Basic) 함수의 논리와 엄밀화 > 수식으로 다루는 함수의 성질

수식으로 다루는 홀짝성

홀짝성의 판정

홀짝성을 알아보려면 정의를 이용해야 합니다. $f(x)$의 함수식에 $x$ 대신 $-x$를 넣었을 때 나온 결과식인 $f\left( -x \right) $가 $f(x)$와 어떤 관계냐에 따라 함수의 홀짝성을 판정할 수 있습니다. $f\left( -x \right)=-f\left( x \right)$이면 홀함수이고, $f\left( -x \right)=f\left( x \right)$이면 짝함수입니다. 이 파트에서 다룰 모든 성질은 이를 이용하여 증명합니다.1모든 증명은 부록에 수록하였습니다.

홀짝성과 실수배

홀짝성이 있는 함수를 실수배하면 본래의 홀짝성이 유지됩니다. 이를 명제로 나타내면 다음과 같습니다.
실수 $k$, 홀함수 $f$, 짝함수 $g$에 대하여
  1. $kf$는 홀함수이다.
  2. $kg$는 짝함수이다.

홀짝성이 같은 함수끼리의 합, 차

$f\left( x \right) $가 여러 함수의 덧셈, 뺄셈, 실수배로 이루어져있을 때, 각 함수들이 모두 홀함수이면 $f$도 홀함수입니다. 마찬가지로 $f$를 이루는 각 함수들이 모두 짝함수이면 $f$도 짝함수입니다. 그러나 짝함수와 홀함수가 혼재되어 있으면 홀짝성이 없습니다. 예를 들어 $x^2 + 3$은 짝함수이고, $x^3 - 3x$는 홀함수이며, $x^2 - x$는 홀짝성이 없습니다. 이를 명제로 나타내면 다음과 같습니다.
  1. 수열 $\left\{ a_n \right\} $과 $n$개의 홀함수 $f_1$, $f_2$, $f_3$, $\cdots$, $f_n$에 대하여,
    함수 $g\left( x \right) = \sum_{k=1}^{n}a_kf_k\left( x \right)$는 홀함수이다.

  2. 수열 $\left\{ a_n \right\} $과 $n$개의 짝함수 $f_1$, $f_2$, $f_3$, $\cdots$, $f_n$에 대하여,
    함수 $g\left( x \right) = \sum_{k=1}^{n}a_kf_k\left( x \right)$는 짝함수이다.

홀함수와 짝함수의 곱

$f$, $g$가 홀함수, $h$, $i$가 짝함수일 때, 다음이 성립합니다.
  1. $f \times g$는 짝함수이다.
  2. $h \times i$는 짝함수이다.
  3. $f \times h$는 홀함수이다.

홀함수와 짝함수의 합성

$f$, $g$가 홀함수, $h$, $i$가 짝함수일 때 다음이 성립합니다.2$\comp fh$와 $\comp hf$는 일반적으로 같지 않은 함수이므로 주의합시다.
  1. $\comp{f}{g}$는 홀함수이다.
  2. $\comp hi$는 짝함수이다.
  3. $\comp fh$는 짝함수이다.
  4. $\comp hf$는 짝함수이다.

