Basic) 함수의 논리와 엄밀화 > 여러가지 함수의 분석

다항함수 분석 시즌3 : 인수정리와 나머지정리

$x-a$로 나누어떨어질 때 : 인수정리

다항함수 $f\left( x \right) $가 $x-a$로 나누어떨어지면 $f(x) = (x-a)g\left( x \right) $라 할 수 있습니다. 이때 $g\left( x \right) $에 $x-a$가 인수로 포함되어 있을 수도 있고, 아닐 수도 있습니다. 우리는 사차 이하의 다항함수를 다루고 있으므로, $g\left( x \right) $를 반복적으로 $x-a$로 나누어 더 이상 나누어떨어지지 않을 때까지 $x-a$를 뽑아낸다면, 다음의 네 가지 경우로 분류할 수 있습니다.¹ \[\begin{alignat*}{2} f\left( x \right) &= \left( x-a \right)\left( px^3 + qx^2 + rx + s \right) &&\qquad f\left( x \right) = \left( x-a \right)^2\left( tx^2 + ux + v \right) \\ f\left( x \right) &= \left( x-a \right)^3\left( bx+c \right) &&\qquad f\left( x \right) = k\left( x-a \right)^4 \end{alignat*}\] 네 함수 모두 $f\left( a \right) =0$을 만족하고 있음을 알 수 있습니다. 이제 $x=a$ 근방에서의 각 함수에서 그래프를 탐구해봅시다.

시작하기 전에 : $\left\{ (ax+b)^n \right\}' = na(ax+b)^{n-1}$

미적분 미선택 학생들은 이 미분법 공식을 외워두는 것이 편합니다. 다항함수를 다루다보면 어쩔 수 없이 $(ax+b)^n$과 같은 꼴을 자주 만나게 되기 때문입니다.²

인수가 $x-a$ : 한 근, 증가 또는 감소

$\text{[math]}$

미분하면 $f'\left( x \right) = g\left( x \right) + \left( x-a \right)g'\left( x \right) $이므로 $f'\left( a \right) = g\left( a \right) + 0 = g\left( a \right) $입니다. 이때 $g\left( a \right) \ne 0 $이므로 $f'\left( a \right) \ne 0$이고, $g\left( a \right) $의 값에 따라 $f'\left( a \right) $의 부호가 달라집니다.

인수가 $\left( x-a \right)^2$ : $2$중근, 극점

$\text{[math]}$

미분하면 $f'\left( x \right) = 2\left( x-a \right) g\left( x \right) + \left( x-a \right)^2g'\left( x \right) $이므로 $f'\left( a \right) =0$입니다. 이때 $x=a$에서 $f'$의 부호 변화 양상에 따라 $\xy{a}{f\left( a \right) }$가 극대점이거나 극소점입니다.³

인수가 $\left( x-a \right)^3$ : $3$중근, 쉼점, 변곡점

$\text{[math]}$

$g(x)=bx+c$라 두고 미분하면 $f'\left( x \right) = 3\left( x-a \right)^2\left( bx+c \right) +b\left( x-a \right)^3 $이므로 $f'\left( a \right) =0$입니다. 또한 $f(x)$는 $x=a$를 포함한 열린구간에서 증가 또는 감소하므로 $\xy{a}{f\left( a \right) }$는 쉼점입니다. 미적분 선택자들은 변곡 여부도 판정해볼 수 있습니다. $f''\left( x \right) =6\left( x-a \right) \left\{ 2bx-\left( ab-c \right) \right\} $이므로 $f''\left( a \right) =0$이고, $x=a$에서 $f''\left( x \right) $의 부호가 바뀌므로 $x=a$에서 변곡합니다.

인수가 $\left( x-a \right)^4$ : $4$중근, 극점

$\text{[math]}$

$g(x)=k$라 두고 미분하면 $f'\left( x \right) = 4k\left( x-a \right)^3 $이므로 $f'\left( a \right) = 0$이고, $x=a$에서 $f'\left( x \right) $의 부호가 바뀌므로 극점입니다. 미적분 선택자들은 변곡 여부도 판정해볼 수 있습니다. $f''\left( x \right) = 12k\left( x-a \right)^2 $에서 $f''\left( a \right) =0 $이지만 $x=a$에서 $f''\left( x \right) $의 부호가 바뀌지 않으므로, $x=a$에서 변곡하지 않습니다.

정리 및 주의할 점

지금까지 분석한 결과를 종합하면, 한 근인 점에서는 기울기가 $0$이 아니고 변곡점도 아닙니다. $1$이 아닌 홀수중근인 점은 기울기가 $0$이며 쉼점입니다.⁴ 짝수중근은 기울기가 $0$이고, 극점입니다.

