정적분을 해석하는 관점 : `부호를 갖는 넓이'
어떤 구간 $\CCI{a}{b}$에서 $f(x)>0$이면 $\int_{a}^{b} f(x)dx >0$입니다. 즉 어떤 구간에서 함숫값이 양이면, 그 구간에서 함수의 정적분값은 색칠된 영역의 넓이를 $(+)$ 부호로 나타냅니다.
어떤 구간 $\CCI{a}{b}$에서 $f(x)<0$이면 $\int_{a}^{b} f(x)dx <0$입니다. 즉 어떤 구간에서 함숫값이 음이면, 그 구간에서 함수의 정적분값은 색칠된 영역의 넓이를 $(-)$ 부호로 나타냅니다.
어떤 구간 $\CCI{a}{b}$에서 $f(x)=0$이면 $\int_{a}^{b} f(x)dx =0$입니다. 즉 어떤 구간에서 함숫값이 $0$이면, 그 구간에서 함수의 정적분값은 색칠된 영역(선분)의 넓이가 $0$임을 나타냅니다.
어떤 함수가 주어졌을 때, 함숫값의 부호가 달라질 때마다 정적분을 쪼개어 계산할 수 있습니다. 그런데 우리는 (교육과정상) 연속함수만 정적분할 수 있고, 연속함수는 함숫값의 부호가 달라지는 지점에서 함숫값이 $0$입니다.
1 따라서 함숫값이 $0$일 때마다 정적분을 쪼개고, 쪼개진 각 구간에서 정적분이 나타내는 넓이를 보되, 함숫값이 양이면 $(+)$ 부호를 갖는 넓이로, 함숫값이 음이면 $(-)$ 부호를 갖는 넓이로 해석하는 것입니다.
$\text{도함수의 정적분 }= \text{원함수의 증감량}$
우리는 도함수의 부호가 원함수의 증감성을 알려준다는 사실을 이미 알고 있습니다. 이때 원함수는 도함수의 원시함수이므로, 도함수의 정적분이 원함수와 어떠한 관계를 가질 것이라 예측할 수 있습니다. 이 관계에 대하여 알아봅시다. 단, 연속인 구간에서만 정적분할 수 있으므로 도함수가 연속함수임을 전제로 합시다.
어떤 구간 $\CCI{a}{b}$에서 $f'(x)>0$이면 $\int_{a}^{b} f'(x)dx >0$이고, $\int_{a}^{b} f'(x)dx = f(b) - f(a)$이므로 $f(b) > f(a)$입니다. 즉 어떤 구간에서 도함숫값이 양이면, 그 구간에서 도함수의 정적분값은 정확히 `위끝의 함숫값과 아래끝의 함숫값 사이의 차'을 $(+)$ 부호로 나타냅니다. 이는 원함수가 이 구간에서 얼마만큼 증가했는지를 나타냅니다.
어떤 구간 $\CCI{a}{b}$에서 $f'(x)<0$이면 $\int_{a}^{b} f'(x)dx <0$이고, $\int_{a}^{b} f'(x)dx = f(b) - f(a)$이므로 $f(b) < f(a)$입니다. 즉 어떤 구간에서 도함숫값이 음이면, 그 구간에서 도함수의 정적분값은 정확히 `위끝의 함숫값과 아래끝의 함숫값 사이의 차'를 $(-)$ 부호로 나타냅니다. 이는 원함수가 이 구간에서 얼마만큼 감소했는지를 나타냅니다.
어떤 구간 $\CCI{a}{b}$에서 $f'(x)=0$이면 $\int_{a}^{b} f'(x)dx =0$이고, $\int_{a}^{b} f'(x)dx = f(b) - f(a)$이므로 $f(b) = f(a)$입니다. 즉 어떤 구간에서 도함숫값이 $0$이면, 그 구간에서 도함수의 정적분값은 정확히 `위끝의 함숫값과 아래끝의 함숫값 사이의 차'인 $0$으로 나타냅니다. 이는 원함수가 이 구간에서 증가하지도, 감소하지도 않았음을 나타냅니다.
도함숫값 $f'(x)$의 부호가 달라질 때마다 정적분을 쪼개어 계산할 수 있습니다. 도함숫값이 $0$일 때마다 정적분을 쪼개고, 쪼개진 각 구간에서 정적분이 나타내는 넓이를 보되, 도함숫값이 양이면 $(+)$ 부호를 갖는 넓이로, 도함숫값이 음이면 $(-)$ 부호를 갖는 넓이로 해석하면, $(+)$인 구간에서는 원함수가 도함수의 넓이만큼 증가하고, $(-)$인 구간에서는 원함수가 도함수의 넓이만큼 감소합니다.
이처럼 도함수는 단순히 원함수의 증감성을 알려주는 것을 넘어서, 증가 감소한 값이 얼마인지까지도 정확히 나타내는 매우 중요한 정보임을 알 수 있습니다.
