Basic) 함수의 논리와 엄밀화 > 수식으로 다루는 함수의 성질
수식으로 다루는 볼록성 (미적분 선택자 전용)
볼록성과 이계도함수의 관계는 증명 없이 받아들인다
본래 볼록의 정의는 할선과 곡선의 위치관계를 수식으로 나타낸 것이므로, 이계도함수로 볼록성을 판단하는 것은 정의에 의한 것이 아닙니다. 마치 평균값 정리를 이용하여 증감과 도함수의 관계를 규명했듯이, 증명을 통해 볼록과 이계도함수의 관계를 규명해야만 이계도함수로 볼록성을 판단할 수 있습니다. 그리고 이 증명은 교육과정 내 개념만으로 충분히 가능합니다.그러나 교과서에서는 이에 대한 증명을 생략하고 있습니다. 따라서 이 책에서도 아래 두 명제에 대한 증명을 생략합니다.
이계도함수가 존재하는 함수 $f\left( x \right) $가
- 어떤 구간에서 $f''\left( x \right) > 0 $이면 그 구간에서 아래로 볼록하다.
- 어떤 구간에서 $f''\left( x \right) < 0 $이면 그 구간에서 위로 볼록하다.
볼록성과 관련된 여러 가지 변종 명제
볼록성 역시 증감성에서와 같이 변종명제의 참거짓을 판정할 수 있습니다. 이계도함수가 존재하는 함수 $f\left( x \right) $가- 어떤 구간에서 아래로 볼록하면 그 구간에서 $f''\left( x \right) > 0$이다.
- 어떤 구간에서 아래로 볼록하면 그 구간에서 $f''\left( x \right) \ge 0 $이다.
- 어떤 구간에서 $f''\left( x \right) \ge 0 $이면 그 구간에서 아래로 볼록하다.
- 어떤 구간에서 위로 볼록하면 그 구간에서 $f''\left( x \right) < 0 $이다.
- 어떤 구간에서 위로 볼록하면 그 구간에서 $f''\left( x \right) \le 0 $이다.
- 어떤 구간에서 $f''\left( x \right) \le 0 $이면 그 구간에서 위로 볼록하다.
이계도함수가 존재하는 함수 $f\left( x \right) $가
- 어떤 구간에서 아래로 볼록하면 그 구간에서 $f''\left( x \right) > 0$이다.
- 어떤 구간에서 아래로 볼록하면 그 구간에서 $f''\left( x \right) \ge 0 $이다.
- 어떤 구간에서 $f''\left( x \right) \ge 0 $이면 그 구간에서 아래로 볼록하다.
- 어떤 구간에서 위로 볼록하면 그 구간에서 $f''\left( x \right) < 0 $이다.
- 어떤 구간에서 위로 볼록하면 그 구간에서 $f''\left( x \right) \le 0 $이다.
- 어떤 구간에서 $f''\left( x \right) \le 0 $이면 그 구간에서 위로 볼록하다.
- 어떤 구간에서 아래로 볼록하면 그 구간에서 $f''\left( x \right) > 0$이다. (거짓)
반례 : $f(x)=x^4$와 같이 구간 내에 도함수의 쉼점이 있는 경우 - 어떤 구간에서 아래로 볼록하면 그 구간에서 $f''\left( x \right) \ge 0 $이다. (참) (증명 생략)
- 어떤 구간에서 $f''\left( x \right) \ge 0 $이면 그 구간에서 아래로 볼록하다. (거짓)
반례 : 구간 내에 원함수가 직선인(도함수가 상수함수인) 구간이 있는 경우 - 어떤 구간에서 위로 볼록하면 그 구간에서 $f''\left( x \right) < 0 $이다. (거짓)
반례 : $f(x)=-x^4$와 같이 구간 내에 도함수의 쉼점이 있는 경우 - 어떤 구간에서 위로 볼록하면 그 구간에서 $f''\left( x \right) \le 0 $이다. (참) (증명 생략)
- 어떤 구간에서 $f''\left( x \right) \le 0 $이면 그 구간에서 위로 볼록하다. (거짓)
반례 : 구간 내에 원함수가 직선인(도함수가 상수함수인) 구간이 있는 경우