주의해야 할 점은, $f\left( x \right)= \left( x-a \right)^n g\left( x \right) $에서 $n$만 보고 판단해서는 안되고, $g\left( x \right) $에 $\left( x-a \right) $가 인수로 더 포함되어 있는지를 판단해야 한다는 것입니다. 함수의 그래프를 정확히 그리기 위해서는 이를 유의해야 합니다.

$x-a$로 나누어떨어지지 않을 때 : 나머지정리

$\left( x-a \right)^n $으로 나눈 나머지가 상수항 : $y$축 방향으로 평행이동하면 근

$f\left( x \right) = \left( x-a \right)g\left( x \right) + b \:\left( b\ne0 \right) $라 할 수 있습니다. 그런데 우변에서 $b$만 없다면 $\left( x-a \right) g\left( x \right) $인데, 이는 앞서 인수정리에서 다루었던 내용과 동일합니다. 이 식에 $b$를 더하면 그래프가 $y$축 방향으로 $b$만큼 평행이동되므로, $y=f\left( x \right) $의 그래프는 $y=(x-a)g\left( x \right) $의 그래프를 그린 후 $b$의 값에 따라 적절히 평행이동하여 얻을 수 있습니다.

이는 $(x-a)^2$으로 나누어도, $(x-a)^3$으로 나누어도 동일하게 해석할 수 있습니다. 즉 $\left( x-a \right)^n $나머지가 상수항인 상황은, $b$만 없었다면 $x=a$가 $n$중근인데, $b$가 뒤에 더해지면서 더이상 근이라 부를 수 없게 된 상황이라고 생각할 수 있습니다.

상수 나머지의 역발상과 활용

$\text{[math]}$

배운 내용을 역이용할 수도 있습니다. $f\left( x \right) $가 주어졌을 때, $h\left( x \right) =f\left( x \right) + b $와 같이 상수항만큼만 다른 함수 $h\left( x \right) $를 생각하는 것입니다. 그러면 $b$를 적절히 조절하여 $h\left( x \right) $가 $\left( x-a \right)^n $으로 나누어떨어지게 할 수 있을 것입니다. 이렇게 $y=h\left( x \right) $를 분석하여 그래프를 그린 후에 다시 $-b$만큼 평행이동하면 $y=f\left( x \right) $의 그래프를 얻을 수 있습니다.

$\text{[math]}$

이는 삼차함수에 적용하기 좋습니다. $y=f\left( x \right) $의 그래프를 $y$축 방향으로 $b$만큼 평행이동하여 극점이 $x$축 위에 놓이도록 한 후, 다섯 개의 점의 $x$좌표가 등차수열을 이룬다는 사실을 이용하여 각 점의 $x$좌표를 찾아내고, 다시 $y$축 방향으로 $-b$만큼 평행이동하여 $y=f\left( x \right) $를 그리는 것입니다. 쉼점을 갖는 삼차함수는 쉼점을 평행이동하여 $3$중근임을 이용하면 식을 쉽게 세울 수 있습니다.

$\text{[math]}$

사차함수에서도 유용하며, 특히 인싸 함수에서 $2$중근이나 $3$중근을 이용하여 식을 쉽게 세울 수 있습니다.

이차식 $\left( x-a \right)^2$으로 나눈 나머지가 일차식의 의미 : 접선

$f\left( x \right) = \left( x-a \right)^2g\left( x \right) + px+q \:\left( p\ne0 \right) $라 할 수 있습니다. 그런데 우변에서 $px+q$만 없다면 $\left( x-a \right)^2 g\left( x \right) $인데, 이는 앞서 인수정리에서 다루었던 `중근'의 상황과 동일합니다. 이를 해석해봅시다.

주어진 식에서 $f\left( x \right) - \left( px+q \right) = (x-a)^2g\left( x \right) $가 성립하므로, 좌변을 $h\left( x \right) $라 하겠습니다.⁵이러한 발상은 평균값 정리의 증명 과정에서도 등장했습니다. $h'\left( a \right) =0$이고 $h'\left( a \right) = f'\left( a \right) - p$이므로 $f'\left( a \right)=p$입니다. 한편 $f\left( a \right) = pa + q$입니다. 이를 통해 $px+q$를 $ f'\left( a \right)\left( x-a \right) + f\left( a \right) $라 변형할 수 있는데, 이는 곡선 $y=f\left( x \right) $ 위의 점 $\xy{a}{f\left( a \right) }$에서의 접선의 방정식입니다. 아직 그 이유는 알 수 없지만, 우리는 적어도 수식으로 `$\left(\text{나머지}\right) = \left(\text{접선의 방정식}\right)$'이 성립한다는 것을 명백하게 확인할 수 있습니다.

