Calculus) 함수의 분석과 미적분 > 미적분의 융합과 그래프 그리기

미분의 쓰임새와 미적분의 기본정리

미분의 쓰임새

지금까지 Graph, Basic, Algebra를 거쳐오면서 미분의 쓰임새가 무엇인지 직접적으로 설명하지는 않았지만, 여러 가지 상황에서 미분을 사용해왔습니다. 미분은 `함수의 증감성'을 파악해 `함수의 극점과 최점'을 찾는 데에도 쓰입니다. 미적분 선택자들은 미분을 두 번 하여 `함수의 볼록성'을 찾을 수도 있습니다. 이를 종합하면, 미분은 함수를 분석하는 데 쓰이는 수학적 도구라 말할 수 있습니다.

`(정)적분과 미분의 관계'와 `정적분의 정의'

교과서에서는 `정적분의 정의'를 먼저 언급한 뒤 `(정)적분과 미분의 관계'를 다루지만, 맑은개념에서는 정적분과 관련된 수학적 맥락에 맞도록 순서를 뒤집어 그 의미를 설명하겠습니다.

정적분과 미분의 관계 : $\dfrac{d}{dx}\int_{a}^{x}f\left( t \right)dt = f\left( x \right)$

함수 $f\left( t \right) $가 구간 $\CCI ab$에서 연속이고 $\int_{a}^{x}f\left( t \right)dt = g\left( x \right) $라 할 때 다음이 성립합니다. \[\begin{align*}g'\left( x \right) = \dfrac{d}{dx}\int_{a}^{x}f\left( t \right) dt = f\left( x \right) \:\:\left(\text{단, $a<x<b$}\right) \end{align*}\] 정적분과 미분의 관계는 다음과 같은 의미를 갖습니다.

어떤 함수 $f$의 구간넓이를 구하려면, $g'= f$인 함수를 찾고,
$g$를 어찌저찌 이용하면 정적분값을 구할 수 있다.

정적분의 정의(미적분의 기본정리)와 그 의미

닫힌구간 $\CCI{a}{b}$에서 연속인 함수 $f\left( x \right) $의 한 부정적분을 $F\left( x \right) $라 할 때, 다음을 정적분이라 정의합니다.¹ \[\begin{align*}\int_{a}^{b}f\left( x \right)dx= \inti{F\left( x \right) }{a}{b} =F\left( b \right) - F\left( a \right)\end{align*}\] 정적분의 정의(미적분의 기본 정리)를 통해, 앞서 정적분과 미분의 관계에서 언급했던 어찌저찌 이용의 구체적인 방법을 알 수 있습니다. 즉 정적분의 정의(미적분의 기본 정리)와 $g$를 이용하여 $f$의 구간넓이를 구하는 구체적인 방법을 알려줍니다.

1. 사실 이는 `정적분의 정의'가 아니라, `미적분의 기본 정리'이고, 정리는 명제이므로 참임을 증명해야 사용할 수 있습니다. 맑은개념 미적분의 Appendix에서는 정의가 아닌 정리라 둔 뒤, 그에 대한 증명을 보여줄 것입니다.