교육과정에서 배운 함수들인 일차함수, 이차함수, 절댓값함수, 유리함수, 무리함수, 지수함수, 로그함수를 기본함수라 부르도록 합시다.
중학수학 : 일차함수
일차함수는 정의역이 실수 전체, 치역이 실수 전체이므로 좌표평면의 가로 범위와 세로 범위를 제한 없이 모두 이용합니다. $x$절편과 $y$절편이 반드시 존재하고, 그래프 위의 어떤 점을 잡아도 그 점을 중심으로 하는 점대칭함수라는 특징이 있습니다.
중학수학 : 이차함수
이차함수 $y=ax^2 + bx + c$ $\left( a\ne0 \right) $는 치역의 범위가 반닫힌구간으로 제한되는 교육과정 최초의 함수입니다. 정의역에는 제한이 없으므로 좌표평면의 가로 범위는 모두 이용하지만, 좌표평면의 세로 범위는 쵯값에 의해 제한됩니다. (아래로 볼록이면 최솟값 이상, 위로 볼록이면 최댓값 이하)
대칭축이 $x=-\dfrac{b}{2a}$이고 대칭축에서 쵯값을 갖는다는 점, $y$절편이 $c$라는 점, 근이 있는 경우 인수분해나 근의 공식을 이용해 각 근을 구할 수 있다는 점을 적극적으로 이용하는 것이 중요합니다. 또한 $a$의 범위에 따른 그래프 모양과 치역의 양상에 주의해야 합니다.
이차함수는 식을 변형하여 다르게 해석하는 방법도 있습니다. 하나는 표준형이라 불리는 $y=a\left( x-p \right)^2 + q $ 꼴로 변형하여 치역의 범위를 명확히 드러내는 방법입니다. 나머지 하나는 두 실근이 있는 경우 $y=a\left( x-\alpha \right)\left( x-\beta \right) $ 꼴로 변형하여 대칭축을 $x=\dfrac{\alpha + \beta}{2}$로 나타내는 방법입니다.
고등 수학 : 절댓값함수
절댓값함수 $y=\abs{x}$는 교육과정 최초의 조각함수입니다. 정의역은 실수 전체이지만 치역의 범위가 반닫힌구간으로 제한된다는 점, 대칭축이 $x=0$이라는 점에서 이차함수와의 유사성을 찾을 수 있습니다.
이차함수와의 유사성에 착안하여 이차함수의 표준형과 유사한 꼴인 $y=a\abs{x-p}+q$를 생각해볼 수 있습니다. $\xy{p}{q}$를 지나고 기울기가 $a$, $-a$인 직선을 그린 후 $a>0$이라면 $y=q$ 위쪽의 그래프를 취하고, $a<0$이라면 $y=q$ 아래쪽의 그래프를 취하면 됩니다.
고등 수학 : 유리함수
$y=\dfrac{cx+d}{ax+b}$ $(a \ne 0)$의 특징은 다음과 같습니다.
- 정의역이 구멍으로 제한된다. $\left( x \ne -\dfrac{b}{a} \right) $
- 치역이 구멍으로 제한된다. $\left( y \ne \dfrac{c}{a} \right) $
- (정의역과 치역의 구멍으로 인해) 가로 점근선 $y=\dfrac{c}{a}$와 세로 점근선 $x=-\dfrac{b}{a}$을 갖는다.
- $p = -\dfrac{b}{a}$, $q = \dfrac{c}{a}$라 할 때, 중심이 $\xy{p}{q}$인 점대칭함수이고, 직선 $y-q=x-p$에 대하여 대칭(선대칭)이다.1
따라서 유리함수는 점근선을 갖는 교육과정 최초의 함수입니다. 유리함수는 그 점근선을 찾는 것이 중요하고, $a$와 $c$의 값에 유의하여 그래프가 그려지는 영역을 정확히 판단하는 것이 중요합니다. 한편 유리함수는 점대칭성과 선대칭성이 모두 존재합니다.
고등 수학 : 무리함수
$y=\pm\sqrt{\pm\left(ax+b\right)}+c$ $(a \ne 0)$의 특징은 다음과 같습니다.
- 정의역이 반닫힌구간으로 제한된다. $\left( x \ge -\dfrac{b}{a} \text{ 또는 } x \le -\dfrac{b}{a} \right)$
- 치역이 반닫힌구간으로 제한된다. $\left( y \ge c \text{ 또는 } y\le c \right) $
- 정의역의 제한의 경계에서의 함숫값은 치역의 쵯값이다.
무리함수는 정의역의 끝점(근호 안의 값이 $0$이 되는 지점)에서 쵯값을 가지므로, 그 쵯값이 최댓값인지 최솟값인지를 따지고, $x$의 범위를 따져 그래프가 그려지는 영역을 정확히 판단하는 것이 중요합니다. 한편
수학의 무리함수는 범위가 제한된 이차함수의 역함수이므로 역함수와 엮어서 출제될 수 있음에 주의해야 합니다.
수학 I : 지수함수와 로그함수
지수함수와 로그함수는 치역 또는 정의역이 열린구간으로 제한되는 최초의 함수이고, 동시에 점근선도 존재합니다. 지수함수는 치역이 열린구간으로($y \in \OOI{0}{\infty}$) 제한되며, 그 제한의 경계인 $y=0$을 가로 점근선으로 가집니다. 로그함수는 정의역이 열린구간으로($ x \in \OOI{0}{\infty}$) 제한되며, 그 제한의 경계인 $x=0$을 세로 점근선으로 가집니다.
한편 지수함수와 로그함수는 두 함수를 역함수 관계로 함께 엮어서 가르친 교육과정 최초의 함수입니다. 따라서 역함수 해석이 쓰일 수도 있음을 주의해야 합니다.
$y=a^x$와 $y=\log_a x$의 교점의 개수는 항상 $1$일까?
`$y=a^x$와 $y=\log_a x$의 교점의 개수'를 항상 $1$이라고 오해하기 쉽습니다. 그러나 그림과 같이 $a$의 범위에 따라 교점의 양상이 달라집니다. 왜 이렇게 되는지에 대해서는 Algebra에서 상세히 다루겠습니다.
수학 I : 삼각함수
삼각함수는 교육과정에 등장하는 최초의 주기함수입니다. 또한 기하학적 특성에 의해 정의된 최초의 함수입니다. 따라서 다른 함수들과 달리 기하와의 연계가 매우 뚜렷하므로, 기하적 상황을 염두에 두어야 합니다.
각에 의한 관계인 사인--코사인 사이의 관계를 수식으로 암기하고 있을 뿐만 아니라, 기하와 연계하여 이해하는 것이 좋습니다. 또한 각에 의한 관계에 의해 대칭성이 숨어 있으므로 삼각함수가 함수식에 포함된 경우 대칭성에 대한 고려가 필요합니다.
단위원 위에서 $1$--사인--코사인의 관계와 이를 통해 탄젠트를 사인과 코사인으로 나타내는 방법을 수식으로 암기하고 있을 뿐만 아니라, 기하와 연계하여 이해하는 것이 좋습니다.
(미적분 선택자 전용) 미적분 : 삼각함수
미적분 선택자의 경우 탄젠트--코탄젠트 사이의 관계, 1--탄젠트--시컨트의 관계, 코탄젠트--1--코시컨트의 관계를 수식으로 암기하고 있을 뿐만 아니라, 기하와 연계하여 이해하는 것이 좋습니다. 또한 각에 의한 관계에 의해 대칭성이 숨어 있으므로 삼각함수가 함수식에 포함된 경우 대칭성에 대한 고려가 필요합니다.
