다항함수 분석 (2) : 도함수의 부호와 부정적분

$f'\left( x \right) = 0$인 상수함수

$f'\left( x \right) =0 $을 부정적분하면 $f\left( x \right) = C $ (단, $C$는 적분상수)입니다. 따라서 상수함수 $f\left( x \right) =a$를 생각하면 $y$좌표가 $a$인 점들이 모여 만드는 그래프가 됩니다. $a>0$이면 $x$축보다 위쪽에 있고, $a=0$이면 $x$축과 일치하고, $a<0$이면 $x$축보다 아래에 있습니다. 앞으로의 이야기를 편히 풀어가기 위하여 $a>0$인 경우만 고려합시다. $a>0$인 경우를 분석하면, $a<0$인 경우는 $x$축에 대하여 대칭이동하여 생각하면 동일하기 때문입니다.¹한편 $a=0$이면 그 함수의 부정적분은 또 상수함수가 됩니다. 그러면 다항함수로 논의를 이어가지 못하고 계속 이 페이지에 계속 머물러야 할 것입니다. 따라서 $a \ne 0$인 경우를 가정하고 논의를 이어가겠습니다.

---

$f'\left( x \right) = a \: (a>0)$인 일차함수 $f\left( x \right) $

양수 $a$에 대하여 $f'\left( x \right) =a $를 부정적분하면 $f\left( x \right) = ax + C $ (단, $C$는 적분상수)입니다. 일차함수 $f\left( x \right)= ax+b$를 생각하면 $b$의 값에 따라 $y$절편의 위치가 달라지고 그에 따라 근 $x=-\dfrac{b}{a}$이 달라집니다. 한편 상수함수는 짝함수이므로 일차함수는 점대칭함수이며, 그래프 위의 점 중 아무 점이나 잡아도 그래프의 중심입니다. 다만 부호가 바뀌는 유일한 지점인 근 $x=-\dfrac{b}{a}$를 이용해 중심을 $\xy{-\dfrac{b}{a}}{0}$으로 설정하는 것이 가장 자연스럽습니다. $b=0$이면 홀함수입니다.

---

$f'\left( x \right) = 2ax+b\: (a>0)$인 이차함수 $f\left( x \right) $

$f'\left( x \right) = 2ax+b$를 부정적분하면 $f\left( x \right) = ax^2 + bx + C$ (단, $C$는 적분상수)입니다. 이차함수 $f\left( x \right) = ax^2 + bx + c$를 생각하면, 도함수 $f'\left( x \right) $가 중심이 $\xy{-\dfrac{b}{2a}}{0}$인 점대칭함수이므로, $f\left( x \right) $는 대칭축이 $x=-\dfrac{b}{2a}$인 선대칭함수입니다. (미적분 선택자 한정 문단) 이계도함수를 살펴보면 $f''\left( x \right) = 2a > 0$이므로 볼록성의 변화 없이 항상 아래로 볼록합니다. 따라서 변곡점은 없습니다.²도함수의 증감으로 해석하면, $f'\left( x \right)= 2ax+b$가 증가함수이므로 아래로 볼록임을 알 수 있습니다. 한편 $c$의 값에 따라 $x$축과 $y=f\left( x \right) $의 서로 다른 교점의 개수가 각각 $0$, $1$, $2$으로 달라집니다. 곧 이차함수를 도함수로 하는 삼차함수를 다룰 것이므로, 각각의 경우를 $\left\{ 2,\:0 \right\} $, $\left\{ 2,\:1 \right\} $, $\left\{ 2,\:2 \right\} $라 하고 논의를 이어갑시다.

---

$f'\left( x \right) = 3ax^2 + 2bx + c\: (a>0)$인 삼차함수 $f\left( x \right) $

먼저 $f'\left( x\right) $의 근의 양상과 관계없이 모든 삼차함수가 가지는 공통적인 특징을 알아본 후, $f'\left( x \right) $의 근의 양상에 따라 삼차함수를 분석해봅시다.

