입니다.
유리함수(분수)
함수식에 분수식이 등장하는 경우, 유리함수가 정의역 조건에 의해 분모가 $0$이 되는 $x$값들에서는 정의되지 않는다는 사실과, 그 곳에서 점근선 또는 수렴하는 점이 생길 수 있다는 사실에 주의해야 합니다.무리함수(근호)
함수식에 근호가 등장하는 경우, 무리함수 $y=\sqrt{ax+b}+c$의 정의역 조건에 의해 근호 안의 값이 $0$보다 작은 $x$값들에서는 정의되지 않는다는 사실과, 근호 전체의 값은 항상 $0$보다 크거나 같다는 사실에 주의해야 합니다.무리함수에 함수 $f$를 취한 경우, 즉 $y=f\left( \sqrt{ax+b}+c \right) $인 경우, 무리함수의 정의역에 의해 근호 안의 값이 $0$보다 작은 $x$값들에서는 정의되지 않는다는 사실과, 근호 전체의 값은 항상 $0$보다 크거나 같다는 사실에 주의해야 합니다.
함수 $f$에 무리함수를 취한 경우, 즉 $y=\sqrt{af\left( x \right) + b} + c$인 경우, 무리함수의 정의역에 의해 근호 안의 값이 $0$보다 작은 $x$값들에서는 정의되지 않는다는 사실과, 근호 전체의 값은 항상 $0$보다 크거나 같다는 사실에 주의해야 합니다.
지수함수
함수식에 지수가 등장하는 경우, 지수함수의 치역 조건에 따라 $a^x > 0$이므로, 합성함수의 정의역이나 치역이 제한될 수 있음을 유의해야 합니다.지수함수에 함수 $f$를 취한 경우, 즉 $y=f\left( a^x \right) $인 경우, 지수함수의 치역이 양수이므로 $f$의 정의역 중 양수 부분에 해당하는 부분에 의해서 합성함수의 치역이 결정된다는 것에 유의해야 합니다. 이때 만약 $f$의 정의역이 양수 $b$, $c$에 대하여 $\conset{x}{$b<x<c$}$이면 합성함수의 정의역이 $\conset{x}{$\log_a b< x< \log_a c$}$ 또는 $\conset{x}{$\log_a c < x < \log_a b$}$가 되어 정의역이 변화됨을 유의합시다.2전자는 $a>1$일 때이고, 후자는 $0<a<1$일 때입니다.
함수 $f$에 지수함수를 취한 경우, 즉 $y=a^{f\left( x \right) }$인 경우, 전체 함수의 치역이 양수라는 점에 유의해야 합니다.
로그함수
함수식에 로그가 등장하는 경우, 로그의 진수 조건에 따라 $\log_a {x}$에서 $x>0$이므로, 정의역이나 치역이 제한될 수 있음을 유의해야 합니다.로그함수에 함수 $f$를 취한 경우, 즉 $y=f\left( \log_a x \right) $인 경우, $f$의 정의역이 $\conset{x}{$b < x < c$}$이면 합성함수의 정의역이 $\conset{x}{$a^b< x< a^c$}$ 또는 $\conset{x}{$a^c < x < a^b$}$이 되어 정의역이 변화됨을 유의합시다.3전자는 $a>1$일 때이고, 후자는 $0<a<1$일 때입니다.
함수 $f$에 로그함수를 취한 경우, 즉 $y=\log_a f\left( x \right) $인 경우, 진수 조건에 의해 $f\left( x \right) >0$인 $x$만 합성함수의 정의역에 포함됨을 유의해야 합니다.
삼각함수
함수식에 삼각함수가 등장하는 경우 주기성과 대칭성을 활용할 수 있음을 유의해야 합니다. 한편 $\tan$, $\cot$, $\sec$, $\csc$의 경우 정의역이나 치역이 제한될 수 있음을 유의해야 합니다.합성으로 해석하는 삼각함수의 각변환
삼각함수의 각변환은 $\sin \left( k \pm\theta \right) $이나 $\cos \left( k \pm\theta \right) $ 꼴이 주어졌을 때 이를 간단한 $\pm\sin{}$ 또는 $\pm\cos{}$ 꼴로 나타내는 것입니다. 각변환하기 이전의 꼴은 합성함수이므로, 합성함수 단원에서 다루는 것입니다. 전통적인 방법과 새로운 관점을 배워봅시다.
전통적인 방법
$f \left( \theta \right) = \cos\left( 3\pi - \theta \right) $을 여러 가지 방법으로 각변환해봅시다.주기성과 대칭성을 이용하기
삼각함수의 주기성과 대칭성을 이용하여 군더더기로 붙은 $k$나 $\pm$를 떼어낼 수 있습니다. 먼저 주기성을 이용하면 $\cos\left( \theta+2\pi \right)=\cos\theta $이므로 $\cos\left( 3\pi - \theta \right) = \cos\left( \pi-\theta \right) $입니다. 이때 대칭성을 이용하면 $y=\cos \theta$는 중심이 $\xy{\dfrac{\pi}{2}}{0}$인 점대칭함수이므로 $\cos\left( \pi - \theta \right) = -\cos\theta $입니다.단위원을 이용하기
사인은 단위원에서 $y$좌표, 코사인은 단위원에서 $x$좌표를 나타냅니다. $\cos\left( 3\pi-\theta \right) =\cos\left( \pi-\theta \right) $에서 $\theta$가 $0\le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$일 때를 생각하면, 동경이 $\pi - \theta$일 때의 $x$좌표는 동경이 $\theta$일 때 $x$좌표와 부호만 다르므로 $\cos\left( \pi-\theta \right) = -\cos\theta$입니다.
- $\sin\left( \dfrac{\pi}{2} + x \right) $
- $\sin\left( \dfrac{\pi}{2} - x \right) $
- $\cos\left( \dfrac{\pi}{2} + x \right) $
- $\cos\left( \dfrac{\pi}{2} - x \right) $
- $\cos\left( \dfrac{3}{2}\pi + x \right) $
- $\sin\left( \dfrac{7}{2}\pi - x \right) $
새로운 각변환
그런데 이런 복잡한 과정 없이도 간단히 각변환할 수 있는 방법이 있습니다.- 주어진 함수를 $f\left( \theta \right) $라 둔다.
- $f\left( 0 \right)$을 구한다.
- $f\left( 0 \right) =+1$이면 $f\left( \theta \right) =+\cos\theta$이다.
- $f\left( 0 \right) =-1$이면 $f\left( \theta \right) =-\cos\theta$이다.
- $f\left( 0 \right) =0$이면 \hcn3을 진행한다.
- $f\left( \dfrac{\pi}{2} \right) $를 구한다.
- $f\left( \dfrac{\pi}{2} \right) =+1$이면 $f\left( \theta \right) =+\sin\theta$이다.
- $f\left( \dfrac{\pi}{2}\right) =-1$이면 $f\left( \theta \right) =-\sin\theta$이다.
다시 $f \left( \theta \right) = \cos\left( 3\pi - \theta \right) $을 생각해봅시다. $f\left( 0 \right) = -1$이므로 새로운 관점에 의해 $f\left( \theta \right) = -\cos\theta$입니다.