Basic) 함수의 논리와 엄밀화 > 점근선과 극한의 논리 완성
극한 계산의 대전제
극한 계산의 대전제는 세 가지입니다.
- 기본 극한과 기본 연속함수를 숙지한다.
- `수렴하는 극한의 성질'을 이용한다.
- 치환해서 극한값을 구할 수 있다.
① $\lim_{x \to \infty}\dfrac{1}{x}=0$과 기본 연속함수를 숙지한다.
$\lim_{x \to \infty}\dfrac{1}{x}=0$과 `다항함수, 유리함수, 무리함수가 연속함수'임은 앞으로 모든 극한 계산의 근거와 재료가 됩니다. 이 사실들은 증명 없이 받아들입니다.1대학과정에서는 입실론-델타 논법을 이용하여 극한과 연속을 증명하지만, 고교과정에서는 이를 생략합니다.연속함수에 어떻게 불연속점이 있을 수 있나요?
바로 윗 문장에 따르면 유리함수, 무리함수는 연속함수입니다. 그런데 여러분은 $y=\sqrt{x}$과 $y=\dfrac{1}{x}$의 그래프에 불연속인 점이 존재함을 분명히 알고 있습니다. 이름은 연속함수인데 불연속점이 존재한다는 말이 모순처럼 느껴질 수도 있습니다. 하지만 연속함수의 정의를 살펴보면 충분히 가능한 이야기입니다. 연속함수의 정의는 `정의역 내의 임의의 실수 $k$에 대하여 $x=k$에서 연속인 함수'입니다. 이에 따르면 $\dfrac{1}{x}$은 $x=0$에서 그래프가 끊기기는 하지만, $x=0$은 정의역의 원소가 아니므로 연속함수인지에는 영향을 미치지 못합니다. 따라서 $\dfrac{1}{x}$는 연속함수의 정의에 정확히 부합하므로 연속함수입니다. 동시에 `$\dfrac{1}{x}$은 $x=0$에서 불연속'이라고 말하는 것 또한 올바른 진술입니다. 이를 일반화하면 다음과 같습니다.
연속함수 $f$의 정의역에 속하지 않은 실수 $m$이 존재할 때,
$f$는 $x=m$에서 항상 불연속이다.
미적분 선택자라면 로그함수, $\tan x$, $\sec x$, $\csc x$, $\cot x$가 연속함수임 또한 동일하게 생각할 수 있습니다.
$f$는 $x=m$에서 항상 불연속이다.
② `수렴하는 극한의 성질'을 이용한다.
수렴하는 극한의 성질
교과서에서 기본 극한 외에 극한을 계산하는 방법에 대해 배운 것은 $\lim f\left( x \right) = \alpha$, $\lim g\left( x \right) = \beta$일 때2$\lim{}$의 아랫첨자가 서로 같을 때에만 이용할 수 있습니다. 예를 들어 $\lim_{x \to a}f\left( x \right) = \alpha$, $\lim_{x \to \infty} g\left( x \right) =\beta$일 때에는 이 성질을 이용할 수 없습니다. 성립하는 다음의 `수렴하는 극한의 성질'뿐입니다.- $\lim \left\{ f\left( x \right) + g\left( x \right) \right\} = \lim f\left( x \right) + \lim g\left( x \right) = \alpha + \beta$
- $\lim \left\{ f\left( x \right) - g\left( x \right) \right\} = \lim f\left( x \right) - \lim g\left( x \right) = \alpha - \beta$
- $\lim \left\{ k f\left( x \right) \right\} = k\lim f\left( x \right) = k\alpha$ (단, $k$는 상수)
- $\lim f\left( x \right)g\left( x \right) = \left\{ \lim f\left( x \right) \right\} \times \left\{ \lim g\left( x \right) \right\} = \alpha \beta$
- $\lim\dfrac{f\left( x \right) }{g\left( x \right) }= \dfrac{\displaystyle\lim f\left( x \right) }{\displaystyle\lim g\left( x \right) } = \dfrac{\alpha}{\beta}$ (단, $\beta \ne 0$)
저는 (분모)$\to0$이지만 수렴하는 극한입니다. 제 이야기를 들어주세요.