홀짝성과 미적분

홀짝성과 정적분

홀함수 $f$, 짝함수 $g$에 대하여 다음이 성립합니다.3증명 과정에 미적분의 내용이 쓰입니다. 미적분 미선택 학생들은 다항함수만 다루므로, 다항함수의 일반 식을 대입하여 성립함을 보이는 것으로 대신하기 바랍니다.
  1. $\int_{-a}^{a}f\left( x \right) dx = 0$
  2. $\int_{-a}^{a}g\left( x \right) dx = 2\int_{0}^{a}g\left( x \right)dx$
이를 이용하면 홀짝성이 없는 함수의 정적분을 쉽게 할 수 있습니다. 예를 들어 다음의 함수를 생각해봅시다. \[\begin{align*} f\left( x \right) = x^4 + x^3 + x^2 + x\end{align*}\] 이 함수 $f\left( x \right) $를 $-1$부터 $1$까지 정적분할 때 다음과 같이 짝함수와 홀함수로 나눌 수 있습니다. \[\begin{align*}\int_{-1}^{1} f\left( x \right) dx = \int_{-1}^{1}\left( x^4 + x^2 \right)dx + \int_{-1}^{1}\left( x^3 + x \right)dx \end{align*}\]이후 `홀짝성과 정적분'을 이용하여 다음과 같이 계산하면 매우 간편합니다. \[\begin{align*} \int_{-1}^{1}\left( x^4 + x^2 \right)dx = 2\int_{0}^{1}\left( x^4 + x^2 \right)dx = \dfrac{16}{15}, \int_{-1}^{1}\left( x^3 + x \right)dx =0 \end{align*}\]
홀짝성을 갖는 함수의 도함수와 부정적분
홀함수 $f$, 짝함수 $g$에 대하여 다음이 성립합니다.
  1. $f$가 미분가능하면 $f'$은 짝함수이다.
  2. $g$가 미분가능하면 $g'$은 홀함수이다.
  3. $f$의 부정적분 $F$는 짝함수이다.
  4. $g$의 부정적분 $G$는 일반적으로 홀함수가 아니다.4대신 $G$는 중심이 $\xy{0}{G\left( 0 \right) }$인 점대칭함수입니다. 즉 $G\left( 0 \right) =0$일 때만 홀함수이고, 나머지 일반적인 경우는 홀함수가 아닙니다.

손쉽게 홀짝성을 판정하는 방법

아래의 방법 중 하나를 이용하면 매번 정의에 입각하여 홀짝성을 판정하는 것보다 훨씬 빠르고 실수 없이 판정할 수 있습니다.

곱은 더하기로, 합성은 곱하기로 생각하기

함수의 곱은 홀짝성의 합으로, 함수의 합성은 홀짝성의 곱으로 간주하여 그 계산 결괏값이 홀수인지 짝수인지를 살펴보면 쉽게 판정할 수 있습니다. 마치 지수법칙과 유사하다고 생각하면 됩니다.5지수법칙에서 곱과 합성은 다음과 같이 각각 지수에서 합, 곱으로 나타납니다. \[\begin{align*} a^m \times a^n &= a^{m+n}\\ \left( a^m \right)^n &= a^{mn} \end{align*}\] 예를 들어 $x\sin x$는 홀함수 $x$와 홀함수 $\sin x$의 곱이므로 $\text홀+\text홀=\text짝$이 되어 짝함수입니다. $\sin \left( x^2 \right) $는 짝함수 $x^2$에 홀함수 $\sin x$를 취했으므로 $\text짝\times\text홀=\text짝$이 되어 짝함수입니다.

홀함수를 일차함수 $y=x$로, 짝함수를 이차함수 $y=x^2$으로 생각하기

홀짝성을 판정하는 가장 쉬운 방법입니다. 함수의 홀짝성을 판정하려면 홀함수의 대표인 $x$와 짝함수의 대표인 $x^2$을 이용해 곱하거나 합성한 결과가 무엇인지를 통해 쉽게 알 수 있습니다. 예를 들어 $x\sin x$는 홀함수와 홀함수의 곱이므로 $x\times x=x^2$이 되어 짝함수입니다. $\sin \left( x^2 \right) $는 짝함수 $x^2$에 홀함수 $x$를 취했으므로 $\left( x^2 \right) = x^2$이 되어 짝함수입니다. 이 방법을 이용하면 홀짝성을 쉽게 판정할 수 있습니다.
  1. 1. 모든 증명은 부록에 수록하였습니다.
  2. 2. $\comp fh$와 $\comp hf$는 일반적으로 같지 않은 함수이므로 주의합시다.
  3. 3. 증명 과정에 미적분의 내용이 쓰입니다. 미적분 미선택 학생들은 다항함수만 다루므로, 다항함수의 일반 식을 대입하여 성립함을 보이는 것으로 대신하기 바랍니다.
  4. 4. 대신 $G$는 중심이 $\xy{0}{G\left( 0 \right) }$인 점대칭함수입니다. 즉 $G\left( 0 \right) =0$일 때만 홀함수이고, 나머지 일반적인 경우는 홀함수가 아닙니다.
  5. 5. 지수법칙에서 곱과 합성은 다음과 같이 각각 지수에서 합, 곱으로 나타납니다. \[\begin{align*} a^m \times a^n &= a^{m+n}\\ \left( a^m \right)^n &= a^{mn} \end{align*}\]