점근선의 정의와 종류
어떤 함수의 그래프가 어떤 직선 $l$에 서서히 가까워질 때, $l$을 이 함수의 점근선이라고 합니다. 이때 $l$과 함수의 그래프가 만나는 점이 존재할 수 있음을 주의합시다. 예를 들어 (b)에서 함수의 그래프는 $y=c$와 만나지만, $y=c$은 이 함수의 점근선입니다.
점근선은 그 방정식이 어떤 지에 따라
가로 점근선,
세로 점근선,
일반적인 점근선으로 나뉩니다. 가로 점근선은 $y$축에 수직이므로 가로로 그어지며, 그 방정식은 $y=k$ 꼴입니다. 세로 점근선은 $x$축에 수직이므로 세로로 그어지며, 그 방정식은 $x=k$ 꼴입니다. 일반적인 점근선은 두 좌표축에 수직이 아닌 직선이며, 그 방정식은 $y=ax+b$ 꼴입니다.
점근선과 극한의 관계
점근선은 극한으로 나타낼 수 있습니다. 점근선의 종류에 따라 극한과의 관계를 알아봅시다.
가로 점근선과 $x \to \infty$, $x \to -\infty$의 관계
$\lim_{x \to \infty} f\left( x \right) = k$ 또는 $\lim_{x \to -\infty} f\left( x \right) = k$일 때, $y=k$는 곡선 $y=f\left( x \right) $의 가로 점근선입니다. 역으로, $y=k$가 곡선 $y=f\left( x \right) $의 가로 점근선이면 $\lim_{x \to \infty} f\left( x \right) =k$ 또는 $\lim_{x \to -\infty} f\left( x \right) = k$입니다.
앞으로 어떤 점근선이 가로 점근선이나 세로 점근선이 아닌 일반적인 점근선이면 점근선이라 부르기로 합시다.
세로 점근선과 $x \to a+$, $x \to a-$의 관계
아래의 네 식
\[\begin{alignat*}{2}
\lim_{x \to a+} f(x) &= \infty, \qquad &&\lim_{x \to a+} f(x) = -\infty \\
\lim_{x \to a-} f(x) &= \infty, \qquad &&\lim_{x \to a-} f(x) = -\infty
\end{alignat*}\]
중 하나 이상이 참이면, $x=a$는 곡선 $y=f\left( x \right) $의 세로 점근선입니다. 역으로, $x=a$가 곡선 $y=f\left( x \right) $의 세로 점근선이면 위 네 식 중 하나 이상이 참입니다.
일반적인 점근선과 $x \to \infty$, $x \to -\infty$의 관계
미적분 교과서에서 배우지는 않지만, 간단하게 일반적인 점근선을 정의할 수 있습니다.
1 $\lim_{x \to \infty} \left\{ f\left( x \right) - \left( ax+b \right) \right\} = 0$ 또는 $\lim_{x \to -\infty} \left\{ f\left( x \right) - \left( ax+b \right) \right\} = 0$일 때, $y=ax+b$는 곡선 $y=f\left( x \right) $의 점근선입니다. 즉 함수 $f$와 일차함수 $g$의 차의 극한이 $0$이 될 때, $y=g\left( x \right) $가 나타내는 직선이 $y=f\left( x \right) $의 점근선이 되는 것입니다.
(충격) 점근선이 곡선인 경우도 있다?
일반적인 점근선에서와 동일한 방법으로, $g$가 일차함수가 아닌 일반적인 함수일 때에도 곡선 $y=g\left( x \right) $가 곡선 $y=f\left( x \right) $의 점근선이 되는 상황(일명 점근곡선) 또한 극한을 통해 자연스럽게 정의할 수 있을 것입니다.
그러나 교육과정에서는 점근선이 곡선인 경우는 다루고 있지 않습니다. 즉 우리가 점근선이라고 부르는 것은 사실상 점근직선인 셈입니다.
점근선의 의의와 주의할 점
`점근선과 극한의 관계'의 수학적 의의
가로 점근선과 일반적인 점근선이 극한으로 표현될 수 있다는 것은 의의가 큽니다. 극한을 배우기 전,
수학의 유리함수에서 배운 점근선은 단순히 시각적으로 `가까이 다가간다'는 직관적인 의미만을 나타냈습니다. 그러나 극한으로 표현됨으로써 비로소 수식으로 표현하여 논의를 전개할 수 있는 도구가 주어진 것입니다. 게다가 $0$으로 수렴하는 극한인 이상 그 의미가 더욱 큽니다.
점근선을 다룰 때 주의할 점
세로 점근선은 정의역이 제한되는 경우 자주 등장합니다. `분수식에서 분모가 $0$이 될 수 있는 경우'와 정의역이 제한되는 함수인 $\sqrt{\phantom A}$, $\log{}$, $\tan{}$가 취해져 있을 때를 유의해야 합니다.
2
점근선과 함수의 대소관계를 따지는 것 또한 중요합니다. 만약 점근선과 곡선 사이의 대소관계가 역전되지 않는 경우, 점근선은 곡선이 그려질 수 있는 영역의 경계선과 같은 역할을 하게 됩니다.
여러 가지 기본 함수의 점근선
유리함수 $y=\dfrac{cx+d}{ax+b}$의 점근선은 $x=-\dfrac{b}{a}$, $y=\dfrac{c}{a}$입니다. 각각 `분모가 $0$이 되도록 하는 값'과 `가로 점근선의 정의'를 통해 알 수 있습니다.
$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$이므로 탄젠트함수는 분모인 $\cos x$가 $0$일 때 점근선을 갖습니다.
지수로그함수의 점근선
지수함수 $y=a^x$는 $a>1$일 때 (a)와 같이 $\lim_{x \to -\infty}a^x = 0$이므로 $x$축을 점근선으로 갖고, $0<a<1$일 때 (b)와 같이 $\lim_{x \to \infty}a^x = 0$이므로 $x$축을 점근선으로 갖습니다. 두 경우 모두 모든 실수 $x$에 대하여 $a^x>0$이므로 곡선이 항상 점근선보다 위쪽에 있습니다.
로그함수 $\log_a x$는 $a>1$일 때 (a)와 같이 $\lim_{x \to 0+} \log_a x = -\infty$이므로 $y$축을 점근선으로 갖고, $0<a<1$일 때 (b)와 같이 $\lim_{x \to 0+} \log_a x = \infty$이므로 $y$축을 점근선으로 갖습니다. 두 경우 모두 정의역이 양수 전체의 집합이므로 곡선이 항상 점근선보다 오른쪽에 있습니다.
(미적분 선택자 전용) 삼각함수의 점근선
시컨트함수, 코시컨트함수, 코탄젠트함수는 각각 $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$, $\csc x = \dfrac{1}{\sin x}$, $\cot x = \dfrac{1}{\tan x}$이므로, 분모가 $0$일 때 점근선을 갖습니다.