그러나 사실 모든 극한 계산이 `수렴하는 극한의 성질'만으로 풀리지는 않습니다. 오히려 `수렴하는 극한의 성질'에서 지나가듯이 언급되는 제한 조건 하나가 대부분의 극한 문제에서 물어보는 내용입니다. 바로 $\lim\dfrac{f\left( x \right) }{g\left( x \right) }$에 붙어 있는 단서 조항인 `$\beta \ne 0$', 즉 `$\lim g\left( x \right) \ne 0$'입니다.이는 $\lim g\left( x \right) = 0$임에도 불구하고 $\lim \dfrac{f\left( x \right) }{g\left( x \right) }$가 수렴하는 경우가 존재함을 내포합니다. 이 주제를 관통하는 명제는 다음과 같습니다.3지금까지는 $x \to \infty$와 $x \to a$를 한꺼번에 표현하기 위해 $\lim{}$의 아랫첨자를 쓰지 않았지만, 이후의 설명에서는 아랫첨자를 생략하면 혼동될 여지가 있으므로, 이제부터는 $x \to \bigstar$라는 표현을 사용하겠습니다.
$\lim_{x \to \bigstar}g\left( x \right) =0$, $\lim_{x \to \bigstar}\dfrac{f\left( x \right) }{g\left( x \right) } = k$이면 $\lim_{x \to \bigstar} f\left( x \right) =0$이다.
이를 증명해봅시다.
주어진 두 등식을 각 변끼리 곱하면 다음과 같으므로, 주어진 명제는 참이다.
\[\begin{alignat*}{2}
(좌변)
&= \lim_{x \to \bigstar}g\left( x \right) \times \lim_{x \to \bigstar}\dfrac{f\left( x \right) }{g\left( x \right) }\quad\quad\quad(우변) &&= 0\times k \\
&=\lim_{x \to \bigstar} \left\{ g\left( x \right) \times \dfrac{f\left( x \right) }{g\left( x \right)} \right\} &&=0 \\
&=\lim_{x \to \bigstar} f\left( x \right) &&
\end{alignat*}\]
따라서 놀랍게도 $\boldmath{(분모)\to0}$인 상황에서도 수렴하는 극한이 있고, 그 상황에서 $\boldmath{(분자)\to0}$입니다. 대부분의 극한 문제에서 이러한 상황을 중요하게 다루고 있습니다.
$\boldmath{(분모)\to0}$인 극한을 풀이하는 방법
$\lim_{x \to \bigstar}g\left( x \right) =0$이고 $\lim_{x \to \bigstar}\dfrac{f\left( x \right) }{g\left( x \right) } = k$일 때, 각 함수를 $f = f_1 f_2$, $g=g_1g_2$와 같이 두 함수의 곱으로 나타낸 후, $f_1$과 $g_1$은 $\lim_{x \to \bigstar}f_1 =0$, $\lim_{x \to \bigstar}g_1 =0$와 같이 $0$으로 수렴하도록 잡고, $f_2$와 $g_2$는 $\lim_{x \to \bigstar}f_2 = a \ne 0$ $\lim_{x \to \bigstar}g_2 = b\ne 0$와 같이 $0$이 아닌 값으로 수렴하도록 한 후에, 다음과 같이 두 분수로 분리하여 풀이합니다.4$\lim_{x \to \bigstar}\dfrac{f_1f_2}{g_1g_2} = k$, $\lim_{x \to \bigstar}\dfrac{g_2}{f_2} = \dfrac{b}{a}$이므로 두 함수 $\dfrac{f_1f_2}{g_1g_2}$, $\dfrac{g_2}{f_2}$의 곱인 $\dfrac{g_2}{f_2}\times\dfrac{f_1f_2}{g_1g_2}=\dfrac{f_1}{g_1}$의 극한도 수렴합니다. \[\begin{align*} \lim_{x \to \bigstar}\dfrac{f_1f_2}{g_1g_2} = \lim_{x \to \bigstar}\left( \dfrac{f_1}{g_1}\times\dfrac{f_2}{g_2} \right)=\left( \lim_{x \to \bigstar} \dfrac{f_1}{g_1} \right) \times\left( \lim_{x \to \bigstar} \dfrac{f_2}{g_2} \right)\end{align*}\]③ 치환해서 극한값을 구할 수 있다.