도함수의 정적분으로 원함수의 함숫값 비교하기
미분가능한 함수 $y=f\left( x \right) $의 그래프 위의 한 점 $\xy{a}{f\left( a \right) }$에 대하여 $b<a<c$인 실수 $b$, $c$의 함숫값 $f\left( b \right) $, $f\left( c \right) $를 도함수의 정적분을 이용하여 나타내면 각각 다음과 같습니다.
\[\begin{align*}
\int_{a}^{c}f'\left( x \right)dx = f\left( c \right) -f\left( a \right) \cdots \text{①} \quad\quad
\int_{b}^{a}f'\left( x \right)dx = f\left( a \right) -f\left( b \right) \cdots \text{②}
\end{align*}\]
①에서 `정적분의 부호'가 $\left( + \right) $면 $f\left( c \right) $가 $f\left( a \right) $보다 크고, $\left( - \right) $이면 $f\left( c \right) $가 $f\left( a \right) $보다 작으며, $0$이면 $f\left( c \right) $와 $f\left( a \right) $가 같습니다. 즉 `정적분의 부호'가 `$f\left( c \right) $가 $f\left( a \right) $보다 큰지, 같은지, 작은지'를 그대로 나타내어 해석하기 편리합니다.
그에 반해 ②에서는 `정적분의 부호'가 `$f\left( b \right) $가 $f\left( a \right) $보다 큰지, 같은지, 작은지'를 반대로 나타내므로 혼동하기 쉽습니다. 이를 보정하기 위해 ②에서 아래끝과 위끝을 바꾸면 $\int_{a}^{b}f'\left( x \right)dx = f\left( b \right) -f\left( a \right) \cdots \text{③} $입니다.
그러면 ③과 같이 `정적분의 부호'가 `$f\left( b \right) $가 $f\left( a \right) $보다 큰지, 같은지, 작은지'를 그대로 나타내어 해석하기 편리합니다. 이렇게 `기준이 되는 점의 $x$좌표'를 아래끝에, `기준에 대해 비교하고자 하는 점의 $x$좌표'를 위끝에 적은 후 정적분의 부호를 확인하면 함숫값의 크기를 혼동하지 않고 비교할 수 있습니다.
함수의 성질과 미적분의 관계 다시보기
도함수가 선대칭함수일 때
도함수 $f'\left( x \right) $가 대칭축이 $x=k$인 선대칭함수일 때, $\int_{k}^{k-a} f'\left( x \right)dx$와 $\int_{k}^{k+a} f'\left( x \right)dx $가 항상 부호는 다르고 절댓값은 같습니다. 이는 $x=k$를 기준으로 왼쪽에서 어느 양만큼 함숫값이 증가(감소)하면 오른쪽에서 동일한 양만큼 함숫값이 감소(증가)함을 의미합니다. 이것이 선대칭함수를 부정적분해 얻은 원시함수가 점대칭함수인 이유입니다.
도함수가 점대칭함수일 때
도함수 $f'\left( x \right) $가 중심이 $\xy kl$인 점대칭함수일 때, $l=0$이면, 즉 중심이 $x$축 위에 있으면 도함수의 값이 부호만 달리하며 대칭적으로 나타나므로 $\int_{k}^{k-a} f'\left( x \right)dx$와 $\int_{k}^{k+a} f'\left( x \right)dx $가 항상 같습니다. 이는 $x=k$를 기준으로 왼쪽에서 어느 양만큼 함숫값이 증가(감소)하면 오른쪽에서 동일한 양만큼 함숫값이 증가(감소)함을 의미합니다.
그러나 $l \ne 0$이면, 즉 중심이 $x$축 위에 있지 않으면 그렇지 않으므로, $f\left( x \right) $ 증감의 양상에서 대칭성을 잃게 됩니다. 이것이 바로 점대칭함수를 부정적분해서 얻은 원시함수가
오직 도함수의 중심이 $x$축 위에 있을 때에만 선대칭함수인 이유입니다.
도함수가 주기함수일 때
도함수 $f'\left( x \right) $가 주기가 $p$인 주기함수일 때, 임의의 실수 $x$와 임의의 정수 $n$에 대하여 $\int_{x+np}^{x+\left( n+1 \right) p} f'\left( t \right)dt = q$입니다. 이는 $f\left( x \right) $가 `$x$가 $p$만큼 변할 때마다 $y$가 $q$만큼 변하는 함수'라는 의미이므로, 함수 $f\left( x \right) $는 주기성을 갖습니다. 이때 $q=0$이면 주기함수, $q \ne 0$이면 준주기함수입니다.
도함수가 준주기함수일 때
도함수 $f'\left( x \right) $가 주기가 $\xy{p}{q}$인 준주기함수일 때, $f\left( x \right) $는 주기성이 없습니다.
