Basic) 함수의 논리와 엄밀화 > 수식으로 다루는 함수의 성질
수식으로 다루는 대칭성
대칭성의 판정
대칭성을 알아보려면 정의를 이용해야 합니다. 주어진 함수에 대칭성이 있는지를 확인할 때에는, $f\left( x \right) $의 함수식에 $x$ 대신 $2p-x$를 넣었을 때 나온 결과식인 $f\left( 2p-x \right) $와, 원래의 함수식인 $f\left( x \right) $가 어떤 관계를 갖는지에 따라 함수의 대칭성을 판정할 수 있습니다. $f\left( x \right) = f\left( 2p-x \right) $이면 대칭축이 $x=p$인 선대칭함수이고, $f\left( x \right) + f\left( 2p-x \right) = 2q$이면 중심이 $\xy{p}{q}$인 점대칭함수입니다.선대칭함수와 점대칭함수의 실수배
대칭축이 $x=a$인 선대칭함수 $f$, 중심이 $\xy pq$인 점대칭함수 $g$, 실수 $k$에 대하여 다음이 성립합니다.- $h=kf$는 대칭축이 $x=a$인 선대칭함수이다. (대칭성이 유지된다.)
- $i=kg$는 중심이 $\xy{p}{kq}$인 점대칭함수이다. (점대칭성은 유지되지만 중심이 달라진다.)
대칭의 기준이 같은 함수끼리의 합, 차
함수 $f\left( x \right) $가 대칭성이 있는 여러 함수의 덧셈, 뺄셈으로 이루어져 있을 때, $f$의 대칭성을 파악할 수 있습니다.- 각 함수들이 모두 선대칭함수이고 대칭축이 모두 $x=p$이면 $f$도 선대칭함수이고, 대칭축은 $x=p$이다.
- 각 함수들이 모두 점대칭함수이고 중심의 $x$좌표가 모두 $p$이면 $f$도 점대칭함수이고, 중심의 $x$좌표는 $p$이다.
선대칭함수와 점대칭함수의 곱, 합성
선대칭함수와 점대칭함수를 곱하거나 합성하는 경우는 수식으로 일반화하여 다루지 않겠습니다. 상황에 따라 적절히 대처하시면 됩니다. 대신 특별한 상황 하나는 알아둡시다.
대칭축이 $x=a$인 선대칭함수와 중심이 $\xy a0$인 점대칭함수의 곱은 중심이 $\xy a0$인 점대칭함수이다.1이는 홀함수와 짝함수를 $x$축 방향으로 $a$만큼 평행이동한 것과 동일한 상황이므로, 대칭성이 절묘하게 맞아 떨어지는 상황입니다.
대칭성과 미적분
대칭축이 $x=a$인 선대칭함수 $f$와 중심이 $\xy{a}{b}$인 점대칭함수 $g$를 미분 또는 적분한 함수의 대칭성을 파악할 수 있습니다.- 함수 $f$가 미분가능할 때, $f'$은 중심이 $\xy{a}{0}$인 점대칭함수이다.
- 함수 $g$가 미분가능할 때, $g'$은 대칭축이 $x=a$인 선대칭함수이다.
- 함수 $f$의 한 부정적분을 $F$라 할 때, $F$는 중심이 $\xy{a}{F\left( a \right) }$인 점대칭함수이다.
- 함수 $g$의 한 부정적분을 $G$라 할 때, $G$는 일반적으로 대칭성이 없다.2오직 $b=0$인 경우에만 $G$가 대칭축이 $x=a$인 선대칭함수입니다.