치환을 이용한 극한 계산
$\lim_{x \to \bigstar} h\left( x \right)$를 구할 때 $h\left( x \right) $에 포함된 특정 부분을 $t$라 두고 극한의 주어를 $x$에서 $t$로 바꾸는 테크닉이 있습니다.5 특정 부분을 $t$가 아닌 $t$에 관한 식으로 치환하는 것 또한 가능합니다. 즉 $g\left( x \right)=t $로 치환하는 것도 가능하고, $g\left( x \right)=i\left( t \right)$라 두는 것도 가능합니다. 이를 치환이라고 하며, 다음과 같이 명제로 나타낼 수 있습니다.
$x \to \bigstar$일 때 $t \to \blacklozenge$이면 $\lim_{x \to \bigstar} h\left( x \right) = \lim_{t \to \blacklozenge} h\left( x \right) $이다.
연속함수의 재해석
$x=a$에서 연속인 함수 $f\left( x \right) $에 대하여 연속의 정의에 의하여 다음이 성립합니다. \[\begin{align*} \lim_{x \to a} f\left( x \right) = f\left( a \right)\end{align*}\] 이때 $a=\lim_{x \to a}x$이므로 우변의 $a$ 대신 $\lim_{x \to a}x$를 대입하면 다음을 얻습니다. \[\begin{align*} \lim_{x \to a} f\left( x \right) = f\left( \lim_{x \to a}x\right)\end{align*}\] 이를 통해 연속함수 $f$는 $f$와 $\lim$의 순서를 바꾸어도 값을 유지하는 함수라고 이해할 수 있습니다.합성된 연속함수의 해석
`치환'과 `연속함수의 재해석'을 이용하여 합성된 연속함수의 극한을 해석해봅시다. $x=\bigstar$에서 연속인 함수 $g\left( x \right) $와 $x=g\left( \bigstar \right) $에서 연속인 함수 $f\left( x \right) $에 대하여 다음이 성립합니다. \[\begin{align*} \lim_{x \to \bigstar} f\left( g\left( x \right) \right) = f\left( \lim_{x \to \bigstar} g\left( x \right) \right)=f\left( g\left( \lim_{x \to \bigstar}x \right) \right) = f\left( g\left( \bigstar \right) \right) \end{align*}\] 즉 `연속함수의 재해석'에 따르면 연속함수와 $\lim$의 순서를 바꿀 수 있으므로, 연속함수가 겹겹이 취해져 있어도 관계없이, 함수와 $\lim$의 순서를 연달아 바꾸어 계산할 수 있는 것입니다. 이는 치환을 이용하여 다음과 같이 쉽게 증명할 수 있습니다. $g\left( \bigstar \right) =\blacklozenge$라 하면 함수 $f\left( x \right) $는 $x=\blacklozenge$에서 연속이므로 $\lim_{x \to \blacklozenge}f\left( x \right) = f\left( \blacklozenge \right) $이다. 한편 $g\left( x \right) =t$라 치환하면 $x \to \bigstar$일 때 $t \to \blacklozenge $이므로 주어진 극한을 다음과 같이 계산할 수 있다. \[\begin{align*} \lim_{x \to \bigstar} f\left( g\left( x \right) \right) = \lim_{t \to \blacklozenge} f\left( t \right) &= f\left( \blacklozenge \right) \\ &= f\left( g\left( \bigstar \right) \right) \end{align*}\]$\lim_{x \to \bigstar} f(x) = \lim_{t \to \bigstar} f(t)$는 치환이 아니라 변수 교체
$\lim_{x \to \bigstar} f(x) = \lim_{t \to \bigstar} f(t)$와 같은 식에서 변수가 $t$에서 $x$로 바뀌다보니, 이 식이 의미하는 것이 지금까지 논한 치환과 같은 것이라고 착각할 수 있습니다. 그러나 이것은 치환이 아니라 단순한 변수 교체이므로 주의합시다.이렇게 변수를 바꾸어도 상관없는 이유는 주어진 극한의 주인공이 `$t$와 $x$'가 아니라, `$f$와 $\bigstar$'이기 때문입니다. 극한에서 논하고 싶은 함수는 $f$이고, 수렴 여부를 따지고 싶은 위치는 $\bigstar$입니다. $f$와 $\bigstar$의 연결고리 역할을 하는 것이 $x$와 $t$일 뿐이며, $x$와 $t$ 자체가 식에서 중요한 것이 아닙니다.