일차식인 나머지가 접선인 이유 알아보기

$\text{[math]}$

그렇지만 수식으로는 받아들였더라도, $(x-a)^2$으로 나눈 나머지가 $\xy{a}{f\left( a \right) }$에서의 접선의 방정식이 되는 이유는 무엇이고, 그 의미는 무엇일까요? 나머지는 고등학교 1학년 수학의 다항식 단원에서 배운 것이고, 접선은 수학 II의 미분법 단원에서 배운 것인데, 둘 사이를 이어주는 연결고리는 무엇일까요?

$\text{[math]}$

이차식부터 생각해봅시다. 이차식 $f\left( x \right) $에 대하여 $f\left( x \right) = k(x-a)^2 + px+q$일 때, $y=k(x-a)^2$, $y=px+q$, $y=f\left( x \right) $의 그래프는 각각 그림과 같습니다. 이때 $y=f\left( x \right) $와 $y=px+q$의 그래프를 보면, $y=k(x-a)^2$이 $x=a$에서 중근을 갖는 정보가 $\xy{a}{f\left( a \right) }$에서 접하는 것으로 반영됩니다.

$\text{[math]}$

삼차식도 생각해봅시다. 삼차식 $f\left( x \right) $에 대하여 $f\left( x \right) = k(x-a)^2(x-b) + px+q$일 때, $a \ne b$라면 $y=k(x-a)^2(x-b)$, $y=px+q$, $y=f\left( x \right) $의 그래프는 각각 그림과 같습니다. 이때 $y=f\left( x \right) $와 $y=px+q$의 그래프를 보면, $y=k(x-a)^2(x-b)$이 $x=a$에서 중근을 갖는 정보는 $\xy{a}{f\left( a \right) }$에서 접하는 것으로 반영되고, $x=b$에서 한 근을 갖는 정보가 $y=f\left( x \right) $와 $px+q$의 나머지 한 교점의 $x$좌표가 $b$인 것으로 반영됩니다.

$\text{[math]}$

$a = b$라면 $y=k(x-a)^3$, $y=px+q$, $y=f\left( x \right) $의 그래프는 각각 그림과 같습니다. 이때 $y=f\left( x \right) $와 $y=px+q$의 그래프를 보면, $y=k(x-a)^3$이 $x=a$에서 $3$중근을 갖는 정보는 $\xy{a}{f\left( a \right) }$에서 접하는 것으로 반영됩니다.

즉 어떤 다항함수 $f\left( x \right) $에 접선의 함수식 $mx+n$을 더하거나 뺀 결과 다른 모양의 그래프를 갖는 다른 다항함수 $g\left( x \right) $를 얻을 수 있다는 것을 알 수 있습니다. 즉 우리가 앞서 다항함수를 분석하며 얻었던 여러 가지 그래프의 모양들은 서로 아무런 관계가 없는 독립적인 그래프로 보였지만, 사실은 일차함수를 더하거나 빼는 과정을 통해 서로 연관되어 있다는 것입니다. 또한 그 관계에서 교점과 접점의 정보는 그대로 보존됩니다.

사차함수는 워낙 경우가 많으니 예시를 생략하겠지만, 인싸함수에 일차함수를 더하거나 뺀 결과 아싸함수를 얻을 수도 있고, 그 반대의 과정도 가능함을 알 수 있습니다.

일차식 나머지의 역발상

어떤 다항함수 $f\left( x \right) $에 대하여 곡선 $y=f\left( x \right) $ 위의 점 $\xy{a}{f\left( a \right) }$ 접선의 방정식 $y=mx+n$를 알 수 있다면, $f\left( x \right) - \left( mx+n \right) = \left( x-a \right)^2 g\left( x \right) $라 둘 수 있습니다. 그러면 문제에 주어진 다른 조건을 이용하여 $g$를 결정⁶하고, 최종적으로 $f$를 구할 수 있습니다. 이는 삼차함수와 사차함수의 식을 세울 때 매우 유용하게 활용됩니다.

1. $f(x)$가 사차 이하의 다항함수이므로, $g(x)$의 각 항의 계수인 $p$, $q$, $\cdots$, $u$, $v$와 $b$, $c$ 등은 $0$일 수도 있습니다. 단 $k=0$이면 $f(x)=0$이 되므로 $4$중근을 탐구하는 의미가 퇴색됩니다. 따라서 오직 $k$만 $k \ne 0$으로 전제합니다.
2. 수학적귀납법으로 간단히 증명할 수 있습니다.
3. 미적분 선택자들은 $f''\left( a \right)= 2g\left( a \right) \ne 0$임을 이용하여 $g\left( a \right) $의 부호에 따라 극대인지 극소인지를 판단할 수 있습니다.
4. 미적분 선택자들에게는 변곡점이기도 합니다.
5. 이러한 발상은 평균값 정리의 증명 과정에서도 등장했습니다.
6. $f$가 삼차함수라면 $g$는 일차함수, $f$가 사차함수라면 $g$는 이차함수임도 이용할 수 있습니다.