$f'\left( x \right) $의 근의 양상과 관계없는 삼차함수의 공통적 특징

$f'\left( x \right) =3ax^2 + 2bx + c$를 부정적분하면 $f\left( x \right) = ax^3 + bx^2 + cx + C$ (단, $C$는 적분상수)입니다. 삼차함수 $f\left( x \right) = ax^3 + bx^2 + cx + d$를 생각하면, 도함수 $f'\left( x \right) $가 대칭축이 $x=-\dfrac{b}{3a}$인 선대칭함수이므로, $f\left( x \right) $는 중심이 $\xy{-\dfrac{b}{3a}}{f\left( -\dfrac{b}{3a} \right) }$인 점대칭함수입니다.³삼차함수 $f\left( x \right) $의 함수식과 점대칭 판정법을 이용하여 판정할 수도 있습니다. 본문에서는 더 일반적인 논리를 적용했을 뿐입니다. 편의상 $-\dfrac{b}{3a}=k$라 하고, 중심인 점 $\xy{k}{f\left( k \right) }$를 $\mrm{K}$라 합시다. (미적분 선택자 한정 문단) 이계도함수(또는 도함수의 증감)를 살펴보면 $f''\left( x \right) = 0$인 실수 $x$가 $x=k$로 존재하며, 이때 $f''\left( x \right) $의 부호가 음에서 양으로 바뀝니다. 따라서 $\mrm{K}$는 변곡점입니다.⁴도함수의 증감으로 해석하면, $f'\left( x \right)= 3ax^2+2bx+c$가 대칭축 $x=k$를 기준으로 감소에서 증가로 바뀌므로, $x<k$에서 위로 볼록, $x=k$에서 변곡, $x>k$에서 아래로 볼록임을 알 수 있습니다.

$f'\left( x \right) $의 근의 양상이 $\left\{ 2,\:0 \right\} $

$f'\left( x \right) $의 최솟값 $f'\left( k \right) $가 양수이므로 모든 실수 $x$에 대하여 $f'\left( x \right) >0 $입니다. 따라서 $f\left( x \right) $는 증가함수입니다.

---

$\mrm K$가 $x$축 위의 점인지 아닌지에 따라 중심이 $\xy{k}{0}$인 점대칭함수인지의 여부가 달라지므로, 삼차함수를 도함수로 하는 사차함수를 다룰 때 이에 따라 분류하게 될 것입니다. 따라서 차수-$f'\left( k \right) $의 부호-$\xy{k}{0}$대칭 여부를 순서대로 표시하여 $\left\{ 3,\:+,\:\mrm{O} \right\} $와 $\left\{ 3,\:+,\:\mrm{X} \right\} $로 분류하겠습니다.

$f'\left( x \right) $의 근의 양상이 $\left\{ 2,\:1 \right\} $

$f'\left( x \right) $의 최솟값 $f'\left( k \right) $가 $0$이므로 모든 실수 $x$에 대하여 $f'\left( x \right) \ge 0 $이고, 오직 $x=k$에서만 $f'\left( x \right) =0 $입니다. 따라서 $f\left( x \right) $는 증가함수이고, $\mrm{K}$는 쉼점입니다. $\mrm K$가 $x$축 위의 점인지 아닌지에 따라 중심이 $\xy{k}{0}$인 점대칭함수인지의 여부가 달라지므로, 삼차함수를 도함수로 하는 사차함수를 다룰 때 이에 따라 분류하게 될 것입니다. 따라서 차수-$f'\left( k \right) $의 부호-$\xy{k}{0}$대칭 여부를 순서대로 표시하여 $\left\{ 3,\:0,\:\mrm{O} \right\} $와 $\left\{ 3,\:0,\:\mrm{X} \right\} $로 분류하겠습니다.