예를 들어 다음의 식 변형 과정을 생각해봅시다. \[\begin{align*} \lim_{x \to 0+} \left( x+x^2 \right)&=0\cthcn1\\ \lim_{t \to \infty} \left( \frac{1}{t}+\frac{1}{t^2} \right)&=0 \cthcn2\\ \lim_{x \to \infty}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2} \right)&=0\cthcn3 \end{align*}\] 이때 ②에서 \hcn3으로 넘어가는 과정에서 많은 학생들이 다음과 같이 질문하곤 합니다.
`①에서 ②로 넘어갈 때 $x=\frac{1}{t}$로 치환했는데, 왜 ②에서 \hcn3으로 넘어갈 때 $t$를 $x$랑 같다고 두는 건가요? $x=\frac{1}{t}$였으니까 $t$ 자리에 $\frac{1}{x}$을 넣어야 하는 것 아닌가요?'
그러나 앞서 설명했듯이 ①에서 ②로 넘어가는 것은 치환이고, ②에서 \hcn3으로 넘어가는 것은 치환이 아닙니다. 그저 동일한 의미의 극한 식을 설명하기 위한 변수를 $t$에서 $x$로 바꾸었을 뿐입니다. 비슷한 예로, 함수 $f\left( t \right) $의 $t=3$에서의 함숫값이나, 함수 $f\left( x \right) $의 $x=3$에서의 함숫값이나 모두 $f\left( 3 \right) $으로 같은 것, 정적분에서 $\int_a ^b f\left( t \right)dt=\int_{a}^{b}f\left( x \right) dx$인 것6정적분에 대해서는 Calculus에서 더 자세히 설명합니다. 등이 있습니다.
- 1. 대학과정에서는 입실론-델타 논법을 이용하여 극한과 연속을 증명하지만, 고교과정에서는 이를 생략합니다.
- 2. $\lim{}$의 아랫첨자가 서로 같을 때에만 이용할 수 있습니다. 예를 들어 $\lim_{x \to a}f\left( x \right) = \alpha$, $\lim_{x \to \infty} g\left( x \right) =\beta$일 때에는 이 성질을 이용할 수 없습니다.
- 3. 지금까지는 $x \to \infty$와 $x \to a$를 한꺼번에 표현하기 위해 $\lim{}$의 아랫첨자를 쓰지 않았지만, 이후의 설명에서는 아랫첨자를 생략하면 혼동될 여지가 있으므로, 이제부터는 $x \to \bigstar$라는 표현을 사용하겠습니다.
- 4. $\lim_{x \to \bigstar}\dfrac{f_1f_2}{g_1g_2} = k$, $\lim_{x \to \bigstar}\dfrac{g_2}{f_2} = \dfrac{b}{a}$이므로 두 함수 $\dfrac{f_1f_2}{g_1g_2}$, $\dfrac{g_2}{f_2}$의 곱인 $\dfrac{g_2}{f_2}\times\dfrac{f_1f_2}{g_1g_2}=\dfrac{f_1}{g_1}$의 극한도 수렴합니다.
- 5. 특정 부분을 $t$가 아닌 $t$에 관한 식으로 치환하는 것 또한 가능합니다. 즉 $g\left( x \right)=t $로 치환하는 것도 가능하고, $g\left( x \right)=i\left( t \right)$라 두는 것도 가능합니다.
- 6. 정적분에 대해서는 Calculus에서 더 자세히 설명합니다.