Basic) 함수의 논리와 엄밀화 > 점근선과 극한의 논리 완성

함수의 극한 계산 : 무리함수와 유리함수

무리함수와 유리함수의 극한

무리함수의 극한은 $\sqrt{x}$가 $x\ge 0$에서 연속이므로, 합성된 연속함수의 해석에 의해 $f\left( x \right) \ge 0$일 때 $\lim \sqrt{f\left( x \right) } = \sqrt{\lim f\left( x \right) }$가 성립함을 이용하고, 주어진 식을 적절히 유리화하여 유리함수의 극한과 엮어 계산하는 것이 기본입니다. 그 외에는 유리함수의 극한이 주가 됩니다.

몸풀기

기본극한인 $\lim_{x \to \infty}\dfrac{1}{x}=0$을 이용하여 간단한 예제를 풀이하며 몸을 풀어봅시다.

극한 계산의 대전제를 이용하여 다음이 성립함을 보이시오.

$\lim_{x \to \infty } \dfrac{1}{x^2} = 0$
$\lim_{x \to \infty } \dfrac{1}{\sqrt{x}} = 0$

$x\to \infty$, $x\to -\infty$ 계산하기

$x \to \infty$인 극한을 계산할 줄 알면 $x \to -\infty$도 계산할 수 있습니다. $x = -t$로 치환해서 $\lim_{x \to -\infty}$를 $\lim_{t \to \infty}$로 바꾸어 계산할 수 있기 때문입니다. 따라서 $x \to \infty$일 때 유리함수의 극한을 계산하는 방법을 알아봅시다.

두 다항함수 $f\left( x \right) =\sum_{k=0}^{n} a_k x^k $, $g(x) = \sum_{k=0}^{m} b_k x^k $에 대하여 $\lim_{x \to \infty} \dfrac{g\left( x \right) }{f\left( x \right) }$를 $n$과 $m$의 대소관계에 따라 분류하면 다음과 같습니다.

$n>m$
분모와 분자에 $\dfrac{1}{x^n}$을 곱하면 다음과 같습니다. \[\begin{align*} \lim_{x \to \infty}\dfrac{g\left( x \right) }{f\left( x \right) } &=\lim_{x \to \infty} \dfrac{\qfrac{b_m}{x^{n-m}} + \qfrac{b_{m-1}}{x^{n-m+1}} + \qfrac{b_{m-2}}{x^{n-m+2}} + \cdots +\qfrac{b_{1}}{x^{n-1}} + \qfrac{b_0}{x^n}}{a_n + \qfrac*{a_{n-1}}{x} + \qfrac*{a_{n-2}}{x^2} + \cdots +\qfrac*{a_{1}}{x^{n-1}} + \qfrac*{a_0}{x^n}}\\ &= \dfrac{0+0+0+\cdots+0+0}{a_n+0+0+\cdots+0+0} =\dfrac{0}{a_n}= 0 \end{align*}\]
$m=n$
분모와 분자에 $\dfrac{1}{x^n}$을 곱하면 다음과 같습니다. \[\begin{align*} \lim_{x \to \infty}\dfrac{g\left( x \right) }{f\left( x \right) } &=\lim_{x \to \infty} \dfrac{b_n + \qfrac{b_{n-1}}{x} + \qfrac{b_{n-2}}{x^2} + \cdots +\qfrac{b_{1}}{x^{n-1}} + \qfrac{b_0}{x^n}}{a_n + \qfrac*{a_{n-1}}{x} + \qfrac*{a_{n-2}}{x^2} + \cdots +\qfrac*{a_{1}}{x^{n-1}} + \qfrac*{a_0}{x^n}}\\ &= \dfrac{b_n+0+0+\cdots+0+0}{a_n+0+0+\cdots+0+0} =\dfrac{b_n}{a_n} \end{align*}\]
$m>n$
①에 의해 $\lim_{x \to \infty}\dfrac{f\left( x \right) }{g\left( x \right) }=0$입니다. 따라서 주어진 식을 다음과 같이 변형할 수 있습니다. \[\begin{align*} \lim_{x \to \infty}\dfrac{g\left( x \right) }{f\left( x \right) } = \lim_{x \to \infty}\dfrac{1}{\qfrac*{f\left( x \right) } {g\left( x \right) }} \end{align*}\] 그런데 이 극한의 분모는 $0$으로 수렴하므로 $\lim_{x \to \infty}\dfrac{g\left( x \right) }{f\left( x \right) }$는 존재하지 않습니다.