---

$f'\left( x \right) $의 근의 양상이 $\left\{ 2,\:2 \right\} $

$f'\left( x \right) $의 최솟값 $f'\left( k \right) $가 음수이므로 $f'(x)=0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta$ $(\alpha < \beta)$라 할 때, $f(x)$는 $\OCI{-\infty}{\alpha}$에서 증가, $\CCI{\alpha}{\beta}$에서 감소, $\COI{\beta}{\infty}$에서 증가합니다. 따라서 $\xy[A]{\alpha}{f\left( \alpha \right) }$, $\xy[B]{\beta}{f\left( \beta\right) }$는 각각 극대점, 극소점입니다. 이때 도함수 $f'\left( x \right) $에서 $\dfrac{\alpha+\beta}{2}=k$이므로 $\mrm{A}$와 $\mrm{B}$는 $\mrm{K}$에 대하여 대칭입니다. 한편 $\mrm{A}$와 함숫값이 같은 점 $\mrm{A'}$, $\mrm{B}$와 함숫값이 같은 점 $\mrm{B'}$을 잡으면 $\mrm{A'}$과 $\mrm{B'}$도 $\mrm{K}$에 대하여 대칭입니다. 그리고 다섯 개의 점 $\mrm{B'}$, $\mrm{A}$, $\mrm{K}$, $\mrm{B}$, $\mrm{A'}$의 $x$좌표는 이 순서대로 등차수열을 이룹니다.⁵이에 대한 증명은 Calculus에서 다룹니다. 한편 $\mrm K$가 $x$축 위의 점인지 아닌지에 따라 중심이 $\xy{k}{0}$인 점대칭함수인지의 여부가 달라지므로, 삼차함수를 도함수로 하는 사차함수를 다룰 때 이에 따라 분류하게 될 것입니다. 또한 극대점 또는 극소점이 $x$축에 놓이는 경우 또한 특수한 상황으로 생각할 수 있습니다. 따라서 차수-$f'\left( k \right) $의 부호-$\xy{k}{0}$대칭 여부-중근여부를 필요에 따라 순서대로 표시하여 $\left\{ 3,\:-,\:\mrm{O} \right\} $, $\left\{ 3,\:-,\:\mrm{X},\:\mrm{X} \right\} $, $\left\{ 3,\:-,\:\mrm{X},\:\alpha \right\} $, $\left\{ 3,\:-,\:\mrm{X},\:\beta \right\} $로 분류하겠습니다.

---

$f'\left( x \right) = 4ax^3 + 3bx^2+ 2cx + d\:(a>0)$인 사차함수 $f\left( x \right) $

먼저 $f'\left( x \right) $의 근의 양상과 관계없이 모든 사차함수가 가지는 공통적인 특징을 알아본 후, $f'\left( x \right) $의 근의 양상에 따라 사차함수를 분석해봅시다.

$f'\left( x \right) $의 근의 양상과 관계없는 사차함수의 공통적 특징

사차함수는 `최솟값을 반드시 갖는다'는 것 외에는 그래프의 형태상으로 나타나는 공통적 특징이 없습니다.⁶왜 최솟값을 반드시 갖는지는 각 케이스마다 살펴보겠습니다. 대신 모든 사차함수의 도함수는 삼차함수이고, 삼차함수는 점대칭함수라는 공통적 특징이 있으므로, 이에 따라 분류하는 것이 합리적일 것입니다.

$f'\left( x \right) = 4ax^3 + 3bx^2+ 2cx + d$를 부정적분하면 $f\left( x \right) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + C$ (단, $C$는 적분상수)입니다. 사차함수 $f\left( x \right) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$를 생각하면, 도함수 $f'\left( x \right) $가 중심이 $\xy{-\dfrac{b}{4a}}{f'\left( -\dfrac{b}{4a} \right) }$인 점대칭함수입니다. 편의상 $-\dfrac{b}{4a}=k$라 하고, 도함수의 중심인 점 $\xy{k}{f'\left( k \right) }$를 $\mrm{K}$라 합시다.

$\mrm{K}$가 $x$축 위의 점이면 도함수의 중심이 $\xy{k}{0}$이므로 $f\left( x \right) $는 대칭축이 $x=k$인 선대칭함수입니다. $\mrm{K}$가 $x$축 위의 점이 아니면 $f\left( x \right) $는 대칭성이 없습니다.

이제 $f'\left( x \right) $의 양상에 따라 분류하여 $f\left( x \right) $를 분석해봅시다.

---

$f'\left( x \right)$의 양상에 따라 분석하기

본격적인 분석을 시작하기 전에, 우리가 삼차함수에서 약속했던 분류를 해석하는 연습을 해봅시다. 첫번째 자리는 차수, 두번째 자리는 변곡점(대칭점)의 기울기, 세번째 자리는 변곡점이 $x$축에 있는지, 네번째 자리는 중근이 있는지를 표시합니다. 뒷자리가 생략된 경우, 앞자리의 정보만으로 판단이 가능합니다.분류표를 보면, 대칭성이 유지되는 경우, 대칭성이 없더라도 나름대로 잘 정돈된 경우, 이도저도 아닌 경우가 있음을 알 수 있습니다. 눈치가 빠르다면 앞의 두 항목은 수능에 자주 출제된 `인싸', 나머지 항목은 수능에 잘 출제되지 않은 `아싸'임을 파악할 수 있을 것입니다. 이러한 기준으로 함수를 분류하여 만나봅시다.

---

인싸 1) $\mrm{K}$가 $x$축 위의 점 : 점대칭함수를 부정적분하면 선대칭함수

$\left\{ 3,\:+,\:\mrm{O} \right\} $, $\left\{ 3,\:0,\:\mrm{O} \right\} $, $\left\{ 3,\:-,\:\mrm{O} \right\} $의 세 가지 경우가 있습니다. 이러한 경우 사차함수 $f\left( x \right) $는 대칭축이 $x=k$인 선대칭함수입니다.

인싸 2) $\mrm{K}$가 $x$축 위의 점이 아님 : 대칭성은 없지만, 대신 귀여운 쉼점을 드리겠습니다

$x=\alpha$ 또는 $x=\beta$에서 쉼점을 갖습니다. 또한 이 쉼점은 변곡점입니다.

---

아싸) 상대적으로 조명되지 않는 비주류 사차함수들

아무래도 인싸들보다는 상황이 간결하지 못하여 주목받지 못했지만,⁷경우에 따라선 수험생활이 끝날때까지도 이러한 아싸의 존재조차 모를 수도 있습니다. 이 함수들을 왜 아싸라고 부르는지 아시겠죠? 앞으로 출제될 가능성을 배제할 수 없는 함수들입니다. 자주 만나 익숙한 인싸와 달리, 친숙하지 않은 아싸가 출제된다면 당황스러울 수 있습니다. %%개 갖는 경우, 증감성은 같지만 볼록성이 다르므로 미묘한 출렁임이 다릅니다.

---

1. 1. 한편 $a=0$이면 그 함수의 부정적분은 또 상수함수가 됩니다. 그러면 다항함수로 논의를 이어가지 못하고 계속 이 페이지에 계속 머물러야 할 것입니다. 따라서 $a \ne 0$인 경우를 가정하고 논의를 이어가겠습니다.
2. 2. 도함수의 증감으로 해석하면, $f'\left( x \right)= 2ax+b$가 증가함수이므로 아래로 볼록임을 알 수 있습니다.
3. 3. 삼차함수 $f\left( x \right) $의 함수식과 점대칭 판정법을 이용하여 판정할 수도 있습니다. 본문에서는 더 일반적인 논리를 적용했을 뿐입니다.
4. 4. 도함수의 증감으로 해석하면, $f'\left( x \right)= 3ax^2+2bx+c$가 대칭축 $x=k$를 기준으로 감소에서 증가로 바뀌므로, $x<k$에서 위로 볼록, $x=k$에서 변곡, $x>k$에서 아래로 볼록임을 알 수 있습니다.
5. 5. 이에 대한 증명은 Calculus에서 다룹니다.
6. 6. 왜 최솟값을 반드시 갖는지는 각 케이스마다 살펴보겠습니다.
7. 7. 경우에 따라선 수험생활이 끝날때까지도 이러한 아싸의 존재조차 모를 수도 있습니다. 이 함수들을 왜 아싸라고 부르는지 아시겠죠?