이에 따라 이미 다들 아실 결과를 정리하면 다음과 같습니다.

분모의 최고차수가 분자의 최고차수보다 크거나 같으면 수렴한다.

분모의 최고차수가 크면 $0$으로 수렴한다.
최고차수가 서로 같으면 최고차항의 계수의 비로 수렴한다.

이 결과를 암기하는 것보다 중요한 것은, 이 결과를 끌어낸 과정에 쓰인 논리를 익히는 것입니다. 외운 것을 적용하면 쉽게 풀리는 2-3점 문항과 달리, 4점 고난도 문항은 유도 과정에 대한 이해가 필수적이기 때문입니다.

$x \to 0$ 계산하기

대전제 ②에서 배운 논리로 해석하기

$\lim_{x \to 0}g\left( x \right) =0$이고 $\lim_{x \to 0}\dfrac{f\left( x \right) }{g\left( x \right) } = k$일 때, 각 함수를 $f = f_1 f_2$, $g=g_1g_2$와 같이 두 함수의 곱으로 나타낸 후, $f_1$과 $g_1$은 $\lim_{x \to 0}f_1 =0$, $\lim_{x \to 0}g_1 =0$와 같이 $0$으로 수렴하도록 잡고, $f_2$와 $g_2$는 $\lim_{x \to 0}f_2 = a \ne 0$, $\lim_{x \to 0}g_2 = b\ne 0$와 같이 $0$이 아닌 값으로 수렴하도록 한 후에, 다음과 같이 두 분수로 분리하여 풀이합니다. \[\begin{align*} \lim_{x \to 0}\dfrac{f_1f_2}{g_1g_2} = \lim_{x \to 0}\left( \dfrac{f_1}{g_1}\times\dfrac{f_2}{g_2} \right)=\left( \lim_{x \to 0} \dfrac{f_1}{g_1} \right) \times\left( \lim_{x \to 0} \dfrac{f_2}{g_2} \right)\end{align*}\] 이러한 꼴로 함수를 분리하기 위해서 수학, 수학 I에서 배운 식 변형 방법을 총동원하여 주어진 극한의 식을 수렴하는 극한 사이의 몫으로 변형해야 합니다. 이때 $f_1$과 $g_1$에는 $x$, $x^2$, $\cdots$, $x^n$, `$0$으로 수렴하는 무리식'이 배치되고, $f_2$와 $g_2$에는 수렴하는 다항식이나 무리식이 배치됩니다. $f_1$과 $g_1$은 분모와 분자의 공통인수가 되므로, 이를 약분하면 수렴하는 극한 $f_2$, $g_2$ 사이의 몫으로 나타낼 수 있습니다.

한편, 앞서 $x\to\infty$인 극한과 $x\to-\infty$인 극한을 일반화하여 해결한 것과 동일한 방법으로 $x\to0$인 극한을 처리할 수 있습니다. $x=\dfrac{1}{t}$로 치환하면 동일한 상황이 되기 때문입니다.¹직접 유도해보시라는 의미로 증명은 생략합니다. 결과를 정리하면 다음과 같습니다.

분자의 최저차수가 분모의 최저차수보다 크거나 같으면 수렴한다.

분자의 최저차수가 크면 $0$으로 수렴한다.
최저차수가 서로 같으면 최저차항의 계수의 비로 수렴한다.

$\dfrac{1}{x}=t$로 치환하여 $t \to \infty$로 해석하기

주어진 식에서 $x=\dfrac{1}{t}$로 치환하면 $t \to \infty$의 극한²을 계산하게 되는데 $x \to \infty$의 증명 과정에서 보았던 식과 완전히 동일한 구조의 식을 얻을 수 있습니다.

$x \to a$ 계산하기

수학, 수학 I에서 배운 식 변형 방법을 총동원하여 주어진 극한의 식을 수렴하는 극한 사이의 연산으로 변형해야 합니다. 변형된 식에서는 $\left( x-a \right) $, $\left( x-a \right) ^2$, $\cdots$, $\left( x-a \right) ^n$이 분모와 분자의 공통인수로 등장할 것이고, 이를 약분하면 수렴하는 극한 사이의 몫으로 나타낼 수 있습니다.

그 밖의 극한

대소관계로 풀이하는 극한

대표적으로 그 함수라 불리는 유명한 함수가 있습니다. \[\begin{align*} f_1\left( x \right) = \begin{cases} x\sin \dfrac{1}{x} & \left( x \ne 0 \right) \\ 0 & \left( x=0 \right) \end{cases},\quad f_2\left( x \right) = \begin{cases} x^2 \sin \dfrac{1}{x} & \left( x \ne 0 \right) \\ 0 & \left( x=0 \right) \end{cases}\quad \end{align*}\] 식에 공통적으로 포함된 $\sin \dfrac{1}{x}$는 $x\to 0$일 때 진동하므로 수렴하지 않습니다. 그러나 $-1 \le \sin x \le 1$임을 이용하여 $x\sin \dfrac{1}{x}$의 대소관계를 부등식으로 나타낸 후 식을 변형하여 함수의 극한의 대소관계로 극한을 구하여 $f_1$의 연속성을 증명할 수 있습니다.³

미분계수로 해석하는 극한

그냥 극한을 미분계수로 해석하기

주어진 극한에서 분자를 적절히 변형하여 `$\left( \text{함수} \right) - \left( \text{함숫값} \right) $', 즉 $f\left( x \right) - f\left( a \right) $꼴로 만들면 미분계수의 정의 꼴인 $\dfrac{f\left( x \right)- f\left( a \right) }{x-a}$로 만들 수 있습니다. 그러면 극한을 단순히 계산하지 않고, 미분법을 이용해 미분계수를 구해 답을 낼 수 있습니다.

괴상한 형태의 유사 미분계수꼴

미분계수의 정의와 유사하지만 완전히 같지는 않은 꼴을 주었을 때, 식을 변형하여 억지로 미분계수로 해석하는 문제를 접해보셨을 것입니다. 예를 들면 다음과 같은 것들입니다. \[\begin{align*} \lim_{x \to a}\dfrac{f\left( x^2 \right) -f\left( a^2 \right) }{x^4-a^4}, \quad \lim_{x \to 0} \dfrac{f\left( x^2-2x \right) }{x}\end{align*}\] 식을 변형하여 미분계수의 정의꼴로 표현한 후 미분계수의 실수배 꼴로 답을 낼 수 있습니다.

정적분으로 정의된 함수

정적분으로 정의된 함수 $\int_{a}^{x}f\left( t \right) dt$에 대하여 극한값을 묻는 경우가 있습니다. 그러한 경우 미적분의 기본정리에 의해 $\int_{a}^{x}f\left( t \right)dt = F\left( x \right) -F\left( a \right) $, $F'\left( x \right) = f\left( x \right) $임을 이용하여 문제를 풀이하는 것이 좋습니다. 이를테면 $\lim_{x \to 2} \dfrac{\displaystyle \int_{2}^{x}f\left( t \right) dt}{x-2}$를 구하는 상황에서 준식을 $\lim_{x \to 2}\dfrac{F\left( x \right) -F\left( 2 \right) }{x-2} = F'\left( 2 \right) = f\left( 2 \right) $로 해석하여 풀이하는 것입니다. 이러한 내용은 극한을 묻는 동시에 미분과 적분의 관계를 이해하는지도 확인할 수 있으므로 출제자들이 선호할 수밖에 없습니다.

1. 직접 유도해보시라는 의미로 증명은 생략합니다.
2. 주어진 극한이 수렴할 때에만 이런 식의 전개가 가능합니다. 왜냐하면 $x \to 0$은 $x \to 0+$이면 $t\to \infty$, $x \to 0-$이면 $t \to -\infty$인데, 주어진 극한이 수렴한다면 좌극한과 우극한이 같았을 것이므로 우극한만 구하면 충분하기 때문입니다. 그러나 주어진 극한이 수렴하지 않는다면 그럴 수 없습니다.
3. $f_2$도 같은 방법으로 연속성을 증명할 수 있습니다.